1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論學(xué)習(xí)目標1.理解平面的基本性質(zhì)與推論，能運用平面的基本性質(zhì)及推論去解決有關(guān)問題.2.會用集合語言來描述點、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì).3.理解異面直線的概念知識點一平面的基本性質(zhì)與推論思考1直線l與平面有且僅有一個公共點P.直線l是否在平面內(nèi)？有兩個公共點呢？答案前者不在，后者在思考2觀察圖中的三腳架，你能得出什么結(jié)論？答案不共線的三點可以確定一個平面思考3觀察正方體ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，平面ABCD與平面BCC1B1有且只有兩個公共點B，C嗎？答案不是，平面ABCD與平面BCC1B1相交于直線BC.梳理(1)平面的基本性質(zhì)平面內(nèi)容作用圖形基本性質(zhì)1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線)判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)基本性質(zhì)2經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即不共線的三點確定一個平面)確定平面及兩個平面重合的依據(jù)基本性質(zhì)3如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線判斷兩平面相交，線共點，點共線的依據(jù)(2)平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面知識點二點、直線、平面之間的關(guān)系及表示思考直線和平面都是由點組成的，聯(lián)系集合的觀點，點和直線、平面的位置關(guān)系，如何用符號來表示？直線和平面呢？答案點和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號“”或“”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號 “”或“”表示梳理點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及表示文字語言符號語言圖形語言A在l上AlA在l外AlA在內(nèi)AA在外Al在內(nèi)ll在外ll，m相交于AlmAl，相交于AlA，相交于ll知識點三共面與異面直線思考如圖，直線AB與平面相交于點B，點A在外，那么直線l與直線AB能不能在同一個平面內(nèi)？為什么？直線l與直線AB的位置關(guān)系是怎樣的？答案不可能在同一個平面內(nèi)，因為如果在同一個平面內(nèi)，點A就在內(nèi)，這與點A在外矛盾由圖知，直線l與直線AB沒有公共點，所以它們不相交，直線l與直線AB不可能平行，否則它們就會同在平面內(nèi)，所以直線l與直線AB既不相交也不平行梳理共面與異面直線(1)共面概念：空間中的幾個點或幾條直線，都在同一平面內(nèi)特征：共面的直線相交或者平行(2)異面直線概念：既不平行又不相交的直線判斷方法：與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線1分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線(×)2兩直線若不是異面直線，則必相交或平行()類型一點、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號表示例1如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系解在(1)中，l，aA，aB.在(2)中，l，a，b，alP，blP.反思與感悟(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.解(1)點A在平面內(nèi)，點B不在平面內(nèi)，如圖.(2)直線l在平面內(nèi)，直線m與平面相交于點A，且點A不在直線l上，如圖.(3)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC，如圖.類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1點、線共面問題例2如圖，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求證：PQ.解因為PQa，所以PQ與a確定一個平面.所以直線a，點P.因為Pb，b，所以P.又因為a，所以與重合，所以PQ.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)解已知：abc，laA，lbB，lcC.求證：a，b，c和l共面證明：如圖，ab，a與b確定一個平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b與c確定一個平面，同理l.平面與都包含l和b，且blB，由推論2知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，平面與平面重合，a，b，c和l共面反思與感悟證明多線共面的兩種方法(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)(2)重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合跟蹤訓(xùn)練2已知：如圖所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)證明方法一(納入平面法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可證C.Bl3，Cl3，l3.直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)方法二(輔助平面法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，l2，l3確定一個平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可證B，B，C，C.不共線的三個點A，B，C既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)平面和重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)命題角度2點共線與線共點問題例3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點求證：CE，D1F，DA三線交于一點證明如圖，連接EF，D1C，A1B.E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，EF綊A1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C，E，F(xiàn)，D1，C四點共面，D1F與CE相交，設(shè)交點為P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點又平面A1D1DA平面ABCDDA，根據(jù)基本性質(zhì)3，可得PDA，即CE，D1F，DA相交于一點反思與感悟(1)點共線：證明多點共線通常利用基本性質(zhì)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點跟蹤訓(xùn)練3已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿足ABP，BCQ，ACR，如圖所示求證：P，Q，R三點共線證明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由基本性質(zhì)3可知：點P在平面ABC與平面的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面的交線上P，Q，R三點共線方法二APARA，直線AP與直線AR確定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三點共線類型三異面直線的判定例4如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么NC，DE，AF，BM這四條線段所在的直線是異面直線的有多少對？