第2講考前必講的10大陷阱陷阱1混淆概念致誤 若zsin i是純虛數(shù)，則tan的值為_易錯分析 本題易混淆復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，忽視虛部不為零的限制條件，導(dǎo)致所求tan的值為多解正確解析 由純虛數(shù)的概念，可知由，得sin ，故cos ±± ±，而由，可得cos ，故cos ，所以tan 而tan7答案 7跳出陷阱 在解答概念類試題時，一定要仔細(xì)辨析試題中待求的問題，在準(zhǔn)確用好概念的前提下再對試題進(jìn)行解答，這樣才能避免概念性錯誤如本題，要搞清楚虛數(shù)，純虛數(shù)，實數(shù)與復(fù)數(shù)的概念陷阱2錯求目標(biāo)失分 設(shè)向量a，b滿足|a|1，|ab|，a·(ab)0，則|2ab|_易錯分析 在本題求解向量模的運算過程中易忘記開平方，誤把向量模的平方當(dāng)成所求結(jié)論而錯選結(jié)果正確解析 法一：由a·(ab)0，可得a·ba21由|ab|，可得(ab)23，即a22a·bb23，解得b24故(2ab)24a24a·bb212，故|2ab|2法二：由a·(ab)0，可知a(ab)而2ab3a(ab)，所以(2ab)23a(ab)2(3a)2(ab)22×3a·(ab)9a2(ab)29×12()212，故|2ab|2答案 2跳出陷阱 求解向量模的問題，一般是先求該向量自身的數(shù)量積，即向量模的平方，易出現(xiàn)的問題就是最后忘記開方導(dǎo)致失誤求解此類問題一定要注意審題，明確解題目標(biāo)，求出結(jié)果之后再對照所求驗證一遍，就可以避免此類失誤陷阱3錯用結(jié)論失分 函數(shù)f(x)的圖象由函數(shù)g(x)4sin xcos x的圖象向左平移個單位，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)而得到，則f_易錯分析 該題易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是不能準(zhǔn)確確定函數(shù)解析式的變換與圖象左右平移方向之間的關(guān)系；二是記錯函數(shù)圖象上點的橫坐標(biāo)的變化規(guī)律與函數(shù)解析式的變換的關(guān)系正確解析 函數(shù)g(x)4sin xcos x2sin 2x的圖象向左平移個單位得到函數(shù)y2sin2sin的圖象，該函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)所得圖象對應(yīng)的函數(shù)，即f(x)2sin2sin所以f2sin2·2答案 跳出陷阱 三角函數(shù)圖象的平移與伸縮變換問題，關(guān)鍵是把握變換前后兩個函數(shù)解析式之間的關(guān)系，熟記相關(guān)的規(guī)律如函數(shù)yf(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位，得到函數(shù)yf(xm)的圖象；若向右平移m(m>0)個單位，得到函數(shù)yf(xm)的圖象若函數(shù)yf(x)的圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，則得到函數(shù)yf的圖象陷阱4遺漏條件致誤 若a，b1，0，1，2，則函數(shù)f(x)ax22xb有零點的概率為_易錯分析 該題易出現(xiàn)的問題是求解基本事件的個數(shù)時，不按照一定的順序列舉導(dǎo)致漏、重現(xiàn)象正確解析 法一：因為a，b1，0，1，2，所以不同的取法為：(1，1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(0，1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共16種當(dāng)a0時，f(x)2xb，無論b取1，0，1，2中何值，原函數(shù)必有零點，所以有4種取法；當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)ax22xb為二次函數(shù)，若有零點須使0，即44ab0，即ab1，所以a，b取值組成的數(shù)對分別為：(1，0)，(1，0)，(2，0)，(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，2)，(2，1)，共9種，綜上，所求的概率為法二：(排除法)：由法一可知，總的方法種數(shù)為16，其中原函數(shù)若無零點，則有a0且<0即ab>1，所以此時a，b取值組成的數(shù)對分別為(1，2)，(2，1)，(2，2)，共3種，所以所求的概率為1答案 跳出陷阱 利用列舉法求基本事件時，一是注意用不同的字母或數(shù)字符號表示不同類的元素，這樣便于區(qū)分；二是要注意按照一定的順序，如該題中a，b各有4個數(shù)可以取，寫出對應(yīng)的基本事件時，按照從左到右或從右到左的順序進(jìn)行列舉，一一寫出基本事件，否則就容易產(chǎn)生遺漏或重復(fù)的現(xiàn)象陷阱5畫圖不準(zhǔn)致誤 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)f(2x)0；f(x2)f(x)；在1，1上表達(dá)式為f(x)則函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間3，3上的交點個數(shù)為_易錯分析 該題易出現(xiàn)的問題是不能準(zhǔn)確作出函數(shù)圖象導(dǎo)致無法判斷兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)正確解析 