第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)第一節(jié)集_合1集合的相關(guān)概念(1)集合元素的三個(gè)特性：確定性、無(wú)序性、互異性(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為；不屬于，記為.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法(4)五個(gè)特定的集合：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或NZQR2集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言記法基本關(guān)系子集集合A的元素都是集合B的元素xAxBAB或BA真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于AAB，且存在x0B，x0AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同AB，BAAB空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集任意的x，x，A3集合的基本運(yùn)算 表示運(yùn)算 文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法交集屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合x|xA，且xBAB并集屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合x|xA，或xBAB補(bǔ)集全集U中不屬于集合A的元素組成的集合x|xU，且xAUA4集合問(wèn)題中的幾個(gè)基本結(jié)論(1)集合A是其本身的子集，即AA；(2)子集關(guān)系的傳遞性，即AB，BCAC；(3)AAAAA，AA，A，UU，UU.(4)ABAAB，ABBAB.小題體驗(yàn)1已知集合A1,2，Bx|0<x<5，xN，則滿足ACB的集合C的個(gè)數(shù)為()A1B2C3 D4答案：D2已知集合A1,2,3，B2,4,5，則集合AB中元素的個(gè)數(shù)為_答案：53設(shè)集合Ax|(x1)(x2)<0，Bx|0x3，則AB_.答案：x|0x<21認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合是正確求解集合問(wèn)題的兩個(gè)先決條件2解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系3易忘空集的特殊性，在寫集合的子集時(shí)不要忘了空集和它本身4運(yùn)用數(shù)軸圖示法易忽視端點(diǎn)是實(shí)心還是空心5在解決含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤小題糾偏1設(shè)全集UR，集合Ax|76x0，集合Bx|ylg(x2)，則(UA)B等于()A. B.C. D.解析：選A依題意得A，UA；Bx|x2>0x|x>2，因此(UA)B.2已知集合AxN|x22x0，則滿足AB0,1,2的集合B的個(gè)數(shù)為_解析：由A中的不等式解得0x2，xN，即A0,1,2AB0,1,2，B可能為0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2，共8個(gè)答案：83已知集合A0, x1，x25x，若4A，則實(shí)數(shù)x的值為_解析：4A，x14或x25x4.x5或x1或x4.若x1，則A0, 2，4，滿足條件；若x4，則A0, 5，4，滿足條件；若x5，則A0，4,50，滿足條件所以x1或x4或5.答案：1或4或5 題組練透1(易錯(cuò)題)已知集合A1,2,4，則集合B(x，y)|xA，yA中元素的個(gè)數(shù)為()A3B6C8 D9解析：選D集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9個(gè)2已知a>0，bR，若ab,0，a2，則a2b2的值為()A2 B4C6 D8解析：選B由已知得a0，則0，所以b0，于是a24，即a2或a2，因?yàn)閍>0，所以a2，故a2b222024.3若集合AxR|ax23x20中只有一個(gè)元素，則a等于()A. B.C0 D0或解析：選D若集合A中只有一個(gè)元素，則方程ax23x20只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根當(dāng)a0時(shí)，x，符合題意當(dāng)a0時(shí)，由(3)28a0，得a，所以a的值為0或.4(易錯(cuò)題)已知集合Am2,2m2m，若3A，則m的值為_解析：由題意得m23或2m2m3，則m1或m，當(dāng)m1時(shí)，m23且2m2m3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m時(shí)，m2，而2m2m3，故m.