第2講直線與圓錐曲線的位置關系高考定位直線與圓錐曲線的位置關系一直是命題的熱點，尤其是有關弦的問題以及存在性問題，計算量偏大，屬于難點，要加強這方面的專題訓練.真 題 感 悟(2016·浙江卷)如圖，設橢圓y21(a1).(1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；(2)若任意以點A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.解(1)設直線ykx1被橢圓截得的線段為AP，由得(1a2k2)x22a2kx0.故x10，x2，因此|AP|x1x2|·.(2)假設圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1k2，k1，k20，得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22).因為式關于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以點A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1a.由e得，所求離心率的取值范圍是.考 點 整 合1.直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與橢圓的位置關系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程.若0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若0，則直線與橢圓相離.(2)直線與雙曲線的位置關系的判定方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0(或ay2byc0).若a0，則當0時，直線與雙曲線相交；當0時，直線與雙曲線相切；當0時，直線與雙曲線相離.若a0，則直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點.(3)直線與拋物線的位置關系的判定方法：將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0(或ay2byc0).當a0時，用判定，方法同上.當a0時，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點.2.有關弦長問題有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關系，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算.(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|與|y2y1|時通常使用根與系數(shù)的關系，即作如下變形：|x2x1|，|y2y1|.(2)當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式).3.弦的中點問題有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設而不求法”來簡化運算.熱點一直線與圓錐曲線(以橢圓、拋物線為主)的相交弦問題 考法1有關圓錐曲線的弦長問題【例11】 (2018·鎮(zhèn)海中學月考)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab1)過點P(2，1)，且離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點，求PAB面積的最大值.解(1)e2，a24b2.又1，a28，b22.故所求橢圓C的方程為1.(2)設l的方程為yxm，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立整理得x22mx2m240，判別式164m20，即m24.又x1x22m，x1·x22m24，則|AB|×，點P到直線l的距離d.因此SPABd|AB|××2，當且僅當m22時取等號.故PAB面積的最大值為2.探究提高解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關系、設而不求思想、弦長公式等簡化計算；涉及垂直關系時也往往利用根與系數(shù)關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.考法2有關圓錐曲線的中點弦問題【例12】 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：xy20，拋物線C：y22px(p0).(1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.求證：線段PQ的中點坐標為(2p，p)；求p的取值范圍.(1)解l：xy20，l與x軸的交點坐標為(2，0)，即拋物線的焦點為(2，0)，2，p4.拋物線C的方程為y28x.(2)證明設點P(x1，y1)，Q(x2，y2).則則kPQ，又P，Q關于l對稱，kPQ1，即y1y22p，p，又PQ的中點一定在l上，22p.線段PQ的中點坐標為(2p，p).解PQ的中點為(2p，p)，即即關于y的方程y22py4p24p0有兩個不等實根.0，即(2p)24(4p24p)0，解得0p，故所求p的范圍為.探究提高對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關系時，要注意使用條件0，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交.【訓練1】 (2018·浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y24x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.(1)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x21(x<0)上的動點，求PAB面積的取值范圍.(1)證明設P(x0，y0)，A，B.因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程4·，即y22y0y8x0y0的兩個不同的實根.所以y1y22y0，因此，PM垂直于y軸.(2)解由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面積SPAB|PM|·|y1y2|(y4x0).因為x1(x0<0)，所以y4x04x4x044，5，因此，PAB面積的取值范圍是.熱點二圓錐曲線中的存在性問題考法1圓錐曲線中直線的存在性問題【例21】 已知點M(1，0)，N(1，0)，動點P(x，y)滿足|PM|PN|2.(1)求P的軌跡C的方程；(2)是否存在過點N(1，0)的直線l與曲線C相交于A，B兩點，并且曲線C上存在點Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.