由f(x)f(2x)0可得f(1x)f(1x)0，即f(x)的圖象關(guān)于(1，0)對稱；由f(x2)f(x)可得f(x1)f(x1)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱如圖，先作出函數(shù)yf(x)在1，1上的圖象，然后作出其關(guān)于直線x1對稱的圖象，即得到函數(shù)在3，1上的圖象，最后作其關(guān)于(1，0)對稱的圖象，即得到函數(shù)在1，3上的圖象又作出函數(shù)yg(x)的圖象，由圖象可知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象在3，3上有6個交點答案 6跳出陷阱 該題是利用函數(shù)圖象的直觀性解決兩函數(shù)圖象的交點問題，準(zhǔn)確利用函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象是解決此類問題的關(guān)鍵要熟練把握函數(shù)的一些基本性質(zhì)，如函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性與單調(diào)性等如該題中的函數(shù)yf(x)，根據(jù)已知，該函數(shù)既有對稱中心，又有對稱軸，所以該函數(shù)也具有周期性其周期就是對稱中心到對稱軸距離的4倍，所以該函數(shù)的周期為T2×48所以如果研究函數(shù)在其他范圍內(nèi)的圖象，就可以利用周期性作出函數(shù)圖象陷阱6忽視特例失分 已知l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20求使l1l2的a的值易錯分析 本題易出現(xiàn)的問題是忽略直線斜率不存在的特殊情況正確解析 法一：當(dāng)直線斜率不存在，即a0時，有l(wèi)1：3x50，l2：x20，符合l1l2；當(dāng)直線斜率存在時，l1l2且a故使l1l2的a的值為或0法二：由l1l23·(a)(3a1)·2a0，得a0或a故使l1l2的a的值為0或跳出陷阱 討論兩條直線的位置關(guān)系時，要注意對斜率是否存在進(jìn)行討論，還要注意對系數(shù)是否為零進(jìn)行討論陷阱7跳步計算出錯 (2019·長沙四校聯(lián)考)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：1(b>0)的左、右焦點，若P是該橢圓上的一個動點，且·的最大值為1(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線l：xky1與橢圓E交于不同的兩點A、B，且AOB為銳角(O為坐標(biāo)原點)，求k的取值范圍易錯分析 該題易出現(xiàn)的問題是坐標(biāo)化已知條件以及聯(lián)立方程確定點的坐標(biāo)之間的關(guān)系時，由于計算過程不規(guī)范導(dǎo)致失誤正確解析 (1)法一：易知a2，c，b2<4，所以F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)P(x，y)，則·(x，y)·(x，y)x2y24b2x2b24b2x22b24因為x2，2，故當(dāng)x±2，即點P為橢圓長軸端點時，·有最大值1，即1×42b24，解得b21故所求橢圓E的方程為y21法二：由題意知a2，c，b2<4，所以F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)P(x，y)，則·|·|·cosF1PF2|·|·(x)2y2(x)2y2164b2x22b24因為x2，2，故當(dāng)x±2，即點P為橢圓長軸端點時，·有最大值1，即1×42b24，解得b21故所求橢圓E的方程為y21(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)y22ky30，(2k)212(4k2)16k248>0，故y1y2，y1·y2又AOB為銳角，故·x1x2y1y2>0，又x1x2(ky11)(ky21)k2y1y2k(y1y2)1，所以x1x2y1y2(1k2)y1y2k(y1y2)1(1k2)·1>0，所以k2<，解得<k<，故k的取值范圍是跳出陷阱 目標(biāo)函數(shù)法是求解析幾何最值問題的法寶先建立目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系，通過點的坐標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式；然后尋找變量條件，挖掘題設(shè)條件和圓錐曲線中的隱含條件，得到目標(biāo)函數(shù)式中的自變量的限制條件(如直線與圓錐曲線相交，關(guān)注>0等)；最后求解函數(shù)的最值，常利用代數(shù)方法，如基本不等式法、配方法、導(dǎo)數(shù)法、單調(diào)性法等，將所求得的函數(shù)最值與目標(biāo)中的幾何最值形成對應(yīng)，得到問題的結(jié)論陷阱8推論不當(dāng)致誤 如圖，以BC為斜邊的等腰直角三角形ABC與等邊三角形ABD所在平面互相垂直，且點E滿足(1)求證：平面EBC平面ABC；(2)求平面EBC與平面ABD所成的角的正弦值易錯分析 推理過程不嚴(yán)謹(jǐn)，使用面面垂直的判定定理時給出的定理條件不全面，造成了推理的不充分正確解析 (1)證明：取BC的中點F，AB的中點H，因為ABD是等邊三角形，所以DHAB，因為以BC為斜邊的等腰直角三角形ABC與等邊三角形ABD所在平面互相垂直，所以DH平面ABC，因為點E滿足所以DEAC，DEAC，因為HFAC，HFAC，所以DEFH，DEFH，則四邊形EFHD是矩形，則EFDH，則EF平面ABC，因為EF平面BCE，所以平面EBC平面ABC(2)建立以H為坐標(biāo)原點，HF，HB，HD所在直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖，則平面ABD的法向量為，是平面BCE的法向量，則AFH45°，則平面EBC與平面ABD所成的角為45°，則sin 