第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法本章復(fù)習(xí)課1.掌握不等式的基本性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用基本性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的不等式變形.2.熟練掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法.3.理解絕對(duì)值的幾何意義，理解絕對(duì)值三角不等式，會(huì)利用絕對(duì)值三角不等式證明有關(guān)不等式和求函數(shù)的最值.4.會(huì)解四種類型的絕對(duì)值不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|m，|xc|xb|m.5.會(huì)用平均值不等式求一些特定函數(shù)的最值.6.理解不等式證明的五種方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，會(huì)用它用證明比較簡(jiǎn)單的不等式.知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)梳理1.實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：a>bab>0，abab0，a<bab<0，由此可知要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，判斷差的符號(hào)即可.2.不等式的6個(gè)基本性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ).3.一元一次、一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ)，各類不等式的求解都轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元二次不等式，一元二次不等式都可化為兩種類型，ax2bxc0 (a>0)或ax2bxc0 (a>0)，ax2bxc0 (a>0)的解集實(shí)質(zhì)上是函數(shù)f(x)ax2bxc (a>0)的函數(shù)值f(x)0對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍，方程ax2bxc0 (a>0)的根實(shí)質(zhì)上是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根也是方程對(duì)應(yīng)的一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.4.基本不等式(1)定理1：若a，bR，則a2b22ab (當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”).(2)定理2：若a，bR，則(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”).(3)引理：若a，b，cR，則a3b3c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)可以當(dāng)作重要結(jié)論直接應(yīng)用.(4)定理3：若a，b，cR，則(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”).(5)推論：若a1，a2，anR，則.當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，取“”.(6)在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)一定要注意考察是否滿足“一正，二定，三相等”的要求.5.絕對(duì)值不等式的解法：解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是通過(guò)去掉絕對(duì)值符號(hào)，把含絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，或一元二次不等式.去絕對(duì)值符號(hào)常見(jiàn)的方法有：(1)根據(jù)絕對(duì)值的定義；(2)平方法；(3)分區(qū)間討論.6.絕對(duì)值三角不等式：(1)|a|的幾何意義表示數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，|ab|的幾何意義表示數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離.(2)|ab|a|b| (a，bR，ab0時(shí)等號(hào)成立).(3)|ac|ab|bc| (a，b，cR，(ab)(bc)0等號(hào)成立).(4)|a|b|ab|a|b| (a，bR，左邊“”成立的條件是ab0，右邊“”成立的條件是ab0).(5)|a|b|ab|a|b| (a，bR，左邊“”成立的條件是ab0，右邊“”成立的條件是ab0).7.不等式證明的基本方法(1)比較法：作差法與作商法.(2)綜合法：強(qiáng)調(diào)將問(wèn)題進(jìn)行合理變形轉(zhuǎn)換，使之能運(yùn)用定義、公理、定理、性質(zhì)推證命題.