第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列 2019考向?qū)Ш娇键c(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)測2019201820171等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的運(yùn)算第8題第9題數(shù)列是江蘇高考考查的熱點(diǎn)考查的重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法一般有兩道題，一道填空題，一道解答題在填空題中，突出了“小、巧、活”的特點(diǎn)，屬中高檔題，解答題主要與函數(shù)、方程、推理證明等知識(shí)綜合考查，屬中等難度以上的試題，甚至是難題，多為壓軸題2等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用第20題第20題1必記的概念與定理(1)an與Sn的關(guān)系Sna1a2an，an(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)常數(shù)(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：2an1anan2(n1，nN*)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：aan·an2(n1，nN*)(an0) an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anc·qn(c、q均是不為0的常數(shù))an為等比數(shù)列判定方法(5)an為等比數(shù)列，an>0logban為等差數(shù)列(4)an為等差數(shù)列ban為等比數(shù)列(b>0且b1)2記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論(1)等差數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列an中，anam(nm)d，d；當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Snna1dn2(a1)n是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)若公差d>0，則數(shù)列為遞增等差數(shù)列，若公差d<0，則數(shù)列為遞減等差數(shù)列，若公差d0，則數(shù)列為常數(shù)列當(dāng)mnpq時(shí)，則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，則有aman2ap若an是等差數(shù)列，Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶S奇nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1時(shí)，S奇S偶a中，S2n1(2n1)·a中(這里a中即an)，S奇S偶n(n1)若等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為An、Bn，且f(n)，則f(2n1) “首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和法一：由不等式組(或)確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)(或非正)；法二：因等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN*如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)(2)等比數(shù)列的性質(zhì)在等比數(shù)列an中，anamqnm，q；當(dāng)mnpq時(shí)，則有am·anap·aq，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，則有am·ana 若an是等比數(shù)列，且公比q1，則數(shù)列Sn ，S2nSn，S3nS2n，也是等比數(shù)列當(dāng)q1，且n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列Sn ，S2nSn，S3nS2n，是常數(shù)列0，0，0，它不是等比數(shù)列 若a1>0，q>1，則an為遞增數(shù)列；若a1<0，q>1, 則an為遞減數(shù)列；若a1>0，0<q<1，則an為遞減數(shù)列；若a1<0，0<q<1, 則an為遞增數(shù)列；若q<0，則an為擺動(dòng)數(shù)列；若q1，則an為常數(shù)列3需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn)(1)用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用的兩個(gè)式子an1and和anan1d，但它們的意義不同，后者必須加上“n2”，否則n1時(shí)，a0無定義(2)從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù)(3)由an1qan，q0并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的運(yùn)算典型例題 (1)(2019·高考江蘇卷)已知數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a2a5a80，S927，則S8的值是_(2)(2019·蘇北三市高三模擬)在公比為q且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，Sn為an的前n項(xiàng)和若a1，且S5S22，則q的值為_【解析】(1)通解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a5a8(a1d)(a14d)a17da4d25a1da17d0，S99a136d27，解得a15，d2，則S88a128d405616優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為dS99a527，a53，又a2a5a80，則3(33d)33d0，得d2，則S84(a4a5)4(13)16(2)由題意得，a3a4a52，又a1，所以1qq22，即q2q10，所以q，又q0，所以q【答案】(1)16(2)(1)等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d(q)，n，Sn，知道其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d(q)是等差(比)數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法對點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(一)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若數(shù)列an與數(shù)列(t1)分別是公比為q，q的等比數(shù)列，則qq的取值范圍為_解析 