答案：謹(jǐn)記通法與集合中的元素有關(guān)問(wèn)題的求解策略(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集如“題組練透”第1題(2)看這些元素滿足什么限制條件(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性如“題組練透”第4題典例引領(lǐng)1已知集合M1,2,3,4，則集合Px|xM且2xM的子集有()A8個(gè)B4個(gè)C3個(gè) D2個(gè)解析：選B由題意，得P3,4，所以集合P的子集有224個(gè)2已知集合A2,3，Bx|ax60，若BA，則實(shí)數(shù)a的值為()A3 B2C2或3 D0或2或3解析：選D由題意可得，因?yàn)锽A，所以B2，3或；若B2，則2B，所以2a60，解得a3；若B3，則3B，所以3a60，解得a2；若B，則a0.所以滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為0或2或3.由題悟法集合間基本關(guān)系的兩種判定方法和一個(gè)關(guān)鍵即時(shí)應(yīng)用1集合a，b，c，d，e的真子集的個(gè)數(shù)為()A32 B31C30 D29解析：選B因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，所以其子集的個(gè)數(shù)為2532個(gè)，其真子集的個(gè)數(shù)為25131個(gè)2已知集合Ax|1<x<3，Bx|m<x<m，若BA，則m的取值范圍為_解析：當(dāng)m0時(shí)，B，顯然BA.當(dāng)m>0時(shí)，Ax|1<x<3當(dāng)BA時(shí)，在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，0<m1.綜上所述m的取值范圍為(，1答案：(，1鎖定考向集合運(yùn)算多與解簡(jiǎn)單的不等式、函數(shù)的定義域、值域相聯(lián)系，考查對(duì)集合的理解及不等式的有關(guān)知識(shí)；有些集合題為抽象集合題或新定義型集合題，考查學(xué)生的靈活處理問(wèn)題的能力常見的命題角度有：(1)集合的運(yùn)算；(2)利用集合運(yùn)算求參數(shù)；(3)新定義集合問(wèn)題 題點(diǎn)全練角度一：集合的運(yùn)算1(2018·寧波模擬)已知全集UABxZ|0x6，A(UB)1,3,5，則B()A2,4,6B1,3,5C0,2,4,6 DxZ|0x6解析：選C因?yàn)閁ABxZ|0x60,1,2,3,4,5,6，A(UB)1,3,5，所以B0,2,4,62(2016·浙江高考)已知集合PxR|1x3，QxR|x24，則P(RQ)()A2,3 B(2,3C1,2) D(，21，)解析：選BQxR|x24，RQxR|x24xR|2x2PxR|1x3，P(RQ)xR|2x3(2,3角度二：利用集合運(yùn)算求參數(shù)3設(shè)集合Ax|1x<2，Bx|x<a，aR，a<0，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,0) B1,0)C(2,2) D1，)解析：選A因?yàn)锳B，所以a>1，又因?yàn)閍<0，所以1<a<0.角度三：新定義集合問(wèn)題4(2015·浙江高考)設(shè)A，B是有限集，定義：d(A，B)card(AB)card(AB)，其中card(A)表示有限集A中元素的個(gè)數(shù)，命題：對(duì)任意有限集A，B，“AB”是“d(A，B)>0”的充分必要條件；命題：對(duì)任意有限集A，B，C，d(A，C)d(A，B)d(B，C)A命題和命題都成立B命題和命題都不成立C命題成立，命題不成立D命題不成立，命題成立解析：選A命題成立，若AB，則card(AB)card(AB)，所以d(A，B)card(AB)card(AB)0.反之可以把上述過(guò)程逆推，故“AB”是“d(A，B)0”的充分必要條件；命題成立，由Venn圖，知card(AB)card(A)card(B)card(AB)，d(A，C)card(A)card(C)2card(AC)，d(B，C)card(B)card(C)2card(BC)，d(A，B)d(B，C)d(A，C)card(A)card(B)2card(AB)card(B)card(C)2card(BC)card(A)card(C)2card(AC)2card(B)2card(AB)2card(BC)2card(AC)2card(B)2card(AC)2card(AB)card(BC)2card(B)2card(AC)2card(AC)B)card(ABC)2card(B)2card(AC)B)2card(AC)2card(ABC)0，d(A，C)d(A，B)d(B，C)得證通法在握解集合運(yùn)算問(wèn)題4個(gè)技巧看元素構(gòu)成集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵對(duì)集合化簡(jiǎn)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了、易于解決應(yīng)用數(shù)形常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖創(chuàng)新性問(wèn)題以集合為依托，對(duì)集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)加以深入的創(chuàng)新，但最終化為原來(lái)的集合知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決演練沖關(guān)1(2018·臺(tái)州模擬)若集合Ax|1<x<1，Bx|y，則AB()A0,1) B(1，)C(1,1)2，) D解析：選C因?yàn)閤20，解得x2，所以B2，)，所以AB(1,1)2，)2若集合AxR|ax2ax10中只有一個(gè)元素，則a()A4 