《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)（二）學案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)（二）學案 新人教A版選修2-2（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1．3.2　函數(shù)的極值與導數(shù)(二) 學習目標　1.能根據(jù)極值點與極值的情況求參數(shù)范圍.2.會利用極值解決方程的根與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題． 1．極小值點與極小值 (1)特征：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，并且f′(a)＝0. (2)符號：在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0. (3)結(jié)論：點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值． 2．極大值點與極大值 (1)特征：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，并且f′(b)＝0. (2)

2、符號：在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0. (3)結(jié)論：點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值． 3．用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域； (2)求函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)； (3)求出方程f′(x)＝0在定義域內(nèi)的所有實根，并將定義域分成若干個子區(qū)間； (4)以表格形式檢查f′(x)＝0的所有實根兩側(cè)的f′(x)是否異號，若異號則是極值點，否則不是極值點. 類型一　由極值的存在性求參數(shù)的范圍 例1　(1)若函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－1有極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________． (2)已

3、知函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B. C．(0,1) D．(0，＋∞) 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　極值存在性問題 答案　(1)(－∞，1)　(2)B 解析　(1)f′(x)＝x2－2x＋a，由題意，得方程x2－2x＋a＝0有兩個不同的實數(shù)根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1. (2)∵f(x)＝x(ln x－ax)， ∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，且f(x)有兩個極值點， ∴f′(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點， 令f′(x)＝0，則2a＝， 設g(x)＝，則g′(x)＝，

4、∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， 又∵當x→0時，g(x)→－∞，當x→＋∞時，g(x)→0， 而g(x)max＝g(1)＝1， ∴只需0<2a<1，即0

5、 故a的取值范圍是(0,1)． 反思與感悟　函數(shù)的極值與極值點的情況應轉(zhuǎn)化為方程f′(x)＝0根的問題． 跟蹤訓練1　已知函數(shù)f(x)＝，若函數(shù)在區(qū)間(其中a>0)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　極值存在性問題 解　∵f(x)＝，x>0， 則f′(x)＝－. 當00，當x>1時，f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值． ∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(其中a>0)上存在極值， ∴解得

6、決函數(shù)零點問題 例2　(1)函數(shù)f(x)＝x3－4x＋4的圖象與直線y＝a恰有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)零點與方程的根 答案　 解析　∵f(x)＝x3－4x＋4， ∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴當x＝－2時，函數(shù)取得極大值f(－2)＝；

7、 當x＝2時，函數(shù)取得極小值f(2)＝－. 且f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增． 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況，它的圖象大致如圖所示， 結(jié)合圖象知－

8、得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個不相等的實根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖象與x軸有三個不同的交點． ∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)， 令g′(x)＝0，得x＝或x＝4. 當x變化時，g(x)，g′(x)的變化情況如下表： x 4 (4，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 則函數(shù)g(x)的極大值為g＝－m，極小值為g(4)＝－16－m.由y＝f(x)的圖象與y＝?f′(x)＋5x＋m的圖象有三個不同交點， 得解得－16

9、圍為. 反思與感悟　利用導數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便． 跟蹤訓練2　若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在區(qū)間[－1,1]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍． 考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)零點與方程的根 解　令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b， 則g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)． 當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下表： x (－2,0) 0 (0，＋∞) g′(x) ＋ 0

10、－ g(x) ↗ 極大值 ↘ 由上表可知，函數(shù)在x＝0處取得極大值，極大值為g(0)＝2ln 2＋b. 結(jié)合圖象(圖略)可知，要使g(x)＝0在區(qū)間[－1,1]上恰有兩個不同的實數(shù)根，只需 即所以－2ln 2

11、數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為(　　) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值求參數(shù) 答案　A 解析　∵f′(x)＝3ax2＋b， 由題意知f′(1)＝0，f(1)＝－2， ∴∴a＝1，b＝－3. 3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(　　) A．(－1,2) B．(－3,6) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　極值存在性問題 答案　D

12、 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6. 因為函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值， 所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0， 解得a>6或a<－3. 4．若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則a的取值范圍為________． 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　極值存在性問題 答案　(0,1) 解析　f′(x)＝3x2－3a. 當a≤0時，在區(qū)間(0,1)上無極值． 當a>0時，令f′(x)>0，解得x>或x<－. 令f′(x)<0，解得－

13、－12x＋4，討論方程f(x)＝m的解的個數(shù)． 考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)零點與方程的根 解　由題意知，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)． 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以f(x)極小值＝f(2)＝－12，f(x)極大值＝f(－2)＝20. 又因為f(x)的定義域是R，畫出函數(shù)圖象(圖略)， 所以當m>20或m<－12時，方程f(x)＝m有一個解； 當m＝20或m