(3)分析法：強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)步驟的合理性，注意邏輯上的充分性，步步可逆不是指等價(jià)，當(dāng)然等價(jià)也行.(4)反證法：反證法是一種“正難則反”的方法，反證法適用的范圍：直接證明困難；需要分成很多類進(jìn)行討論；“唯一性”、“存在性”的命題；結(jié)論中含有“至少”、“至多”及否定性詞語(yǔ)的命題.(5)放縮法：放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，常用的放縮技巧有：舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；在分式中放大或縮小分子或分母；應(yīng)用基本不等式放縮.例如>，<，>，<(以上k>2且kN*).典例剖析知識(shí)點(diǎn)1基本不等式的應(yīng)用【例1】 求函數(shù)yx2(15x) 的最值.解yx2·x·x·，0x，2x0.y.當(dāng)且僅當(dāng)x2x，即x時(shí)，y取得最大值且ymax.知識(shí)點(diǎn)2證明不等式(利用函數(shù)的單調(diào)性)【例2】 已知ABC的三邊長(zhǎng)是a，b，c，且m為正數(shù)，求證：>.證明設(shè)函數(shù)f(x)1 (x>0，m>0).易知f(x)在(0，)上是增函數(shù).f(a)f(b)>f(ab).又ab>c，f(ab)>f(c)，>.知識(shí)點(diǎn)3應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式證明不等式【例3】 已知f(x)x2axb (a，bR)的定義域?yàn)?，1.(1)記|f(x)|的最大值為M，求證：M；(2)當(dāng)M時(shí)，求f(x)的表達(dá)式.(1)證明由題意M|f(0)|，M|f(1)|，M|f(1)|.4M2|f(0)|f(1)|f(1)|2|b|1ab|1ab|1ab1ab2b|2，M.(2)解當(dāng)M時(shí)，|f(0)|b|，b.同理有1ab，1ab.兩式相加122b1，b.又b，b.當(dāng)b時(shí)，由1ab1a0；由1ab0a1，即a0.f(x)x2.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.若a，b，x，yR，則是成立的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由(xa)(yb)>0知，xa與yb同號(hào)，由xy>ab得(xa)(yb)>0，即(xa)，(yb)同正，所以如果易知答案C2.若a3b32，則()A.ab<2 B.ab2C.ab>2 D.ab2解析a3b32，(ab)(a2b2ab)2，(ab)(ab)23ab2.(ab)33(ab)ab23(ab)2.(ab)38，ab2.答案B3.設(shè)a0，b0，下列不等式中不正確的是()A.a2b22ab B.2C.ab D.解析0，故選D.答案D4.A1與(nN)的大小關(guān)系是_.解析A1，A.答案A5.若a，則ab的最小值是_.解析設(shè)bsin ，則acos ，absin.，sin1，故1ab.答案16.解不等式|2x4|3x9|<1.解當(dāng)x>2時(shí)，原不等式等價(jià)于x>2當(dāng)3x2時(shí)，原不等式等價(jià)于<x2當(dāng)x<3時(shí)，原不等式等價(jià)于x<12.綜上所述知不等式的解集為x|x>或x<12.綜合提高7.設(shè)函數(shù)yx2xa (a>0)滿足f(m)<0，則()A.f(m1)0 B.f(m1)0C.f(m1)>0 D.f(m1)<0解析設(shè)x1、x2是方程x2xa0的兩根，則|x1x2|<1.當(dāng)f(m)<0時(shí)，f(m1)>0.答案C8.設(shè)0<a<b且f(x)，則下列結(jié)論中正確的是()A.f(a)<f<f(ab)B.f<f(b)<f()C.f()<f<f(a)D.f(b)<f<f()解析當(dāng)x>0時(shí)，f(x)1f(x)在(0，)上為減函數(shù).又b>>.答案D9.若正數(shù)a，b滿足abab3，則ab的取值范圍是_.解析由abab323，令x，則有x22x3x22x30，解x求的范圍.x3或x1(舍去)，ab9.答案9，)10.函數(shù)y12x的值域是_.解析|2x|2.2x2，)或(，2.y(，2121，).答案(，2121，)11.設(shè)a>b>c>1，記Ma，Na，P2，Q3，試找出其中的最小者，并說(shuō)明理由.解b>c>0，>，N<M；又QPc23c3330，又a>b>c>1，c，從而Q>P，又NP2b(21)(1)()>0(a>b>c>1)P<N，故P最小.12.設(shè)a、b、c、d是正數(shù)，求證：下列三個(gè)不等式ab<cd，(ab)(cd)<abcd，(ab)cd<ab(cd)中至少有一個(gè)不正確.證明本題顯然應(yīng)該用反證法.假設(shè)不等式、都成立，因?yàn)閍、b、c、d都是正數(shù)，所以與相乘，得：(ab)2<abcd.由得(ab)cd<ab(cd)(cd).ab>0，4cd<(ab)(cd).結(jié)合，得4cd<abcd，3cd<ab，即cd<ab.由，得(ab)2<ab，即a2b2<ab，矛盾.不等式、中至少有一個(gè)不正確.7