11.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點(diǎn)處的切線方程知識點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖，Pn的坐標(biāo)為(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，P的坐標(biāo)為(x0，y0)，直線PT為在點(diǎn)P處的切線思考1割線PPn的斜率kn是多少？答案割線PPn的斜率kn.思考2當(dāng)點(diǎn)Pn無限趨近于點(diǎn)P時，割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？答案kn無限趨近于切線PT的斜率k.梳理(1)切線的定義：設(shè)PPn是曲線yf(x)的割線，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線(2)導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)f(x0)表示曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即kf(x0) .(3)切線方程：曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)知識點(diǎn)二導(dǎo)函數(shù)思考已知函數(shù)f(x)x2，分別計算f(1)與f(x)，它們有什么不同答案f(1) 2.f(x) 2x，f(1)是一個值，而f(x)是一個函數(shù)梳理對于函數(shù)yf(x)，當(dāng)xx0時，f(x0)是一個確定的數(shù)，則當(dāng)x變化時，f(x)便是一個關(guān)于x的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)), 即f(x)y .特別提醒：區(qū)別聯(lián)系f(x0)f(x0)是具體的值，是數(shù)值在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值f(x)f(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)1函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是一個常數(shù)()2函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處的函數(shù)值()3直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個公共點(diǎn)(×)類型一求切線方程例1已知曲線C：yx3.求曲線C在橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)曲線的切線方程解將x2代入曲線C的方程得y4，切點(diǎn)P(2,4) 42x(x)24，k4.曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.反思與感悟求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟跟蹤訓(xùn)練1曲線yx21在點(diǎn)P(2,5)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是_考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)求曲線的切線方程答案3解析 (4x)4，k4.曲線yx21在點(diǎn)(2,5)處的切線方程為y54(x2)，即y4x3.切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3.例2求過點(diǎn)(1,0)與曲線yx2x1相切的直線方程考點(diǎn)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)曲線的切線方程解設(shè)切點(diǎn)為(x0，xx01)，則切線的斜率為k 2x01.又k，2x01.解得x00或x02.當(dāng)x00時，切線斜率k1，過(1,0)的切線方程為y0x1，即xy10.當(dāng)x02時，切線斜率k3，過(1,0)的切線方程為y03(x1)，即3xy30.故所求切線方程為xy10或3xy30.反思與感悟過點(diǎn)(x1，y1)的曲線yf(x)的切線方程的求法步驟(1)設(shè)切點(diǎn)(x0，f(x0)(2)建立方程f(x0).(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，從而寫出切線方程跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)yf(x)x33x2x的圖象上過原點(diǎn)的切線方程考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)求曲線的切線方程解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0x3xx0，yf(x0x)f(x0)(x0x)33(x0x)2(x0x)(x3xx0)3xx3x0(x)26x0x(x)33(x)2x，3x3x0x6x01(x)23x，f(x0) 3x6x01.切線方程為y(x3xx0)(3x6x01)·(xx0)切線過原點(diǎn)，x3xx03x6xx0，即2x3x0，x00或x0，故所求切線方程為xy0或5x4y0.類型二利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義例3已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是()A0<f(2)<f(3)<f(3)f(2)B0<f(2)<f(3)f(2)<f(3)C0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)D0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義答案C解析kABf(3)f(2)，f(2)為函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)B(2，f(2)處的切線的斜率，f(3)為函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A(3，f(3)處的切線的斜率，根據(jù)圖象可知0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)反思與感悟?qū)?shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象可能是()考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義答案A解析依題意，yf(x)在a，b上是增函數(shù)，則在函數(shù)f(x)的圖象上，各點(diǎn)的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個選項的圖象，只有A滿足類型三求切點(diǎn)坐標(biāo)例4已知曲線f(x)x21在xx0處的切線與曲線g(x)1x3在xx0處的切線互相平行，求x0的值考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)解對于曲線f(x)x21，k1 2x0.對于曲線g(x)1x3，k2 3x.由題意得2x03x，解得x00或.引申探究若將本例條件中的“平行”改為“垂直”，求x0的值解k12x0，k23x.根據(jù)曲線f(x)x21與g(x)1x3在xx0處的切線互相垂直，知2x0·(3x)1，解得x0.反思與感悟求切點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練4直線l：yxa(a0)和曲線C：f(x)x3x21相切，則a的值為_，切點(diǎn)坐標(biāo)為_考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)答案解析設(shè)直線l與曲線C的切點(diǎn)為(x0，y0)，因?yàn)閒(x) 3x22x，則f(x0)3x2x01解得x01或x0，當(dāng)x01時，f(x0)xx11，又點(diǎn)(x0，f(x0)在直線yxa上，將x01，y01.代入得a0，與已知條件矛盾，舍去當(dāng)x0時，f(x0)321.將代入直線yxa中，得a.1如果曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為x2y30，那么()Af(x0)>0 Bf(x0)<0Cf(x0)0 Df(x0)不存在考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義答案B解析切線x2y30的斜率為，f(x0)<0.2設(shè)曲線f(x)ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a等于()A1 B.C D1考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)答案A解析因?yàn)閒(1) (2aax)2a，所以2a2，所以a1.3.已知函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則f(xA)與f(xB)的大小關(guān)系是()Af(xA)>f(xB)Bf(xA)<f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能確定考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義答案B解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知f(xA)，f(xB)分別是切線在點(diǎn)A，B處切線的斜率，由圖象可知f(xA)<f(xB)4已知曲線yf(x)2x2a在點(diǎn)P處的切線方程為8xy150，則實(shí)數(shù)a的值為_考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)曲線的切線方程的應(yīng)用答案7解析設(shè)點(diǎn)P(x0,2xa)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，f(x0) 4x08.x02，P(2,8a)將x2，y8a，代入8xy150，得a7.5已知曲線f(x)x3在點(diǎn)(a，a3)(a0)處的切線與x軸，直線xa圍成的三角形的面積為，則a_.