B2C0 D0或4解析：選A由題意得方程ax2ax10只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)a0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)a0時(shí)，則a24a0，解得a4(a0不符合題意，舍去)3(2018·吳越聯(lián)盟模擬)已知集合M0,1,2,3,4，N2,4,6，PMN，則滿足條件的P的子集有()A2個(gè) B4個(gè)C6個(gè) D8個(gè)解析：選B因?yàn)镻MN2,4，所以集合P的子集有，2，4，2,4，共4個(gè)4.如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合AB為陰影部分表示的集合若x，yR，Ax|y，By|y3x，x>0，則AB為()Ax|0<x<2 Bx|1<x2Cx|0x1或x2 Dx|0x1或x>2解析：選D因?yàn)锳x|0x2，By|y>1，ABx|x0，ABx|1<x2，所以ABAB(AB)x|0x1或x>2，故選D.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2016·全國(guó)卷)已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)<0，xZ，則AB()A1B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3解析：選C因?yàn)锽x|(x1)(x2)<0，xZx|1<x<2，xZ0,1，A1,2,3，所以AB0,1,2,32(2018·浙江三地聯(lián)考)已知集合Px|<2，Qx|1x3，則PQ()A1,2) B(2,2)C(2,3 D1,3解析：選A由|x|<2，可得2<x<2，所以Px|2<x<2，所以PQ1,2)3(2017·全國(guó)卷)已知集合Ax|x<1，Bx|3x<1，則()AABx|x<0 BABRCABx|x>1 DAB解析：選A集合Ax|x<1，Bx|x<0，ABx|x<0，ABx|x<1，故選A.4設(shè)集合A3，m，B3m,3，且AB，則實(shí)數(shù)m的值是_解析：由集合A3，mB3m,3，得3mm，則m0.答案：05已知Ax|x23x2<0，Bx|1<x<a，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：因?yàn)锳x|x23x2<0x|1<x<2B，所以a2.答案：2，)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1已知集合A，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為()A2 B3C4 D5解析：選CZ，2x的取值有3，1,1,3，又xZ，x值分別為5,3,1，1，故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.2(2018·杭州名校聯(lián)考)已知全集為R，集合A，Bx|ylog2(x26x8)，則A(RB)()Ax|0<x2或x4 Bx|2x4Cx|0<x<2或x>4 Dx|x0解析：選A由yx，得y>0，即Ay|y>0，由x26x8>0，解得2<x<4，所以RBx|x2或x4，所以A(RB)x|0<x2或x43(2018·永康模擬)設(shè)集合Mx|x22x30，Nx|3<x<3，則()AMN BNMCMNR DMN解析：選C由x22x30，解得x3或x1，所以Mx|x1或x3，所以MNR.4(2018·河南六市第一次聯(lián)考)已知集合Ax|x23x<0，B1，a，且AB有4個(gè)子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(0,3) B(0,1)(1,3)C(0,1) D(，1)(3，)解析：選BAB有4個(gè)子集，AB中有2個(gè)不同的元素，aA，a23a<0，解得0<a<3且a1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)(1,3)，故選B.5已知集合Ax|x25x6<0，Bx|2x<1，則圖中陰影部分表示的集合是()Ax|2<x<3 Bx|1<x0Cx|0x<6 Dx|x<1解析：選C由x25x6<0，解得1<x<6，所以Ax|1<x<6由2x<1，解得x<0，所以Bx|x<0又圖中陰影部分表示的集合為(UB)A，因?yàn)閁Bx|x0，所以(UB)Ax|0x<6，故選C.6設(shè)集合Ax|x2x20，Bx|x<1，且xZ，則AB_.解析：依題意得Ax|(x1)(x2)0x|1x2，因此ABx|1x<1，xZ1,0答案：1,07(2017·嘉興二模)已知集合Ax|1x2，Bx|x24x0，則AB_，A(RB)_.解析：因?yàn)锽x|x24x0x|0x4，所以ABx|1x4；因?yàn)镽Bx|x<0或x>4，所以A(RB)x|1x<0答案：x|1x4x|1x<08設(shè)集合A(x，y)|y|x2|，x0，B(x，y)|yxb，AB.