2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單問題知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義思考若取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點(diǎn)M處，拉開或閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點(diǎn)可畫出一條曲線，那么曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足怎樣的幾何條件？答案如圖，曲線上的點(diǎn)滿足條件：|MF1|MF2|常數(shù)；如果改變一下筆尖位置，使|MF2|MF1|常數(shù)，可得到另一條曲線梳理(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距；(2)關(guān)于“小于|F1F2|”：若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn))；若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在(3)若將“絕對值”去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡只有雙曲線的一支(4)若常數(shù)為零，其余條件不變，則點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程思考雙曲線中a，b，c的關(guān)系如何？與橢圓中a，b，c的關(guān)系有何不同？答案雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，b2c2a2，即c2a2b2，其中c>a，c>b，a與b的大小關(guān)系不確定；而在橢圓中b2a2c2，即a2b2c2，其中a>b>0，a>c，c與b大小不確定梳理(1)雙曲線兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系式a2b2c2(2)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(×)(2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)的距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(×)(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)的距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(×)類型一雙曲線定義的應(yīng)用例1(1)若雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A11B9C5D3考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案B解析由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a6，即|3|PF2|6，解得|PF2|9(負(fù)值舍去)，故選B.(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積等于()A4B8C24D48考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案C解析由題意，得解得又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形，則×|PF1|×|PF2|24.反思與感悟焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax2By21(AB0)跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，已知|AB|4，A(2，0)，B(2，0)，且內(nèi)角A，B，C滿足sinBsinAsinC，求頂點(diǎn)C的軌跡方程考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用解由sin Bsin Asin C及正弦定理，可得ba，從而有|CA|CB|AB|2|AB|，由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支a，c2，b2c2a26，頂點(diǎn)C的軌跡方程為1(x)類型二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)；(2)雙曲線上兩點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(3，4)，.考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，則解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思與感悟待定系數(shù)法求方程的步驟(1)定型：確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，若不知道焦點(diǎn)的位置，則進(jìn)行討論，或設(shè)雙曲線的方程為Ax2By21(AB<0)與雙曲線1(a>0，b>0)共焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(b2<k<a2)(3)計(jì)算：利用題中條件列出方程組，求出相關(guān)值(4)結(jié)論：寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程跟蹤訓(xùn)練2(1)求以橢圓1的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)A(4，5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知雙曲線過P，Q兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)由題意，知雙曲線的兩焦點(diǎn)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，將點(diǎn)A(4，5)代入雙曲線方程，得1.又a2b29，解得a25，b24，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，所以解得(舍去)若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，將P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.類型三雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用例3在相距2000m的兩個(gè)哨所A，B，聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲已知當(dāng)時(shí)的聲速是330m/s，在A哨所聽到爆炸聲的時(shí)間比在B哨所遲4s，試判斷爆炸點(diǎn)在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)爆炸點(diǎn)為P，由已知可得|PA|PB|330×41 3200.因?yàn)閨AB|2 0001 320，所以點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近B處的那一支上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，使A，B兩點(diǎn)在x軸上，以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)由2a1 320,2c2 000，得a660，c1 000，b2c2a2564 400.因此，點(diǎn)P所在曲線的方程是1(x660)反思與感悟可以結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合雙曲線的定義，建立關(guān)系式，然后化簡，求出相應(yīng)的方程跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓1與雙曲線1有交點(diǎn)P，且有公共的焦點(diǎn)，且F1PF22，求證：tan.考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由雙曲線方程求參數(shù)證明如圖所示，設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，則在PF1F2中，對于雙曲線有|r2r1|2m，cos21，1cos2，sin.則在PF1F2中，對于橢圓有r1r22a，cos21，1cos2，cos，tan.1若方程1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A1<m<3Bm>1Cm>3Dm<1考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由雙曲線方程求參數(shù)答案B解析依題意應(yīng)有m1>0，即m>1.2已知F1(8,3)，F(xiàn)2(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|PF2|10，則P點(diǎn)的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C直線D一條射線考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案D解析F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，且|F1F2|10，所以滿足條件|PF1|PF2|10的點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為一條射線3(2018屆浙江東陽中學(xué)期中)ABC的頂點(diǎn)為A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()A.1B.1C.1(x>3) D.1(x>4)答案C解析由條件可得，圓與x軸的切點(diǎn)為T(3,0)，由相切的性質(zhì)得|CA|CB|TA|TB|826<10|AB|，因此點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支由2a6,2c10，得a3，b4，所求的雙曲線方程為1.