試以其中一對為例進行證明解將展開圖還原為正方體(如圖)NC與DE，NC與AF，NC與BM，DE與AF，DE與BM，AF與BM，都是異面直線，共有6對以NC與AF是異面直線為例證明如下：方法一連接BE，若NCAF，則由NCBE，可知AFBE，這與AF與BE相交矛盾故NC與AF不平行若NC與AF相交，則平面ABFE與平面CDNM有公共點，這與正方體的性質(zhì)矛盾故NC與AF不相交所以NC與AF異面方法二連接BE，如圖，因為直線NC平面BCNE，直線AF平面BCNEO.O直線NC，所以NC與AF異面反思與感悟判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交 (2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線用符號語言可表示為A，B，l，BlAB與l是異面直線(如圖)跟蹤訓(xùn)練4分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是()A異面 B平行C相交 D以上都有可能答案D解析如圖(1)所示，直線a與b互相平行；如圖(2)所示，直線a與b相交；如圖(3)所示，直線a與b異面1若A平面，B平面，C直線AB，則()AC BCCAB DABC答案A解析因為A平面，B平面，所以AB.又因為C直線AB，所以C.2平行六面體ABCDA1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為()A3 B4 C5 D6答案C解析如圖，用列舉法知符合要求的棱為：BC，CD，C1D1，BB1，AA1，故選C.3.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，與AA1異面的是()AAB BBB1CDD1 DB1C1答案D解析由異面直線的定義知，與AA1異面的直線應(yīng)為B1C1.4線段AB在平面內(nèi)，則直線AB與平面的位置關(guān)系是_答案直線AB解析由基本性質(zhì)1知直線AB在平面內(nèi)5.如圖，已知D，E分別是ABC的邊AC，BC上的點，平面經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面的交點是P，則點P與直線DE的位置關(guān)系是_答案P直線DE解析因為PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直線DE.1解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛2在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想3異面直線是既不平行也不相交的直線一、選擇題1下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是()答案D解析畫兩個相交平面時，被遮住的部分用虛線表示，并畫出兩平面的交線2空間中，可以確定一個平面的條件是()A三個點 B四個點C三角形 D四邊形答案C解析由平面的基本性質(zhì)及推論得：在A中，不共線的三個點能確定一個平面，共線的三個點不能確定一個平面，故A錯誤；在B中，不共線的四個點最多能確定四個平面，故B錯誤；在C中，由于三角形的三個頂點不共線，因此三角形能確定一個平面，故C正確；在D中，四邊形有空間四邊形和平面四邊形，空間四邊形不能確定一個平面，故D錯誤故選C.3如果A點在直線a上，而直線a在平面內(nèi)，點B在內(nèi)，可以表示為()AAa，a，B BAa，a，BCAa，a，B DAa，a，B答案B解析A點在直線a上，而直線a在平面內(nèi)，點B在內(nèi)，表示為：Aa，a，B，故選B.4空間四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中()A必有三點共線 B必有三點不共線C至少有三點共線 D不可能有三點共線答案B解析A，B，C，D共面而不共線，這四點可能有三點共線，也可能任意三點不共線，A錯誤；如果四點中沒有三點不共線，則四點共線，矛盾，故B正確；當(dāng)任意三點不共線時，也滿足條件，故C錯誤；當(dāng)其中三點共線，第四個點不共線時，也滿足條件，故D錯誤，故選B.5有下列說法：梯形的四個頂點在同一個平面內(nèi)；三條平行直線必共面；有三個公共點的兩個平面必重合其中正確的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析因為梯形的上下底互相平行，所以梯形是平面圖形，故正確；三條平行直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故錯誤；若兩個平面的三個公共點不共線，則兩平面重合，若三個公共點共線，兩平面有可能相交，故錯誤，故選B.6三條兩兩相交的直線最多可確定的平面的個數(shù)為()A1 B2 C3 D無數(shù)答案C解析在空間中，兩兩相交的三條直線最多可以確定3個平面，如圖所示PA，PB，PC相交于一點P，則PA，PB，PC不共面，則PA、PB確定一個平面PAB，PB，PC確定一個平面PBC，PA，PC確定一個平面PAC.故選C.7.如圖所示，平面l，A、B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必通過()A點A B點BC點C但不過點M D點C和點M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根據(jù)基本性質(zhì)3可知，M在與的交線上同理可知，點C也在與的交線上8長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有()A2對 B3對 C6對 D12對答案C解析如圖所示，在長方體AC1中，與對角線AC1成異面直線位置關(guān)系的棱是：A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC，所以組成6對異面直線二、填空題9如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是_(填序號)答案解析根據(jù)異面直線的定義可得10三條平行直線最多能確定的平面的個數(shù)為_答案3解析當(dāng)三條平行直線在一個平面內(nèi)時，可以確定1個平面；當(dāng)三條平行直線不在同一平面上時，可以確定3個平面綜上，最多可確定3個平面11設(shè)平面與平面相交于l，直線a，直線b，abM，則M_l.答案解析因為abM，a，b，所以M，M.又因為l，所以Ml.12已知A，B，若Al，Bl，那么直線l與平面有_個公共點答案1解析若直線l與平面有兩個公共點，則l，那么B，這與B矛盾，lA.三、解答題13.已知：Al，Bl，Cl，Dl，如圖所示求證：直線AD，BD，CD共面證明因為Dl，所以l與D可以確定平面，因為Al，所以A，又D，所以AD.同理，BD，CD，所以AD，BD，CD在同一平面內(nèi)，即它們共面四、探究與拓展14在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MDDD1，NBBB1，那么正方體過點M，N，C1的截面圖形是()A三角形 B四邊形C五邊形 D六邊形答案C解析在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MDDD1，NBBB1.如圖，延長C1M交CD于點P，延長C1N交CB于點Q，連接PQ交AD于點E，AB于點F，連接NF，ME，則正方體過點M，N，C1的截面圖形是五邊形故選C.15在棱長是a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是AA1、D1C1的中點，過D，M，N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l.(1)畫出交線l；(2)設(shè)lA1B1P，求PB1的長；(3)求點D1到l的距離解(1)如圖，延長DM交D1A1的延長線于點Q，則點Q是平面DMN與平面A1B1C1D1的一個公共點連接QN，則直線QN就是兩平面的交線l.(2)M是AA1的中點，MA1DD1，A1是QD1的中點又A1PD1N，A1PD1N.N是D1C1的中點，A1PD1C1，PB1A1B1A1Pa.(3)過點D1作D1HPN于點H，則D1H的長就是點D1到l的距離QD12A1D12a，D1N，D1H a.即點D1到l的距離是a.14