(1)b的取值范圍是_； (2)若(x，y)AB，且x2y的最大值為9，則b的值是_解析：由圖可知，當(dāng)yx往右移動(dòng)到陰影區(qū)域時(shí)，才滿足條件，所以b2；要使zx2y取得最大值，則過(guò)點(diǎn)(0，b)，有02b9b.答案：(1)2，)(2)9已知集合Ax|42x16，Ba，b，若AB，則實(shí)數(shù)ab 的取值范圍是_解析：集合Ax|42x16x|222x24x|2x42,4，因?yàn)锳B，所以a2，b4，所以ab242，即實(shí)數(shù)ab的取值范圍是(，2答案：(，210已知集合Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若AB0,3，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若ARB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：由已知得Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)因?yàn)锳B0,3，所以所以m2.(2)RBx|x<m2或x>m2，因?yàn)锳RB，所以m2>3或m2<1，即m>5或m<3.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，3)(5，)三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2018·杭州名校聯(lián)考)設(shè)集合Ay|ysin x，xR，集合Bx|ylg x，則(RA)B()A(，1)(1，) B1,1C(1，) D1，)解析：選C由題可得，A1,1，所以RA(，1)(1，)又B(0，)，所以(RA)B(1，)2對(duì)于集合M，N，定義MNx|xM，且xN，MN(MN)(NM)，設(shè)A，Bx|x<0，xR，則AB()A. B.C.0，) D.(0，)解析：選C依題意得ABx|x0，xR，BA，故AB0，)故選C.3設(shè)全集UR，且集合Ax|x22x80，集合Bx|x22x3>0，Cx|x23ax2a2<0(1)求AB；(2)試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得CA(UB)解：(1)因?yàn)锳x|x22x802,4，Bx|x22x3>0(，3)(1，)，所以AB(1,4(2)由題可得，UB3,1，所以A(UB)3,4因?yàn)镃x|x23ax2a2<0x|(xa)(x2a)<0，所以當(dāng)a<0時(shí)，C(2a，a)，因?yàn)镃A(UB)，所以此時(shí)只需32a，解得a，所以a<0.當(dāng)a0時(shí)，C，滿足CA(UB)，所以a0.當(dāng)a>0時(shí)，C(a,2a)，因?yàn)镃A(UB)，所以此時(shí)只需滿足2a4，解得a2，所以0<a2.綜上可知，要使得CA(UB)，只需a2.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為.第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1命題概念使用語(yǔ)言、符號(hào)或者式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句特點(diǎn)(1)能判斷真假；(2)陳述句分類真命題、假命題2四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系：(2)四種命題中真假性的等價(jià)關(guān)系：原命題等價(jià)于逆否命題，原命題的否命題等價(jià)于逆命題在四種形式的命題中真命題的個(gè)數(shù)只能是0,2,4.3充要條件若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p成立的對(duì)象的集合為A，q成立的對(duì)象的集合為Bp是q的充分不必要條件pq且q pA是B的真子集集合與充要條件p是q的必要不充分條件p q且qpB是A的真子集p是q的充要條件pqABp是q的既不充分也不必要條件p q且q pA，B互不包含小題體驗(yàn)1下列命題是真命題的是()A若log2a>0，則函數(shù)f(x)logax(a>0，a1)在其定義域上是減函數(shù)B命題“若xy0，則x0”的否命題C“m3”是“直線(m3)xmy20與mx6y50垂直”的充要條件D命題“若cos xcos y，則xy”的逆否命題答案：B2設(shè)A，B是兩個(gè)集合，則“ABA”是“AB”的_條件答案：充要3設(shè)a，b是向量，則命題“若ab，則|a| b|”的逆否命題為：_.答案：若|a|b|，則ab1易混淆否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論2易忽視A是B的充分不必要條件(AB且BA)與A的充分不必要條件是B(BA且AB)兩者的不同小題糾偏1(2018·杭州模擬)“x<0”是“l(fā)n(x1)<0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案：B2“在ABC中，若C90°，則A，B都是銳角”的否命題為：_.解析：原命題的條件：在ABC中，C90°，結(jié)論：A，B都是銳角否命題是否定條件和結(jié)論即“在ABC中，若C90°，則A，B不都是銳角”答案：在ABC中，若C90°，則A，B不都是銳角題組練透1命題“若a2>b2，則a>b”的否命題是()A若a2>b2，則abB若a2b2，則abC若ab，則a2>b2 D若ab，則a2b2解析：選B根據(jù)命題的四種形式可知，命題“若p，則q”的否命題是“若綈p，則綈q”該題中，p為a2>b2，q為a>b，故綈p為a2b2，綈q為ab.