考慮到點(diǎn)C不在直線AB上，故選C.4經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)和Q(6，7)，且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_考點(diǎn)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程答案1解析設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，則解得故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.5橢圓1與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，則a的值為_考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由雙曲線方程求參數(shù)答案1解析由題意知解得a1.1雙曲線定義的理解(1)定義中距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支設(shè)F1，F(xiàn)2表示雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|MF1|MF2|2a，則點(diǎn)M在右支上；若|MF2|MF1|2a，則點(diǎn)M在左支上(2)雙曲線定義的雙向運(yùn)用：若|MF1|MF2|2a(0<2a<|F1F2|)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線；若動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線上，則|MF1|MF2|2a.2求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解特別提醒：若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2ny21的形式，為簡單起見，常標(biāo)明條件mn<0.一、選擇題1雙曲線2x2y28的焦距是()A2B2C4D4考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由雙曲線方程求參數(shù)答案C解析因?yàn)殡p曲線方程可化為1，所以c24812，得c2，所以2c4.2已知雙曲線1(a0，b0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，若過焦點(diǎn)F1的直線與雙曲線的同一支相交，且所得弦長|AB|m，則ABF2的周長為()A4aB4amC4a2mD4a2m考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案C解析不妨設(shè)|AF2|AF1|，由雙曲線的定義，知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a，于是ABF2的周長l|AF2|BF2|AB|4a2m.故選C.3若kR，則“k>5”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由雙曲線方程求參數(shù)答案A解析當(dāng)k>5時(shí)，方程表示雙曲線；反之，當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，k>5或k<2.故選A.4已知雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，則實(shí)數(shù)m的值是()A1B1CD.考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由雙曲線方程求參數(shù)答案B解析由焦點(diǎn)坐標(biāo)，知焦點(diǎn)在y軸上，m<0，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，m3m4，m1.5已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(，0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且線段PF1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則此雙曲線的方程是()A.y21B.x21C.1D.1考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案B解析由已知條件，得焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，則a2b25.線段PF1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，4)，將其代入雙曲線的方程，得1.由解得a21，b24，雙曲線的方程為x21.6已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2等于()A.B.C.D.考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案C解析由雙曲線定義知，|PF1|PF2|2，又|PF1|2|PF2|，|PF2|2，|PF1|4，|F1F2|2c24.cosF1PF2.7已知雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)為F，P是雙曲線C的左支上一點(diǎn)，M(0,2)，則PFM的周長的最小值為()A24B42C3D23考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案A解析依題意可知，c2，a1，所以|MF|2，|PM|PF|PM|PF1|2a，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)，當(dāng)M，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|PF1|最小，最小值為|MF1|，|MF1|2，故周長的最小值為22224.二、填空題8已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，PQ是過焦點(diǎn)F1的弦，且PQ的傾斜角為60°，那么|PF2|QF2|PQ|的值為_考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案16解析在雙曲線1中，2a8，由雙曲線定義，得|PF2|PF1|8，|QF2|QF1|8，所以|PF2|QF2|PQ|(|PF2|PF1|)(|QF2|QF1|)16.9若曲線C：mx2(2m)y21是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為_考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由雙曲線方程求參數(shù)答案(2，)解析由曲線C：mx2(2m)y21是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，可得1，即有m0，且m20，解得m2.10已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且·0，|PF1|·|PF2|2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案y21解析由題意可設(shè)雙曲線1(a0，b0)由·0，得PF1PF2.根據(jù)勾股定理，得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.根據(jù)雙曲線定義有|PF1|PF2|±2a.兩邊平方并代入|PF1|·|PF2|2，得202×24a2，解得a24，從而b2541，所以雙曲線方程為y21.11過雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)作x軸的垂線，則垂線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為_考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案，解析因?yàn)殡p曲線方程為1，所以c13.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則F1(13,0)，F(xiàn)2(13,0)設(shè)過F1且垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(13，y)(y0)，則1，所以y，即|AF1|.又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24.即所求距離分別為，.三、解答題12已知與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線過點(diǎn)P，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解已知雙曲線1，由c2a2b2，得c216925，c5.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)依題意知b225a2，故所求雙曲線方程可寫為1.點(diǎn)P在所求雙曲線上，1，化簡得4a4129a21250，解得a21或a2.當(dāng)a2時(shí)，b225a2250，不合題意，舍去，a21，b224，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.13已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.(1)若點(diǎn)M在雙曲線上，且·0，求M點(diǎn)到x軸的距離；(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)，求雙曲線C的方程考點(diǎn)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)如圖所示，不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，·0，則MF1MF2，設(shè)|MF1|m，|MF2|n，由雙曲線定義，知mn2a8，又m2n2(2c)280，由得m·n8，mn4|F1F2|·h，h.(2)設(shè)所求雙曲線C的方程為1(4<<16)，由于雙曲線C過點(diǎn)(3，2)，1，解得4或14(舍去)，所求雙曲線C的方程為1.四、探究與拓展14若雙曲線y21(n1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積為()A1B.C2D4考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案A解析設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2，已知|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，|PF1|·|PF2|2.又|F1F2|2，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1F2為直角三角形，且F1PF290°，于是|PF1|·|PF2|×21.故選A.15已知OFQ的面積為2，且·m，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)設(shè)m4，求與的夾角的正切值的取值范圍；(2)設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為其中一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q，如圖所示，|c，mc2，當(dāng)|取得最小值時(shí)，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)因?yàn)樗詔an .又m4，所以1tan 4，即tan 的取值范圍為(1,4)(2)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，Q(x1，y1)，則(x1c，y1)，所以SOFQ|·|y1|2，則y1±.又·m，即(c,0)·(x1c，y1)c2，解得x1c，所以|2，當(dāng)且僅當(dāng)c4時(shí)，取等號(hào)，|最小，這時(shí)Q的坐標(biāo)為(，)或(，)因?yàn)樗杂谑撬箅p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.15