若q1，則tnt，不成等比數(shù)列，故q1，則tt，考慮前三項(xiàng)1t，t，t成等比數(shù)列得，t，反之，當(dāng)t時(shí)，t成等比數(shù)列，此時(shí)，公比為，即q由t1，得1，q1，qqq2，故qq的取值范圍是(2，)答案 (2，)2(2019·蘇州市高三調(diào)研)已知an是等差數(shù)列，a515，a1010，記數(shù)列an的第n項(xiàng)到第n5項(xiàng)的和為Tn，則|Tn|取得最小值時(shí)的n的值為_解析 由得，從而等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an405n，得Tn(405n)(155n)16530n，因?yàn)閨Tn|0，又nN*，故當(dāng)n5或6時(shí)，|Tn|取得最小值15答案 5或6等差、等比數(shù)列的判斷與證明典型例題 (2019·江蘇名校聯(lián)考信息卷)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且對任意的m，nN*，都有(SmnS1)24a2ma2n(1)求的值；(2)求證：an為等比數(shù)列【解】(1)由(SmnS1)24a2na2m，得(S2S1)24a，即(a22a1)24a因?yàn)閍1>0，a2>0，所以a22a12a2，即2(2)證明：法一：令m1，n2，得(S3S1)24a2a4，即(2a1a2a3)24a2a4，令mn2，得S4S12a4，即2a1a2a3a4又2，所以a44a28a1，a34a1由(SmnS1)24a2na2m，得(Sn1S1)24a2na2，(Sn2S1)24a2na4兩式相除，得，所以2，即Sn2S12(Sn1S1)，從而Sn3S12(Sn2S1)以上兩式相減，得an32an2，故當(dāng)n3時(shí)，an是公比為2的等比數(shù)列又a32a24a1，從而ana1·2n1，nN*顯然，ana1·2n1滿足題設(shè)，因此an是首項(xiàng)為a1，公比為2的等比數(shù)列法二：在(SmnS1)24a2na2m中，令mn，得S2nS12a2n令mn1，得S2n1S12，在中，用n1代替n得，S2n2S12a2n2，得a2n122a2n2()，得a2n22a2n222·()，由得a2n1將代入，得a2n12a2n，將代入得a2n22a2n1，所以2又2，從而ana1·2n1，nN*顯然ana1·2n1滿足題設(shè)因此an是首項(xiàng)為a1，公比為2的等比數(shù)列遞推數(shù)列問題常見的處理方法(1)將第n項(xiàng)和第n1項(xiàng)合并在一起，看是否是一個(gè)特殊數(shù)列；若遞推關(guān)系式含有an與Sn，則考慮是否可以將an與Sn進(jìn)行統(tǒng)一(2)根據(jù)遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征確定是否為熟悉的、有固定方法的遞推關(guān)系式向通項(xiàng)公式的轉(zhuǎn)換類型，否則可以寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，看能否找到規(guī)律，即先特殊、后一般、再特殊對點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，對任意的nN*，都有Sn2an，數(shù)列bn滿足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解 (1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，解得a11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1an1an，即(n2，nN*)所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)因?yàn)閍11，所以b12a12因?yàn)閎n，所以1，即1(n2)所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列所以(n1)·1，故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用典型例題 (2018·高考江蘇卷)設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，bn是首項(xiàng)為b1，公比為q的等比數(shù)列(1)設(shè)a10，b11，q2，若|anbn|b1對n1，2，3，4均成立，求d的取值范圍；(2)若a1b1>0，mN*，q(1，證明：存在dR，使得|anbn|b1對n2，3，m1均成立，并求d的取值范圍(用b1，m，q表示)【解】(1)由條件知：an(n1)d，bn2n1，因?yàn)閨anbn|b1對n1，2，3，4均成立，即|(n1)d2n1|1對n1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得d，因此，d的取值范圍為(2)由條件知：anb1(n1)d，bnb1qn1若存在d，使得|anbn|b1(n2，3，m1)成立，即|b1(n1)db1qn1|b1(n2，3，m1)，即當(dāng)n2，3，m1時(shí)，d滿足b1db1因?yàn)閝(1，則1<qn1qm2，從而b10，b1>0，對n2，3，m1均成立因此，取d0時(shí)，|anbn|b1對n2，3，m1均成立下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值(n2，3，m1)當(dāng)2nm時(shí)，當(dāng)1q2時(shí)，有qnqm2，從而n(qnqn1)qn2>0因此，當(dāng)2nm1時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為設(shè)f(x)2x(1x)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)(ln 21xln 