所以原命題的否命題為：若a2b2，則ab.2命題“若x23x40，則x4”的逆否命題及其真假性為()A“若x4，則x23x40”為真命題B“若x4，則x23x40”為真命題C“若x4，則x23x40”為假命題D“若x4，則x23x40”為假命題解析：選C根據(jù)逆否命題的定義可以排除A，D，因?yàn)閤23x40，所以x4或1，故原命題為假命題，即逆否命題為假命題3給出以下四個(gè)命題：“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；(易錯(cuò)題)“全等三角形的面積相等”的否命題；“若q1，則x2xq0有實(shí)根”的逆否命題；若ab是正整數(shù)，則a，b都是正整數(shù)其中真命題是_(寫出所有真命題的序號(hào))解析：命題“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則xy0”，顯然為真命題；不全等的三角形的面積也可能相等，故為假命題；原命題正確，所以它的逆否命題也正確，故為真命題；若ab是正整數(shù)，但a，b不一定都是正整數(shù)，例如a1，b3，故為假命題答案：謹(jǐn)記通法1寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)的2個(gè)注意點(diǎn)(1)對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提如“題組練透”第3題易忽視2命題真假的2種判斷方法(1)聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進(jìn)行正面直接判斷(2)利用原命題與逆否命題，逆命題與否命題的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷典例引領(lǐng)1(2018·紹興模擬)已知a，b為實(shí)數(shù)，則“a0”是“f(x)x2a|x|b為偶函數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A由題可得，因?yàn)閒(x)(x)2a|x|bx2a|x|bf(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，此時(shí)aR.所以“a0”是“f(x)x2a|x|b為偶函數(shù)”的充分不必要條件2設(shè)aR，則“a4”是“直線l1：ax8y80與直線l2：2xaya0平行”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選D當(dāng)a0時(shí)，直線l1與直線l2重合，無(wú)論a取何值，直線l1與直線l2均不可能平行，當(dāng)a4時(shí)，l1與l2重合故選D.由題悟法充要條件的3種判斷方法(1)定義法：根據(jù)pq，qp進(jìn)行判斷；(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題，如“xy1”是“x1或y1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x1且y1”是“xy1”的某種條件即時(shí)應(yīng)用1設(shè)a>0，b>0，則“a2b21”是“abab1”成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B因?yàn)閍>0，b>0，所以ab>0，ab1>0，故不等式abab1成立的充要條件是(ab1)2(ab)2，即a2b2a2b21.顯然，若a2b2a2b21，則必有a2b21，反之則不成立，所以a2b21是a2b2a2b21成立的必要不充分條件，即a2b21是abab1成立的必要不充分條件2已知條件p：xy2，條件q：x，y不都是1，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A因?yàn)閜：xy2，q：x1，或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1，且y1，因?yàn)榻恞綈p但綈p 綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件3(2018·寧波模擬)已知四邊形ABCD為梯形，ABCD，l為空間一直線，則“l(fā)垂直于兩腰AD，BC”是“l(fā)垂直于兩底AB，DC”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A因?yàn)樗倪呅蜛BCD是梯形，且ABCD，所以腰AD，BC是交線，由直線與平面垂直的判定定理可知，當(dāng)l垂直于兩腰AD，BC時(shí)，l垂直于ABCD所在平面，所以l垂直于兩底AB，CD，所以是充分條件；當(dāng)l垂直于兩底AB，CD，由于ABCD，所以l不一定垂直于ABCD所在平面，所以l不一定垂直于兩腰AD，BC，所以不是必要條件所以是充分不必要條件典例引領(lǐng)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2axb0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.