2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十章 第55課 兩條直線的平行與垂直要點導學兩直線的平行與垂直關系(xx·廣東六校聯(lián)考)如果直線(2a+5)x+(a-2)y+4=0與直線(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,那么a=.答案2或-2解析由于直線(2a+5)x+(a-2)y+4=0與直線(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,則有(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=±2.(xx·佳木斯模擬)若直線l1:(3+a)x+4y=5-3a和直線l2:2x+(5+a)y=8平行,則a=.答案-7解析根據(jù)題意有=,解得a=-7.利用直線之間的關系求直線方程已知兩點M(0,2),N(-2,0),直線l:kx-y-2k+2=0(k為常數(shù)).若點M,N到直線l的距離相等,求直線l的方程.解答因為點M,N到直線l的距離相等,所以lMN或l過MN的中點.因為M(0,2),N(-2,0),所以kMN=1,MN的中點坐標為C(-1,1).又直線l:kx-y-2k+2=0過點D(2,2),當lMN時,k=kMN=1,經(jīng)檢驗符合題意;當l過MN的中點時,-k-1-2k+2=0,解得k=.綜上,直線l的方程為x-y=0或x-3y+4=0.【題組強化·重點突破】1. 與直線3x+4y-6=0平行且距離為4的直線的方程是.答案3x+4y+14=0或3x+4y-26=0解析根據(jù)平行直線系,可設直線的方程為3x+4y+m=0,由平行距離公式=4,解得m=14或-26.故所求直線的方程為3x+4y+14=0或3x+4y-26=0.2. 已知點P(3,2)與點Q(1,4)關于直線l對稱,那么直線l的方程為.答案x-y+1=0解析因為kPQ=-1,所以kl=1,PQ的中點為,即(2,3),直線l的方程為y-3=x-2,即x-y+1=0.3. 從點(2,3)射出的光線沿與直線x-2y=0平行的直線射到y(tǒng)軸上,經(jīng)y軸反射的光線所在的直線方程為.答案x+2y-4=0解析由題意得,射出的光線方程為y-3=(x-2),即x-2y+4=0,與y軸交點為(0,2).又(2,3)關于y軸的對稱點為(-2,3),所以反射光線所在直線過點(0,2),(-2,3),故所求直線方程為y-2=x,即x+2y-4=0.4. (xx·南安模擬)過點(-1,2)且與原點的距離最大的直線方程是.答案x-2y+5=0解析設A(-1,2),則OA的斜率等于-2,故所求直線的斜率等于,由點斜式求得直線的方程為y-2=(x+1),化簡得x-2y+5=0.5. (1) 已知直線l1:ax+by=0,l2:(a-1)x+y+2b=0.若直線l1,l2同時平行于直線x+2y+3=0,那么a=,b=.(2) 若直線(m-1)x+(2m+3)y+2=0與(m+2)x+(1-m)y-3=0互相垂直,則實數(shù)m=.答案(1) 3(2) ±1解析(1) 由兩直線平行的充要條件,得解得a=,b=3,經(jīng)檢驗符合題意.(2) 由兩直線垂直的充要條件,得(m-1)(m+2)+(2m+3)(1-m)=0,所以m=±1.關于直線(或點)的對稱問題已知點A的坐標為(-4,4),直線l的方程為3x+y-2=0.(1) 求點A關于直線l的對稱點A'的坐標;(2) 求直線l關于點A的對稱直線l'的方程.思維引導(1) 點A與A'關于直線l對稱,主要運用兩點,一個是AA'l,另一個是AA'的中點坐標滿足直線l的方程3x+y-2=0;(2) 關于點A對稱的兩直線l與l'互相平行,由此可以求出直線l關于點A的對稱直線l'的方程.解答(1) 設點A'的坐標為(x',y').因為點A與A'關于直線l對稱,所以AA'l,且AA'的中點在l上,而直線l的斜率是-3,所以kAA'=,即=.因為直線l的方程為3x+y-2=0,AA'的中點坐標是,所以3·+-2=0.由和,解得x'=2,y'=6,所以點A'的坐標為(2,6).(2) 因為關于點A對稱的兩直線l與l'互相平行,于是可設l'的方程為3x+y+c=0.在直線l上任取一點M(0,2),其關于點A對稱的點為M'(x',y'),于是M'點在l'上,且MM'的中點為點A,由此得=-4,=4,即x'=-8,y'=6,故有M'(-8,6).