解(1)根據(jù)橢圓定義可知點P的軌跡C是焦點在x軸上的橢圓，其中a，c1，b，所以軌跡C的方程為1.(2)假設存在過點N(1，0)的直線l.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設l：xmy1，代入橢圓方程并整理得(2m23)y24my40，顯然0，則y1y2，y1y2.假設存在點Q，使得四邊形OAQB為平行四邊形，其充要條件為，則點Q的坐標為(x1x2，y1y2).由點Q在橢圓上，即1，整理得2x3y2x3y4x1x26y1y26.又A，B在橢圓上，即2x3y6，2x3y6.故2x1x23y1y23.將x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1代入得(2m23)y1y22m(y1y2)50，由解得m±，故直線l的方程是x±y1，即2x±y20.探究提高(1)直線方程設為ykxb(斜截式)時，要注意考慮斜率是否存在；直線方程設為xmya(可稱為x軸上的斜截式)，這種設法不需考慮斜率是否存在.(2)若圖形關系可轉(zhuǎn)化為向量關系，則寫出其向量關系，再將向量關系轉(zhuǎn)化為坐標關系，關鍵是得出坐標關系.考法2圓錐曲線中參數(shù)的存在性問題【例22】 (2018·嘉興調(diào)研)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點P(0，1)和點A(m，n)(m0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M.(1)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用m，n表示)；(2)設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q，使得OQMONQ？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由.解(1)由題意得解得a22，故橢圓C的方程為y21.設M(xM，0).因為m0，所以1n1.直線PA的方程為y1x.所以xM，即M.(2)因為點B與點A關于x軸對稱，所以B(m，n).設N(xN，0)，則xN.“存在點Q(0，yQ)使得OQMONQ”，等價于“存在點Q(0，yQ)使得”，即yQ滿足y|xM|xN|.因為xM，xN，n21，所以y|xM|xN|2.所以yQ或yQ.故在y軸上存在點Q，使得OQMONQ，點Q的坐標為(0，)或(0，).探究提高(1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.【訓練2】 (2017·杭州高級中學模擬)已知橢圓C：1(ab0)的一個頂點為M(0，1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個焦點，MF1F2的周長為24.(1)求橢圓C的標準方程；(2)以M(0，1)為直角頂點作橢圓C的內(nèi)接等腰直角三角形MAB，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個，并求出直角邊所在的直線方程；若不存在，請說明理由.解(1)由題意得解得所以橢圓C的方程是y21.(2)假設存在滿足條件的等腰直角三角形MAB，由題意，知直角邊MA，MB所在直線都不可能平行或垂直于x軸.設MA所在直線的方程是ykx1(k0)，則MB所在直線的方程是yx1.由得A，所以|MA|.同理，可得|MB|，由|MA|MB|，得k(5k2)15k2，解得k1或k2±.故存在三個滿足條件的內(nèi)接等腰直角三角形MAB，直角邊所在直線的方程是yx1、yx1或y(2)x1、y(2)x1或y(2)x1、y(2)x1.1.直線與拋物線位置關系的提醒(1)若點P在拋物線內(nèi)，則過點P且和拋物線只有一個交點的直線只有一條，此直線與拋物線的對稱軸平行；(2)若點P在拋物線上，則過點P且和拋物線只有一個交點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條直線與拋物線的對稱軸平行；(3)若點P在拋物線外，則過點P且和拋物線只有一個交點的直線有三條，兩條是拋物線的切線，另一條直線與拋物線的對稱軸平行.2.弦長公式對于直線與橢圓的相交、直線與雙曲線的相交、直線與拋物線的相交都是通用的，此公式可以記憶，也可以在解題的過程中，利用兩點間的距離公式推導.3.求中點弦的直線方程的常用方法(1)點差法，設弦的兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，分別代入圓錐曲線方程，兩式作差，式中含有x1x2，y1y2，三個量，則建立了圓錐曲線的弦的中點坐標與弦所在直線的斜率之間的關系，借助弦的中點坐標即可求得斜率；(2)根與系數(shù)的關系，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，化為一元二次方程，用根與系數(shù)的關系求解.4.存在性問題求解的思路及策略(1)思路：先假設存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在.(2)策略：當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件.一、選擇題1.已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1，3)，則APF的面積為()A. B. C. D.解析由c2a2b24得c2，所以F(2，0)，將x2代入x21，得y±3，所以|PF|3.又A的坐標是(1，3)，故APF的面積為×3×(21).答案D2.若雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則C的離心率為()A.2 B. C. D.解析設雙曲線的一條漸近線為yx，化成一般式bxay0，圓心(2，0)到直線的距離為，b23a2.又由c2a2b2得c24a2，e24，e2.答案A3.設F為拋物線C：y24x的焦點，曲線y(k>0)與C交于點P，PFx軸，則k()A. B.1 C. D.2解析因為拋物線方程是y24x，所以F(1，0).又因為PFx軸，所以P(1，2)，把P點坐標代入曲線方程y(k>0)，即2，所以k2.答案D4.(2018·天津卷)已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點.設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析由d1d26，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以b3.因為雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以雙曲線的方程為1，故選C.答案C5.