證明：|2且|2是2|a|4b且|b|4的充要條件證明：(1)充分性：由根與系數(shù)的關(guān)系，得|b|·|·|2×24.設(shè)f(x)x2axb，則f(x)的圖象是開口向上的拋物線又|a|2，|2，所以f(±2)0.即有4b>2a>(4b)，又|b|<44b>02|a|<4b.(2)必要性：因?yàn)?|a|<4b且|b|<4f(±2)>0，函數(shù)f(x)的圖象是開口向上的拋物線所以方程f(x)0的兩根，同在(2,2)內(nèi)或無(wú)實(shí)根因?yàn)?，是方程f(x)0的實(shí)根，所以，同在(2,2)內(nèi)，且|2且|2.由題悟法根據(jù)充要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點(diǎn)(1)先合理轉(zhuǎn)化條件，常通過(guò)有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題等，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象即時(shí)應(yīng)用1(2018·杭州名校模擬)已知條件p：|x1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1，)B(，1C3，) D(，3解析：選A由|x1|>2，可得x>1或x<3，所以綈p：3x1；又綈q：xa.因?yàn)榻恜是綈q的充分不必要條件，所以a1.2已知“命題p：(xm)23(xm)”是“命題q：x23x40”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_解析：命題p：xm3或xm，命題q：4x1.因?yàn)閜是q成立的必要不充分條件，所以m34或m1，故m7或m1.答案：(，71，)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1“(2x1)x0”是“x0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B若(2x1)x0，則x或x0，即不一定是x0；若x0，則一定能推出(2x1)x0.故“(2x1)x0”是“x0”的必要不充分條件2設(shè)a，bR，則“a3>b3且ab<0”是“>”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A由a3>b3，知a>b，由ab<0，知a>0>b，所以此時(shí)有>，故充分性成立；當(dāng)>時(shí)，若a，b同號(hào)，則a<b，若a，b異號(hào)，則a>b，所以必要性不成立故選A.3對(duì)于直線m，n和平面，m成立的一個(gè)充分條件是()Amn，n Bm，Cm，n，n Dmn，n，解析：選C對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閙，n，所以mn，又n，所以m，故選C.4命題p：“若x2<1，則x<1”的逆命題為q，則p與q的真假性為()Ap真q真 Bp真q假Cp假q真 Dp假q假解析：選Bq：若x<1，則x2<1.p：x2<1，則1<x<1.p真，當(dāng)x<1時(shí)，x2<1不一定成立，q假，故選B.5若x>5是x>a的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()Aa>5 Ba5Ca<5 Da5解析：選D由x>5是x>a的充分條件知，x|x>5x|x>a，a5，故選D.二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解析：選B依題意得，原命題的逆命題是“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”2(2018·舟山模擬)已知，則“|>|”是“|>cos cos ”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選A設(shè)f(x)|x|cos x，x，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)因?yàn)閨>|，不妨考慮x0，f(x)xcos x因?yàn)閒(x)1sin x>0，所以函數(shù)f(x)在0，上單調(diào)遞增，所以當(dāng)>時(shí)，cos >cos ，即|>cos cos ，所以是充分條件；當(dāng)|>cos cos ，即當(dāng)，0，時(shí)，>cos cos ，所以cos >cos .因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在0，上單調(diào)遞增，所以>，由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知|>|，所以是必要條件故是充要條件3有下列命題：“若xy>0，則x>0且y>0”的否命題；“矩形的對(duì)角線相等”的否命題；“若m1，則mx22(m1)xm3>0的解集是R”的逆命題；“若a7是無(wú)理數(shù)，則a是無(wú)理數(shù)”的逆否命題其中正確的是()A BC D解析：選C的逆命題為“若x>0且y>0，則xy>0”為真，故否命題為真；的否命題為“不是矩形的圖形對(duì)角線不相等”，為假命題；的逆命題為，若mx22(m1)xm3>0的解集為R，則m1.