因為點M'在l'上,所以3×(-8)+6+c=0,所以c=18.故直線l'的方程為3x+y+18=0.(xx·江蘇模擬)已知直線a:3x+4y+1=0關于直線l對稱的直線b的方程為12x-5y=0,求直線l的方程.解答設點P(x,y)為直線l上的任意一點,點P到直線a,b的距離相等,即=,整理得21x-77y-13=0或99x+27y+13=0,即為直線l的方程.在直線l:3x-y-1=0上求一點P,使得:(1) 點P到點A(4,1)和B(3,4)的距離之和最小;(2) 點P到點A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大.思維引導(1) A,B兩點在直線l的同側,直線l上點P到A,B兩點的距離之和等價于點P到A,B'兩點的距離之和(點B'與點B關于直線l對稱);這樣就將原來的問題轉化為簡單問題“在直線l:3x-y-1=0上求一點P,使得點P到點A(4,1)和點B'的距離之和最小”了,所求點即為直線l與AB'的交點.(2) A,B兩點在直線l的異側,直線l上點P到A,B兩點的距離之差等價于點P到A,B'兩點的距離之差(點B'與點B關于直線l對稱);這樣就將原來的問題轉化為簡單問題“在直線l:3x-y-1=0上求一點P,使得點P到點A(4,1)和點B'的距離之差最大”了,所求點即為直線l與AB'的交點.規(guī)范答題(1) 如圖(1),設點B關于直線l的對稱點為B',則PA+PB=PA+PB'AB',即PA+PB的最小值等于AB'.此時直線AB'與直線l的交點即為點P.(2分)設點B'(m,n),則解得即點B'的坐標為. (6分)由兩點式可求得直線AB'的方程為19x+17y-93=0.則易得直線AB'與l的交點坐標為,即為所求的點P的坐標. (7分) 圖(1) 圖(2)(范題賞析)(2) 如圖(2),設點B關于直線l的對稱點為B',則PA-PB=PA-PB'AB',即PA-PB的最大值等于AB'.此時直線AB'與直線l的交點即為點P.(9分)設點B'(m,n),則解得即點B'的坐標為(3,3).所以直線AB' 的方程為2x+y-9=0.(12分)所以直線AB'與直線l的交點為(2,5),即點P的坐標為(2,5).(14分)精要點評本題無法直接去做,需通過求點B的對稱點B',將PB轉化為PB',從而實現(xiàn)問題的解決.這里運用了重要的數(shù)學思想方法化歸思想!1. 若點A(1,3)在直線l上的射影為(-5,1),則直線l的方程是.答案3x+y+14=0解析因為點A(1,3)在直線l上的射影為P(-5,1),所以kPA=,所以kl=-3,所以直線l的方程是3x+y+14=0.2. 設aR,則“a=1”是“直線l1:ax+2y=0與直線l2 :x+(a+1)y+4=0平行”的條件.答案充分不必要解析由=,解得a=1或a=-2.所以當a=1時,兩直線平行成立,因此是充分條件;當兩直線平行時,a=1或a=-2,不是必要條件.3. 若過點P(1,2)作一直線l,使點M(2,3)和點N(4,-1)到直線l的距離相等,則直線l的方程是.答案2x+y-4=0或x+2y-5=0解析當直線l經(jīng)過MN的中點時,其方程是x+2y-5=0;當直線平行于直線l時,直線l的方程是2x+y-4=0.4. 若直線x+2y-3=0與直線ax+4y+b=0關于點A(1,0)對稱,則b=.答案25. 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點,光線從點P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點P(如圖所示),若光線QR經(jīng)過ABC的重心,則AP=.(第5題)答案解析不妨設AP=m(0m4),建立坐標系,設AB所在的直線為x軸,AC所在的直線為y軸,則A(0,0),B(4,0),C(0,4),Q(xQ,yQ),R(0,yR),P(m,0),可知ABC的重心為G,根據(jù)反射性質,可知點P關于y軸的對稱點P1(-m,0)在直線QR上,點P關于直線BC:x+y=4的對稱點P2(4,4-m)在直線RQ上,則QR的方程為=,將點G代入可得3m2-4m=0,即m=或m=0(舍去).溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習(第109-110頁).