2)2x<0，所以f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)<f(0)1當(dāng)2nm時(shí)，2f<1，因此，當(dāng)2nm1時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最小值為因此，d的取值范圍為等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便首項(xiàng)和公差(公比)是等差(比)數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法 對點(diǎn)訓(xùn)練4(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(九)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a1a26，a38，正項(xiàng)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且4Snb2bn1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：對任意實(shí)數(shù)m，數(shù)列bnmbn1都是等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差；(3)設(shè)cndn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn，并比較Tn與dn的大小解 (1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則解得(舍去)，或所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n(2)當(dāng)n1時(shí)，4b1b2b11，所以b11，當(dāng)n2時(shí)，4(SnSn1)4bnb2bn1(b2bn11)，所以(bnbn1)(bnbn12)0，因?yàn)閎nbn1>0，所以bnbn12，所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以bn2n1因?yàn)閎n1mbn2(bnmbn1)(bn1bn)m(bn2bn1)22m，所以對任意實(shí)數(shù)m，數(shù)列bnmbn1都是等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為22m(3)因?yàn)楫?dāng)n2時(shí)，cn，又c1也符合此式，所以cn，所以Tn(2)()()2又dn2，所以Tndn22，當(dāng)n<6時(shí)，<0，所以Tn<dn；當(dāng)n6時(shí)，0，所以Tndn；當(dāng)n>6時(shí)，>0，所以Tn>dn1(2019·南京模擬)在等比數(shù)列an中，a2a616，a4a88，則_解析 法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a2a616得aq616，所以a1q3±4由a4a88，得a1q3(1q4)8，即1q4±2，所以q21于是q101法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得aa2a616，所以a4±4，又a4a88，所以或因?yàn)閍a4a8>0，所以則公比q滿足q41，q21，所以q101答案 12(2019·宿遷模擬)若等差數(shù)列an滿足a2S34，a3S512，則a4S7的值是_解析 由S33a2，得a21，由S55a3，得a32，則a43，S77a4，則a4S78a424答案 243(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知數(shù)列an滿足a12，an1，bn(nN*)，則數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是_解析 由已知得(nN*)，則n(nN*)，即bn1bnn(nN*)，所以b2b11，b3b22，bnbn1(n1)，累加得bnb1123(n1)，又b11，所以bn1答案 bn4已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列若a1>0，且2(anan2)5an1，則數(shù)列an的公比q_解析 因?yàn)?(anan2)5an1，所以2an(1q2)5anq，所以2(1q2)5q，解得q2或q因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且a1>0，所以q>1，所以q2答案 25(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)調(diào)研(一)中國古代著作張丘建算經(jīng)中有這樣一個(gè)問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里那么這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為_解析 由題意可知，這匹馬每天行走的里程數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)為an，易知公比q，則S72a1a1700，所以a1700×，所以a7a1q6700××，所以這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為答案 6(2019·蘇州市第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則_解析 法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，若公比q為1，則，與已知條件不符，所以公比q1，所以Sn，因?yàn)?，所以，所以q52，所以法二：因?yàn)?