當(dāng)m0時(shí)，解集不是R，應(yīng)有 即m>1.是真命題；原命題為真，逆否命題也為真4(2018·浙江五校聯(lián)考)已知直線l1：ax(a2)y10，l2：xay20，其中aR，則“a3”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A由題可得，當(dāng)l1l2時(shí)，由a(a2)a0，解得a0或a3，可知“a3”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件5命題“對(duì)任意x1,2)，x2a0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是()Aa4 Ba>4Ca1 Da>1解析：選B要使“對(duì)任意x1,2)，x2a0”為真命題，只需要a4，a>4是命題為真的充分不必要條件6命題“若a>b，則ac2>bc2(a，bR)，”否命題的真假性為_解析：命題的否命題為“若ab，則ac2bc2”若c0，結(jié)論成立若c0，不等式ac2bc2也成立故否命題為真命題答案：真7下列命題：“a>b”是“a2>b2”的必要條件；“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要條件；“a>b”是“ac>bc”的充要條件其中是真命題的是_(填序號(hào))解析：a>b a2>b2，且a2>b2 a>b，故不正確；a2>b2|a|>|b|，故正確；a>bac>bc，且ac>bca>b，故正確答案：8(2018·溫州模擬)已知數(shù)列an，“an1>|an|(n1,2，3，)”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：因?yàn)閨an|an，所以an1>an，可知數(shù)列an是遞增數(shù)列，所以是充分條件；當(dāng)數(shù)列an是遞增數(shù)列時(shí)，取4，2，1,0，則該數(shù)列為遞增數(shù)列，但不一定滿足an1>|an|，所以不是必要條件所以是充分不必要條件答案：充分不必要9設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；若外一條直線l與內(nèi)的一條直線平行，則l和平行；設(shè)和相交于直線l，若內(nèi)有一條直線垂直于l，則和垂直；直線l與垂直的充分必要條件是l與內(nèi)的兩條直線垂直上面命題中，真命題的序號(hào)是_(寫出所有真命題的序號(hào)) 解析：內(nèi)兩條相交直線分別平行于平面，則兩條相交直線確定的平面平行于平面，正確平面外一條直線l與內(nèi)的一條直線平行，則l平行于，正確如圖，l，a，al，但不一定有，錯(cuò)誤直線l與垂直的充分必要條件是l與內(nèi)的兩條相交直線垂直，而該命題缺少“相交”兩字，故為假命題綜上所述，真命題的序號(hào)為.答案：10已知集合A，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：yx2x12，x，y2，A.由xm21，得x1m2，Bx|x1m2“xA”是“xB”的充分條件，AB，1m2，解得m或m，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2018·吳越聯(lián)盟)若“x1”是“(xa)(xa2)0”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1，) B(1,1)C1,1 D(，1解析：選C由(xa)(xa2)0，得axa2.要使條件成立，則解得1a1.2設(shè)nN*，關(guān)于x的一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_.解析：因?yàn)榉匠逃懈?，所?64n0，解得n4，因?yàn)閚N*，所以n1,2,3,4.當(dāng)n4時(shí)，方程的根為2，滿足條件；當(dāng)n3時(shí)，方程的根為1,3，滿足條件；當(dāng)n1,2時(shí)，方程的根不是整數(shù)，所以不滿足條件所以使得方程有整數(shù)根的充要條件是n3,4.答案：3,43已知全集UR，非空集合A，Bx|(xa)(xa22)<0，命題p：xA，命題q：xB.(1)當(dāng)a12時(shí)，若p真q假，求x的取值范圍；(2)若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a12時(shí)，Ax|2<x<37，Bx|12<x<146，因?yàn)閜真q假所以(UB)Ax|2<x12，所以x的取值范圍為(2,12(2)若q是p的必要條件，即pq，可知AB.因?yàn)閍22a，所以Bx|axa22當(dāng)3a12，即a時(shí)，Ax|2x3a1，應(yīng)滿足條件解得<a；當(dāng)3a12，即a時(shí)，A，不符合題意；當(dāng)3a12，即a時(shí)，Ax|3a1x2，應(yīng)滿足條件解得a<；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.