考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)答案±1解析f(x) 3x2，曲線f(x)x3在點(diǎn)(a，a3)處的切線斜率為f(a)3a2，切線方程為ya33a2(xa)，即y3a2x2a3.令y0得切線與x軸的交點(diǎn)為，由題設(shè)知三角形面積為|a3|，得a±1.1導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即k f(x0)，物理意義是運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度2“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個數(shù)值，不是變數(shù)，“導(dǎo)函數(shù)”是一個函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f(x0)是其導(dǎo)數(shù)yf(x)在xx0處的一個函數(shù)值3利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，f(x0)，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn)一、選擇題1已知曲線yx22上一點(diǎn)P，則在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為()A30° B45°C135° D165°考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的傾斜角答案B解析曲線yx22在點(diǎn)P處的切線斜率為k 1，所以在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為45°，故選B.2若曲線yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是xy10，則()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)答案A解析由題意，知k 1，a1.又(0，b)在切線上，b1，故選A.3下列各點(diǎn)中，在曲線yx2上，且在該點(diǎn)處的切線傾斜角為的是()A(0,0) B(2,4)C. D.考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)答案D解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則 2x0tan 1，所以x0，y0.4.如圖，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P(2，y)處的切線是l，則f(2)f(2)等于()A4 B3C2 D1考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義答案D解析由圖象可得函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線是l，與x軸交于點(diǎn)(4,0)，與y軸交于點(diǎn)(0,4)，則可知l：xy4，f(2)2，f(2)1，f(2)f(2)1，故選D.5若曲線f(x)x2的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()A4xy40 Bx4y50C4xy30 Dx4y30考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)求曲線的切線方程答案A解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，因?yàn)閒(x) (2xx)2x.由題意可知，切線斜率k4，即f(x0)2x04，所以x02.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，切線方程為y44(x2)，即4xy40，故選A.6設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為()A2 B1 C1 D2考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的斜率答案D解析 · f(1)1，f(1)2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為2.7已知曲線y12與y2x3x22x在xx0處的切線的斜率之積為3，則x0的值為()A2 B1C. D2考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)答案B解析由題意知，y1 ，y2 3x22x2，所以兩曲線在xx0處的切線的斜率分別為，3x2x02.由題意可知，3，所以x01.二、填空題8若函數(shù)f(x)x，則它與x軸交點(diǎn)處的切線方程為_考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)求曲線的切線方程答案2xy20或2xy20解析f(x)x與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(1,0)，f(x) 1，f(1)2，f(1)2，所求切線方程為y2(x1)或y2(x1)，即2xy20或2xy20.9已知函數(shù)yax2b在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率為2，則_.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義答案2解析由題意知ab3，又 2a2，a1，b2，故2.10若拋物線yx2xc上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2，拋物線過點(diǎn)P的切線恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，則c的值為_考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)曲線的切線方程的應(yīng)用答案4解析設(shè)在P點(diǎn)處切線的斜率為k，則k 5，切線方程為y5x.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y5×(2)10，將點(diǎn)P(2,10)代入yx2xc，得c4.11設(shè)P為曲線C：yx22x3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為_考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)答案解析y (x2x2)2x2.設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則曲線C在P點(diǎn)處的切線斜率為2x02.由已知得02x021，1x0.12.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則 _.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義答案2解析由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知， f(1)kAB2.三、解答題13已知直線l1為曲線yx2x2在點(diǎn)(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1l2，求直線l2的方程考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)求曲線的切線方程解因?yàn)閥 2x1，所以3，所以直線l1的方程為y3(x1)，即y3x3，設(shè)直線l2過曲線yx2x2上的點(diǎn)P(x0，xx02)，則直線l2的方程為y(xx02)(2x01)(xx0)因?yàn)閘1l2，所以3(2x01)1，x0，所以直線l2的方程為3x9y220.四、探究與拓展14已知函數(shù)f(x)x3，過點(diǎn)P作曲線f(x)的切線，則其切線方程為_考點(diǎn)曲線過某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)求曲線過某點(diǎn)的切線方程答案y0或3xy20解析設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，x)，得切線的斜率為kf(x0)3x，切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x.因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P，所以2x2x0，解得x00或x01，從而切線方程為y0或3xy20.15已知函數(shù)f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx，若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處有公切線，求a，b的值考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程題點(diǎn)曲線的切線方程的應(yīng)用解f(x) 2ax，f(1)2a，即切線斜率k12a.g(x) 3x2b，g(1)3b，即切線斜率k23b.兩曲線在交點(diǎn)(1，c)處有公切線，2a3b.又a11b，即ab，故可得17