，所以不妨設(shè)S5a，S103a，a0，易知S5，S10S5，S15S10，S20S15成等比數(shù)列，由S5a，S10S52a，得S15S104a，S20S158a，從而S2015a，所以答案 7設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，那么anbn組成的數(shù)列的第37項(xiàng)的值為_解析 an，bn都是等差數(shù)列，則anbn為等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1b1100，d(a2b2)(a1b1)1001000，所以anbn為常數(shù)數(shù)列，第37項(xiàng)為100答案 1008(2019·南京市四校第一學(xué)期聯(lián)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比列an中，a23，a427，S2n為該數(shù)列的前2n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列anan1的前n項(xiàng)和，若S2nkTn，則實(shí)數(shù)k的值為_解析 因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a23，a427，所以a11，公比q3，所以S2n，an3n1令bnanan13n1·3n32n1，所以b13，數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比q9，所以Tn因?yàn)镾2nkTn，所以k·，解得k答案 9(2019·泰州市高三模擬)已知公差為2的等差數(shù)列an及公比為2的等比數(shù)列bn滿足a1b1>0，a2b2<0，則a3b3的取值范圍是_解析 法一：由題意可得，該不等式組在平面直角坐標(biāo)系a1Ob1中表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則當(dāng)a3b3a144b1經(jīng)過點(diǎn)(2，2)時(shí)取得最大值2，則a3b3<2法二：由題意可得，則a3b3a144b12(a1b1)3(a12b1)4<2，故a3b3的取值范圍是(，2)答案 (，2)10在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0其中所有正確判斷的序號(hào)是_解析 由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；當(dāng)an是等比數(shù)列，且公比q1時(shí)，an不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；數(shù)列0，1，0，1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個(gè)0，所以正確答案 11(2019·寶雞模擬)已知數(shù)列an滿足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求證：an12an是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解 (1)證明：因?yàn)閍n1an6an1(n2)，所以an12an3an6an13(an2an1)(n2)又a15，a25，所以a22a115，所以an2an10(n2)，所以3(n2)，所以數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(2)由(1)得an12an15×3n15×3n，則an12an5×3n，所以an13n12(an3n)又因?yàn)閍132，所以an3n0，所以an3n是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以an3n2×(2)n1，即an2×(2)n13n(nN*)12(2019·蘇州市高三模擬)已知數(shù)列an滿足：a1，an1anp·3n1nq，nN*，p，qR(1)若q0，且數(shù)列an為等比數(shù)列，求p的值；(2)若p1，且a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，求q的取值范圍解 (1)因?yàn)閝0，an1anp·3n1，所以a2a1pp，a3a23p4p由數(shù)列an為等比數(shù)列，得，解得p0或p1當(dāng)p0時(shí)，an1an，所以an，符合題意；當(dāng)p1時(shí)，an1an3n1，所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(133n2)·3n1，所以3符合題意所以p的值為0或1(2)因?yàn)閜1，所以an1an3n1nq，又a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，所以，即，所以3q此時(shí)a2a11q<0，a3a232q<0，所以a1>a2>a3a4當(dāng)n4時(shí)，令bnan1an，bn1bn2·3n1q2·341>0，所以bn1>bn，所以0b4<b5<b6<，即a4a5<a6<a7<綜上所述，當(dāng)3q時(shí)，a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，即所求q的取值范圍為13已知數(shù)列an，對于任意n2，在an1與an之間插入n個(gè)數(shù)，構(gòu)成的新數(shù)列bn成等差數(shù)列，并記在an1與an之間插入的這n個(gè)數(shù)的均值為Cn1(1)若an，求C1，C2，C3；(2)在(1)的條件下是否存在常數(shù)，使Cn1Cn是等差數(shù)列？如果存在，求出滿足條件的，如果不存在，請說明理由解 (1)由題意a12，a21，a35，a410，所以在a1與a2之間插入1，0，C1在a2與a3之間插入2，3，4，C23在a3與a4之間插入6，7，8，9，C3(2)在an1與an之間插入n個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，d1，所以Cn1假設(shè)存在使得Cn1Cn是等差數(shù)列所以(Cn1Cn)(CnCn1)Cn1Cn(CnCn1)·(1)n常數(shù)，所以1即1時(shí)，Cn1Cn是等差數(shù)列14(2019·無錫期中檢測)在等差數(shù)列an中，a13，其前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，b11，其前n項(xiàng)和為Tn，且b2S211，2S39b3(1)求數(shù)列an和數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)問是否存在正整數(shù)m，n，r，使得Tnamr·bn成立？如果存在，請求出m，n，r的關(guān)系式；如果不存在，請說明理由解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q0)，則解得d3，q2所以an3n，bn2n1(2)因?yàn)門n122n12n1，所以有2n13mr·2n1(*)若r2，則r·2n12n1，(*)不成立，所以r1，m若n為奇數(shù)，當(dāng)n1時(shí)，m0，不成立， 當(dāng)n1時(shí)，設(shè)n2t1，tN*，則mZ；若n為偶數(shù)，設(shè)n2t，tN*，則m2·，因?yàn)閆，所以mZ綜上所述，存在正整數(shù)m，n，r，使得Tnamr·bn成立，此時(shí)n為大于1的奇數(shù)，r1，且m- 15 -