(2018·全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過點(2，0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·()A.5 B.6 C.7 D.8解析法一過點(2，0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨設M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)，所以·8.故選D.法二過點(2，0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1>0，y2>0，根據(jù)根與系數(shù)的關系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以·(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故選D.答案D二、填空題6.(2017·北京卷改編)若雙曲線x21的離心率為，則實數(shù)m_，其漸近線方程為_.解析由題意知e23，則m2.漸近線方程為y±x.答案2y±x7.(2018·金華一中質(zhì)檢)已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點.若4，則|QF|等于_.解析設l交x軸于點M，過點Q作QQl交l于點Q，因為4，所以|QQ|FM|PQ|PF|34，又焦點F到準線l的距離|FM|為4，所以|QF|QQ|3.答案38.已知直線l過橢圓8x29y272的一個焦點，斜率為2，l與橢圓相交于M，N兩點，則弦MN的長為_，MN的垂直平分線方程為_.解析由8x29y272得1，故橢圓的焦點為(1，0)，(1，0)，不妨設l的方程為y2(x1).由得11x218x90.由根與系數(shù)的關系，得xMxN，xM·xN.由弦長公式得|MN|xMxN|·；又MN的中點坐標為，MN的垂直平分線方程為11x22y10.答案11x22y109.過點M(1，1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于_.解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0，·.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.答案10.(2018·浙江卷)已知點P(0，1)，橢圓y2m(m>1)上兩點A，B滿足2，則當m_時，點B橫坐標的絕對值最大.解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因為點A，B在橢圓上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以當m5時，點B橫坐標的絕對值最大，最大值為2.答案511.(2018·全國卷)已知點M(1，1)和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點.若AMB90°，則k_.解析法一由題意知拋物線的焦點為(1，0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，則y1y2，y1y24，由AMB90°，得·(x11，y11)·(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，將x1x2，x1x21與y1y2，y1y24代入，得k2.法二設拋物線的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以yy4(x1x2)，則k，取AB的中點M(x0，y0)，分別過點A，B作準線x1的垂線，垂足分別為A，B，又AMB90°，點M在準線x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|).又M為AB的中點，所以MM平行于x軸，且y01，所以y1y22，所以k2.答案212.(2018·上海模擬)已知點A(2，0)，B(2，0)，過點A作直線l與以A，B為焦點的橢圓交于M，N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與圓x2y21相切，則該橢圓的標準方程是_，過A點的橢圓的最短弦長為_.解析根據(jù)題意，知直線l的斜率存在，設直線l的方程為yk(x2)，由題意設橢圓方程為1(a24)，由直線l與圓x2y21相切，得1，解得k2.將代入，得(a23)x2a2xa44a20，設點M的坐標為(x1，y1)，點N的坐標為(x2，y2)，由根與系數(shù)的關系，得x1x2，又線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，所以|x1x2|，即，解得a28.所以該橢圓的標準方程為1.過A點的橢圓最短弦垂直于x軸，其長為2.答案12三、解答題13.(2018·衢州二中調(diào)研)已知橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，右焦點為F(1，0).(1)求橢圓E的標準方程；(2)設點O為坐標原點，過點F作直線l與橢圓E交于M，N兩點，若OMON，求直線l的方程.解(1)依題意可得解得a，b1.橢圓E的標準方程為y21.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，當MN垂直于x軸時，直線l的方程為x1，不符合題意；當MN不垂直于x軸時，設直線l的方程為yk(x1).聯(lián)立得方程組消去y整理得(12k2)x24k2x2(k21)0，x1x2，x1·x2.y1·y2k2x1x2(x1x2)1.OMON，·0.x1·x2y1·y20，k±.故直線l的方程為y±(x1).14.(2018·全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程.解(1)由題意得F(1，0)，l的方程為yk(x1)(k>0).設A(x1，y1)，B(x2，y2).由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.15.已知拋物線E：y28x，圓M：(x2)2y24，點N為拋物線E上的動點，O為坐標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)點Q(x0，y0)(x05)是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點，求QAB面積的最小值.解(1)設P(x，y)，因為點N(2x，2y)在拋物線E：y28x上，4y216x，曲線C的方程為y24x.(2)設切線方程為yy0k(xx0).令y0，得xx0.圓心(2，0)到切線的距離d2，整理得(x4x0)k2(4y02x0y0)ky40.設兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1k2，k1k2.QAB面積S·|y0|y2·.設tx014，)，則Sf(t)2在4，)上單調(diào)遞增，且f(4)，f(t)，即QAB面積的最小值為.14