2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解橢圓的定義.2.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一橢圓的定義思考給你兩個(gè)圖釘，一根無(wú)彈性的細(xì)繩，一張紙板，一支鉛筆，如何畫(huà)出一個(gè)橢圓？答案在紙板上固定兩個(gè)圖釘，繩子的兩端固定在圖釘上，繩長(zhǎng)大于兩圖釘間的距離，筆尖貼近繩子，將繩子拉緊，移動(dòng)筆尖即可畫(huà)出橢圓梳理(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距(2)橢圓的定義用集合語(yǔ)言敘述為：PM|MF1|MF2|2a,2a>|F1F2|(3)2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)的軌跡如下表：條件結(jié)論2a>|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓2a|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F22a<|F1F2|動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在知識(shí)點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程思考在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a>b>c一定成立嗎？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小關(guān)系不確定梳理(1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式焦點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)焦距焦點(diǎn)在x軸上1(a>b>0)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)2c焦點(diǎn)在y軸上1(a>b>0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)2c(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系橢圓在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2a2c2(3)根據(jù)方程判斷橢圓的焦點(diǎn)位置及求焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即“誰(shuí)大在誰(shuí)上”如方程為1的橢圓，焦點(diǎn)在y軸上，而且可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，1)，F(xiàn)2(0,1)，焦距|F1F2|2.(1)已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓(×)(2)已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓(×)(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(4)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓(×)類(lèi)型一橢圓定義的應(yīng)用例1點(diǎn)P(3,0)是圓C：x2y26x550內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓M與已知圓相內(nèi)切且過(guò)P點(diǎn)，判斷圓心M的軌跡考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)橢圓定義的應(yīng)用解方程x2y26x550化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x3)2y264，圓心為(3,0)，半徑r8.因?yàn)閯?dòng)圓M與已知圓相內(nèi)切且過(guò)P點(diǎn)，所以|MC|MP|r8，根據(jù)橢圓的定義，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C，P的距離之和為定值8>6|CP|，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓引申探究若將本例中圓C的方程改為：x2y26x0且點(diǎn)P(3,0)為其外一定點(diǎn)，動(dòng)圓M與已知圓C相外切且過(guò)P點(diǎn)，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程解設(shè)M(x，y)，由題意可知，圓C：(x3)2y29，圓心C(3,0)，半徑r3.由|MC|MP|r，故|MC|MP|r3，即3，整理得1(x<0)反思與感悟橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量常數(shù)2a必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷一曲線(xiàn)是否為橢圓的限制條件跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題是真命題的是_(將所有真命題的序號(hào)都填上)已知定點(diǎn)F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿(mǎn)足|PF1|PF2|的點(diǎn)P的軌跡為橢圓；已知定點(diǎn)F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿(mǎn)足|PF1|PF2|4的點(diǎn)P的軌跡為線(xiàn)段；到定點(diǎn)F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)橢圓定義的應(yīng)用答案解析<2，故點(diǎn)P的軌跡不存在；因?yàn)?a|F1F2|4，所以點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段F1F2；到定點(diǎn)F1(3，0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)(y軸)(2)已知一動(dòng)圓M與圓C1：(x3)2y21外切，與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)橢圓定義的應(yīng)用解由題意可知C1(3,0)，r11，C2(3,0)，r29，設(shè)M(x，y)，半徑為R，則|MC1|1R，|MC2|9R，故|MC1|MC2|10，由橢圓定義知，點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且a5，c3，故b2a2c216.故所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為1.類(lèi)型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P，Q的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用解方法一當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)依題意，有解得由a>b>0，知不合題意，故舍去；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)依題意，有解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m>0，n>0，mn)則解得所以所求橢圓的方程為5x24y21，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.引申探究求與橢圓1有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，)的橢圓方程解由題意可設(shè)其方程為1(>9)，又橢圓過(guò)點(diǎn)(3，)，將此點(diǎn)代入橢圓方程，得11(21舍去)，故所求的橢圓方程為1.