45°，所以平面EBC與平面ABD所成的角的正弦值是跳出陷阱 立體幾何試題的一個主要功能就是考查邏輯推理能力，主要以線面位置關(guān)系證明的方式進(jìn)行考查，在使用空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理時一定要保證條件的充分性，以確保推理過程嚴(yán)謹(jǐn)無誤陷阱9分類標(biāo)準(zhǔn)不正確致誤 已知函數(shù)f(x)xln xx，g(x)(x>0)(1)討論f(x)在區(qū)間t，te(t>0)上的單調(diào)性；(2)是否存在直線yb(bR)，使得函數(shù)f(x)與g(x)的圖象分別在它的兩側(cè)(可相切)？若存在，請求出實數(shù)b的值(或取值范圍)；若不存在，請說明理由易錯分析 該題易出現(xiàn)的問題是討論f(x)的單調(diào)性時，對參數(shù)進(jìn)行分類討論的標(biāo)準(zhǔn)不正確，造成分類重復(fù)或遺漏而導(dǎo)致錯解正確解析 (1)f(x)xln xx，f(x)ln x2，由f(x)0得x當(dāng)0<t<時，在上，f(x)<0，在上，f(x)>0，因此f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)t時，在t，te上，f(x)0恒成立，所以f(x)在t，te上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)0<t<時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)t時，f(x)在t，te上單調(diào)遞增(2)f(x)xln xx，f(x)ln x2，由f(x)0，得x當(dāng)0<x<時，f(x)<0，當(dāng)x>時，f(x)>0，所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故f(x)minf而g(x)(x>0)，g(x)，當(dāng)0<x<1時，g(x)>0，當(dāng)x>1時，g(x)<0，所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減所以g(x)maxg(1)所以f(x)g(x)，故函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象恒在直線y的兩側(cè)(相切)，所以b跳出陷阱 含參函數(shù)單調(diào)性的分析是一個難點，此類問題易出現(xiàn)的問題就是對參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)不清楚，導(dǎo)致分類錯亂明確標(biāo)準(zhǔn)，合理分類是解決此類問題的關(guān)鍵，一般來說，討論含參函數(shù)單調(diào)性的問題，對參數(shù)進(jìn)行分類討論的基本順序為：最高次冪系數(shù)是否為0；方程f(x)0是否有解；解是否在定義域內(nèi)；解之間的大小關(guān)系分類之后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，應(yīng)畫出導(dǎo)函數(shù)解析式中符號變化的部分對應(yīng)函數(shù)(一般可轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)或二次函數(shù))的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相對位置變化確定導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而寫出單調(diào)區(qū)間陷阱10忽視驗證出錯 已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an1(nN*)，且a11(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列nan的前n項和Tn易錯分析 該題易出現(xiàn)的問題有兩個方面：一是利用anSnSn1建立an與an1之間的關(guān)系時忽視n2的限制條件，而忽略n1的討論；二是求數(shù)列nan的前n項和Tn時，忽視該數(shù)列通項公式中n1時的情況，直接求和不驗證而導(dǎo)致失分正確解析 (1)當(dāng)n1時，由已知可得a12a2，即a2a1當(dāng)n2時，由已知Sn2an1(nN*)，可得Sn12an(n2，nN*)，兩式相減得an2an12an2an13an，即，所以數(shù)列an從第二項開始成一個首項為a2，公比為的等比數(shù)列，故當(dāng)n2，nN*時有an·所以an(2)記bnnan故當(dāng)n1時，T1b11；當(dāng)n2時，Tnb1b2b3bn1××××，Tn××××，得，Tn1×××××××××1×，所以Tn2(n2)×當(dāng)n1時，T12(12)×1，顯然上式也成立綜上，Tn2(n2)×跳出陷阱 解決數(shù)列問題時一定要注意n的取值限制，求通項問題，要注意首項的驗證，如該題中用到an與Sn的關(guān)系式anSnSn1，而該式成立的前提是n2；再如已知數(shù)列an，當(dāng)n2時，若有q，則該數(shù)列不一定是等比數(shù)列，因為該式不包含q，若要證明該數(shù)列是等比數(shù)列，則還需驗證q- 11 -