命題點(diǎn)一集合及其運(yùn)算命題指數(shù)：難度：低題型：選擇、填空題1(2017·全國(guó)卷)設(shè)集合A1,2,3，B2,3,4，則AB()A1,2,3,4B1,2,3C2,3,4 D1,3,4解析：選A由題意得AB1,2,3,42(2017·天津高考)設(shè)集合A1,2,6，B2,4，CxR|1x5，則(AB)C()A2B1,2,4C1,2,4,6 DxR|1x5解析：選BAB1,2,4,6，又CxR|1x5，則(AB)C1,2,43(2017·浙江高考)已知集合Px|1<x<1，Qx|0<x<2，那么PQ()A(1,2)B(0,1)C(1,0) D(1,2)解析：選A根據(jù)集合的并集的定義，得PQ(1,2)4(2015·浙江高考)已知集合Px|x22x0，Qx|1<x2，則(RP)Q()A0,1)B(0,2C(1,2) D1,2 解析：選C由x22x0，得x0或x2，即Px|x0或x2，所以RPx|0x2(0,2)又Qx|1x2(1,2，所以(RP)Q(1,2)5(2017·全國(guó)卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A3B2C1 D0解析：選B因?yàn)锳表示圓x2y21上的點(diǎn)的集合，B表示直線yx上的點(diǎn)的集合，直線yx與圓x2y21有兩個(gè)交點(diǎn)，所以AB中元素的個(gè)數(shù)為2.6(2017·江蘇高考)已知集合A1,2，Ba，a23若AB1，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：因?yàn)閍233，所以由AB1得a1，即實(shí)數(shù)a的值為1.答案：1命題點(diǎn)二充要條件命題指數(shù)：難度：中、低 題型：選擇題1.(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4S6>2S5”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：選C因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d，S4S62S5d，所以d>0S4S6>2S5.2(2015·浙江高考)設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“ab0”是“ab0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：選D特值法：當(dāng)a10，b1時(shí)，ab0，ab0，故ab0/ ab0；當(dāng)a2，b1時(shí)，ab0，但ab0，所以ab0/ ab0.故“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要條件3(2017·天津高考)設(shè)xR，則“2x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選B由2x0，得x2，由|x1|1，得0x2.0x2x2，x2/ 0x2，故“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分條件4(2017·天津高考)設(shè)R，則“<”是“sin <”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A法一：由<，得0<<，故sin <.由sin <，得2k<<2k，kZ，推不出“<”故“<”是“sin <”的充分而不必要條件法二：<0<<sin <，而當(dāng)sin <時(shí)，取，>.故“<”是“sin <”的充分而不必要條件5(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“m·n<0”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：選Amn，m·nn·n|n|2.當(dāng)<0，n0時(shí)，m·n<0.反之，由m·n|m|n|cosm，n<0cosm，n<0m，n，當(dāng)m，n時(shí)，m，n不共線故“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“m·n<0”的充分而不必要條件6(2016·山東高考)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A由題意知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而，有公共點(diǎn)，可得出，相交；反之，若，相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件故選A.命題點(diǎn)三四種命題及其關(guān)系命題指數(shù)：難度：低 題型：選擇題1.(2015·山東高考)設(shè)mR，命題“若m>0，則方程x2xm0有實(shí)根”的逆否命題是()A若方程x2xm0有實(shí)根，則m>0B若方程x2xm0有實(shí)根，則m0C若方程x2xm0沒有實(shí)根，則m>0D若方程x2xm0沒有實(shí)根，則m0解析：選D根據(jù)逆否命題的定義，命題“若m>0，則方程x2xm0有實(shí)根”的逆否命題是“若方程x2xm0沒有實(shí)根，則m0”2(2014·陜西高考)原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析：選B因?yàn)樵}為真，所以它的逆否命題為真；若|z1|z2|，當(dāng)z11，z21時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)不是共軛復(fù)數(shù)，所以原命題的逆命題是假的，故否命題也是假的故選B.25