難點(diǎn)三以構(gòu)建函數(shù)模型、解三角形、動(dòng)點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第66頁(yè))高考實(shí)際應(yīng)用題一直是高考當(dāng)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，雖有較為清晰的數(shù)學(xué)概念分析，但是如果學(xué)生對(duì)應(yīng)用題當(dāng)中的數(shù)學(xué)公式的基本應(yīng)用沒(méi)有一個(gè)較為清晰的理解，往往會(huì)陷入到應(yīng)用的“陷阱”當(dāng)中因此良好的解題思路，以及正確的解題方式，是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用解題的重點(diǎn)高考實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題常常在函數(shù)、三角函數(shù)和三角形、解析法中體現(xiàn)因此對(duì)于高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題方向來(lái)看，我們應(yīng)當(dāng)從構(gòu)建具體的思維應(yīng)用模式出發(fā)1與函數(shù)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干和核心知識(shí)，以函數(shù)知識(shí)為背景的應(yīng)用題一直活躍在高考的舞臺(tái)上，引人關(guān)注，隨著知識(shí)的更新，函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題中的模型也越來(lái)越新穎高考函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的熱點(diǎn)模型主要有：一次、二次函數(shù)型，三次函數(shù)型，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)型，分段函數(shù)型等解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字)：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題的意義【例1】(2016·江蘇高考)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖1所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394095】圖1 解(1)由PO12知O1O4PO18.因?yàn)锳1B1AB6，所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積V錐·A1B·PO1×62×224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2·O1O62×8288(m3)所以倉(cāng)庫(kù)的容積VV錐V柱24288312(m3)(2)設(shè)A1B1a m，PO1h m，則0<h<6，O1O4h.連接O1B1.因?yàn)樵赗tPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是倉(cāng)庫(kù)的容積VV柱V錐a2·4ha2·ha2h(36hh3)，0<h<6，從而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)當(dāng)0<h<2時(shí)，V>0，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)2<h<6時(shí)，V<0，V是單調(diào)減函數(shù)故當(dāng)h2時(shí)，V取得極大值，也是最大值因此，當(dāng)PO12 m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大點(diǎn)評(píng)實(shí)際生活中的二次函數(shù)問(wèn)題(如面積、利潤(rùn)、產(chǎn)量等)，可根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)模型，結(jié)合二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、零點(diǎn)解決，解題中一定注意函數(shù)的定義域2與解三角形相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題三角函數(shù)既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，高考中常會(huì)考察與三角函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，需要建立三角函數(shù)模型將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決三角實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是仔細(xì)審題，準(zhǔn)確理解題意，分析條件和結(jié)論，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，理清問(wèn)題中各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系；二是合理選取參變量，設(shè)定變?cè)瑢ふ宜鼈冎g的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問(wèn)題中的關(guān)系；三是建立與求解相應(yīng)的三角函數(shù)模型將文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論【例2】(2017·江蘇省南京市迎一模模擬)如圖2，某城市有一條公路正西方AO通過(guò)市中心O后轉(zhuǎn)向北偏東角方向的OB，位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM3 km，且AOM，現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經(jīng)過(guò)大學(xué)M，其中tan 2，cos ，AO15 km. (1)求大學(xué)M與A站的距離AM；(2)求鐵路AB段的長(zhǎng)圖2 解(1)在AOM中，AO15，AOM，且cos ，OM3，由余弦定理可得：AM2OA2OM22OA·OM·cosAOM(3)21522×3×15×72.所以可得：AM6，大學(xué)M與A站的距離AM為6 km.(2)cos ，且為銳角，sin ，在AOM中，由正弦定理可得：，即，sinMAO，MAO，ABO，tan 2，sin ，cos ，sinABOsin，又AOB，sinAOBsin().在AOB中，AO15，由正弦定理可得：，即，解得AB30，即鐵路AB段的長(zhǎng)為30 km.點(diǎn)評(píng)解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形：(1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解3以動(dòng)點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題近年江蘇高考將直線與圓的位置關(guān)系隱含到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行考查，利用解析幾何中最值與范圍問(wèn)題的解法求實(shí)際問(wèn)題中的最值與范圍問(wèn)題，這是一個(gè)高考新方向，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)解析幾何中的最值與范圍問(wèn)題往往需建立求解目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的最值研究幾何中的最值與范圍【例3】(南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)如圖3所示，某街道居委會(huì)擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中AE30米活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)GE不超過(guò)2.5米，其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角滿足tan .圖3(1)若設(shè)計(jì)AB18米，AD6米，問(wèn)能否保證上述采光要求？(2)在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)AB與AD的長(zhǎng)度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？(注：計(jì)算中取3)解如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(1)因?yàn)锳B18，AD6，所以半圓的圓心為H(9,6)，半徑R9.設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為yxb，即3x4y4b0，則由9，解得b24或b(舍)故太陽(yáng)光線所在直線方程為yx24，令x30，得EG1.5米2.5米所以此時(shí)能保證上述采光要求(2)設(shè)ADh米，AB2r米，則半圓的圓心為H(r，h)，半徑為r.法一：設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為yxb，即3x4y4b0，由r，解得bh2r或bh(舍)故太陽(yáng)光線所在直線方程為yxh2r，令x30，得EG2rh，由EG，得h252r.所以S2rhr22rh×r22r(252r)×r2r250r(r10)2250250.當(dāng)且僅當(dāng)r10時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)AB20米且AD5米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大法二：欲使活動(dòng)中心截面面積盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為2.5米，則此時(shí)點(diǎn)G為(30,2.5)，設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為l1，則l1所在直線方程為y(x30)，即3x4y1000.由直線l1與半圓H相切，得r.而點(diǎn)H(r，h)在直線l1的下方，則3r4h1000，即r，從而h252r.又S2rhr22r(252r)×r2r250r(r10)2250250.當(dāng)且僅當(dāng)r10時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)AB20米且AD5米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大點(diǎn)評(píng)解與動(dòng)點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題常需建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)直線與圓位置關(guān)系問(wèn)題，再結(jié)合解幾何方法求最值與范圍6