反思與感悟(1)若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(mn，m>0，n>0)(2)與橢圓1(a>b>0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為1(a>b>0，b2>)，與橢圓1(a>b>0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為1(a>b>0，b2>)跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10；(2)橢圓過(guò)點(diǎn)(3,2)，(5,1)；(3)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)和點(diǎn)(0,1)考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由題意可知2a10，c4，故b2a2c29，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A>0，B>0，AB)，則解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.類(lèi)型三求與橢圓有關(guān)的軌跡方程例3已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|8，且ABC的周長(zhǎng)等于18.求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解以過(guò)B，C兩點(diǎn)的直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示由|BC|8可知點(diǎn)B(4,0)，C(4,0)由|AB|AC|BC|18，得|AB|AC|10>8|BC|，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和2a10，但點(diǎn)A不在x軸上由a5，c4，得b2a2c225169.所以點(diǎn)A的軌跡方程為1(y0)反思與感悟求與橢圓有關(guān)的軌跡方程常用的方法：(1)定義法：若動(dòng)點(diǎn)的軌跡特點(diǎn)符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義，則可用定義直接求解(2)直接法：將動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件或者等量關(guān)系直接坐標(biāo)化，列出等式后化簡(jiǎn)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(3)相關(guān)點(diǎn)法：根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換求出動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程跟蹤訓(xùn)練3如圖，設(shè)定點(diǎn)A(6,2)，P是橢圓1上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)M(x，y)，P(x1，y1)M為線(xiàn)段AP的中點(diǎn)，又1，點(diǎn)M的軌跡方程為.1橢圓y21上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為()A5B6C7D8考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)、焦距答案D解析設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|PF1|2，結(jié)合橢圓定義|PF2|PF1|10，可得|PF2|8.2已知橢圓的焦點(diǎn)為(1,0)和(1,0)，點(diǎn)P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為()A.1B.y21C.1D.x21考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案A解析c1，a×()2，b2a2c23，橢圓的方程為1.3設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|PF2|21，則F1PF2的面積_.考點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用答案4解析由橢圓方程，得a3，b2，c.|PF1|PF2|2a6且|PF1|PF2|21，|PF1|4，|PF2|2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，PF1F2是直角三角形，故F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|×2×44.4在橢圓y21中，有一沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的粒子從一個(gè)焦點(diǎn)F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F1，再次被橢圓反射后又回到F2，則該粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)考點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用答案4解析把粒子運(yùn)動(dòng)軌跡表示出來(lái)，可知整個(gè)路程為4a，即4.5若ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c成等差數(shù)列，且b6，求頂點(diǎn)B的軌跡方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解以直線(xiàn)AC為x軸，AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(3,0)，C(3,0)，B(x，y)，則|BC|AB|ac2b2|AC|12，B點(diǎn)的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓，且a6，c3，b227.故所求的軌跡方程為1(y0)1平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|MF2|2a，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，軌跡是一條線(xiàn)段F1F2；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，軌跡不存在2所謂橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；在1與1這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a>b>0的要求，如方程1(m>0，n>0，mn)就不能確定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，可與直線(xiàn)截距式1類(lèi)比，如1中，由于a>b，所以在x軸上的“截距”更大，因而焦點(diǎn)在x軸上(即看x2，y2分母的大小)3對(duì)于求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法：一是通過(guò)待定系數(shù)法求解，二是通過(guò)橢圓的定義進(jìn)行求解一、選擇題1平面內(nèi)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個(gè)定點(diǎn)，“動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|為常數(shù)”是“M的軌跡是橢圓”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)橢圓定義的應(yīng)用答案B解析當(dāng)|時(shí)，M的軌跡才是橢圓2已知方程1表示橢圓，則k的取值范圍為()Ak>3且kB3<k<2且kCk>2Dk<3答案B解析由題意，知需滿(mǎn)足解得3<k<2且k.3已知橢圓1的左焦點(diǎn)為F1，一動(dòng)直線(xiàn)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2且與橢圓交于點(diǎn)M，N，則F1MN的周長(zhǎng)為()A16B20C32D40考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)橢圓定義的應(yīng)用答案D解析結(jié)合橢圓的定義，知a10，且F1MN的周長(zhǎng)為4a40.4已知ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)B(0，4)，C(0,4)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A.1(x0)B.1(x0)C.1(x0)D.1(x0)考點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用答案B解析由|AB|AC|12|BC|8，得點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓(x0)5P是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|·|PF2|12，則F1PF2的大小為()A30°B60°C120°D150°考點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用答案B解析因?yàn)閨PF1|PF2|8，cosF1PF2.又因?yàn)镕1PF20，)，所以F1PF2.6已知橢圓1上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若F1PF2為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有()A3個(gè)B4個(gè)C6個(gè)D8個(gè)考點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用答案C解析當(dāng)PF1F2為直角時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)；同理當(dāng)PF2F1為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)；當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)1PF2最大，且為直角，此時(shí)這樣的點(diǎn)P有2個(gè)故符合要求的點(diǎn)P有6個(gè)7已知橢圓1(a>b>0)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則線(xiàn)段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是()A圓B橢圓C線(xiàn)段D直線(xiàn)考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)橢圓定義的應(yīng)用答案B解析由題意，知|PO|MF2|，|PF1|MF1|，又|MF1|MF2|2a，所以|PO|PF1|a>|F1O|c，故由橢圓的定義，知P點(diǎn)的軌跡是橢圓二、填空題8已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，其上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為8，焦距為2，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由定義求標(biāo)準(zhǔn)方程答案x21解析由已知2a8,2c2，所以a4，c，所以b2a2c216151.又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.9已知中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，一焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線(xiàn)互相垂直，焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近頂點(diǎn)的距離為4(1)，則此橢圓方程是_答案1解析由題意，得解得所以橢圓方程為1.10設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_考點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用答案(0，±1)解析根據(jù)題意，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(c，d)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)，可得(m，n)，(c，d)5，c，d.點(diǎn)A，B都在橢圓上，n21，21.解得m0，n±1，故點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，±1)11若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓y21的中心和右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則|OP|2|PF|2的最小值為_(kāi)考點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用答案2解析由題意可知，O(0,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)P(cos，sin)，則|OP|2|PF|22cos2sin2(cos1)2sin22cos22cos3222，所以當(dāng)cos時(shí)，|OP|2|PF|2取得最小值2.三、解答題12已知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，且PF1F2的面積為b2，求cosF1PF2的值考點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用解依題意可得整理得|PF1|·|PF2|.PF1F2的面積為b2，××sinF1PF2b2，1cosF1PF2sinF1PF2，又sin2F1PF2cos2F1PF21，cosF1PF2(cosF1PF21舍去)13已知橢圓1上一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2.(1)求M的橫坐標(biāo)；(2)求過(guò)M且與1共焦點(diǎn)的橢圓的方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)把M的縱坐標(biāo)代入1，得1，即x29，解得x±3，即M的橫坐標(biāo)為3或3.(2)橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上且c2945.設(shè)所求橢圓的方程為1(a25)，把M點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得1，解得a215(a23舍去)故所求橢圓的方程為1.四、探究與拓展14已知橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，M是橢圓上一點(diǎn)，且|MF1|MF2|1，則MF1F2是()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)橢圓定義的應(yīng)用答案B解析由橢圓定義，知|MF1|MF2|2a4，且已知|MF1|MF2|1，所以|MF1|，|MF2|.又|F1F2|2c2，所以有|MF1|2|MF2|2|F1F2|2，因此MF2F190°，即MF1F2為直角三角形15如圖所示，ABC的底邊BC12，其他兩邊AB和AC上中線(xiàn)的和為30，求此三角形重心G的軌跡方程，并求頂點(diǎn)A的軌跡方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解以BC邊所在直線(xiàn)為x軸，BC邊中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(6,0)，C(6,0)，CE，BD為AB，AC邊上的中線(xiàn)，則|BD|CE|30.由重心性質(zhì)可知，|GB|GC|(|BD|CE|)2012.B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，G點(diǎn)到B，C的距離和等于定值20，且2012|BC|，G點(diǎn)的軌跡是橢圓，B，C是橢圓焦點(diǎn)，2c|BC|12，c6,2a20，a10，b2a2c21026264，故G點(diǎn)的軌跡方程為1(x±10)設(shè)G(x，y)，A(x，y)，則有1.由重心坐標(biāo)公式知故A點(diǎn)軌跡方程為1，即1(x±30).17