14、＝－12時，方程f(x)＝m有兩個解； 當－12

15、C．2 D．3 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 答案　B 解析　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)； f′(x)＝6x－－1＝＝； ∴當0時，f′(x)>0； ∴x＝是f(x)的極值點； 即f(x)的極值點個數(shù)為1.故選B. 2．若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值求參數(shù) 答案　D 解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b， ∵f(x)在x＝1處有

16、極值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0， ∴a＋b＝6. 又a>0，b>0，∴a＋b≥2， ∴2≤6，∴ab≤9. 3．若函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有兩個不同的零點，則a的值可能為(　　) A．4 B．6 C．7 D．8 答案　A 解析　f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． 由f′(x)>0，得x<1或x>2， 由f′(x)<0，得1

17、，則f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4. 4．函數(shù)f(x)＝x2－aln x(a∈R)不存在極值點，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0] 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　極值存在性問題 答案　D 解析　f(x)的定義域是(0，＋∞)， f′(x)＝2x－＝， 若f(x)在(0，＋∞)上不存在極值點，則a≤2x2在(0，＋∞)上恒成立，故a≤0，故選D. 5．若函數(shù)f(x)＝x2ex－a恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C．(0,4e2) D．(0，＋∞)

18、考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)零點與方程的根 答案　B 解析　令g(x)＝x2ex， 則g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)． 令g′(x)＝0，得x＝0或－2， ∴g(x)在(－2,0)上單調(diào)遞減，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴g(x)極大值＝g(－2)＝，g(x)極小值＝g(0)＝0， 又f(x)＝x2ex－a恰有三個零點，則0

19、導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　極值存在性問題 答案　C 解析　f(x)的定義域是(0，＋∞)， ∵f(x)＝ln x＋ax2－(a＋1)x＋1， ∴f′(x)＝＋ax－(a＋1)＝， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1， 若f(x)在x＝1處取得極小值， 則0<<1，解得a>1. 7．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，且f(x)在x＝x0與x＝2處取得極值，則f(1)＋f(－1)的值一定(　　) A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．小于或等于0 考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用 答案　B 解析　f′(x)＝

20、3ax2＋2bx＋c. 令f′(x)＝0，則x0和2是該方程的根． ∴x0＋2＝－<0，即>0. 由題圖知，f′(x)<0的解為(x0,2)，∴3a>0，則b>0， ∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0. 二、填空題 8．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx在x＝處有極值，則b的值為________． 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值求參數(shù) 答案?。? 解析　f′(x)＝2ax＋b， ∵函數(shù)f(x)在x＝處有極值， ∴f′＝2a·＋b＝0，即b＝－2. 9．函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1有極值的充要條件是________． 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)

21、的極值 題點　極值存在性問題 答案　a<0 解析　f(x)＝ax3＋x＋1的導數(shù)為f′(x)＝3ax2＋1， 若函數(shù)f(x)有極值，則f′(x)＝0有解， 即3ax2＋1＝0有解，∴a<0. 10．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－4在區(qū)間(－1,1)上恰有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________． 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　極值存在性問題 答案　[1,5) 解析　由題意，得f′(x)＝3x2＋2x－a， 則f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0， 解得1

22、上恰有一個極值點， 當a＝5時，函數(shù)f(x)＝x3＋x2－5x－4在區(qū)間(－1,1)沒有極值點． 故實數(shù)a的取值范圍為[1,5)． 11．設a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax(x∈R)有大于0的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________． 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　極值存在性問題 答案　(－∞，－1) 解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，由題意知，ex＋a＝0有大于0的實根．令y1＝ex，y2＝－a，則兩曲線的交點在第一象限，如圖，結(jié)合圖形易得－a>1，解得a<－1. 三、解答題 12．設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的極值；

23、(2)當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點？ 考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)零點與方程的根 解　(1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴f(x)的極大值是f?＝＋a， 極小值是f(1)＝a－1. (2)函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a ＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)>0，

24、x取足夠小的負數(shù)時，有f(x)<0， ∴曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點． 由(1)知f(x)極大值＝f?＝＋a， f(x)極小值＝f(1)＝a－1. ∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點， ∴f(x)極大值<0或f(x)極小值>0， 即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1， ∴當a∈∪(1，＋∞)時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點． 13．已知函數(shù)f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R. (1)當a＝－時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)f(x)僅在x＝0處有極值，求a的取值范圍． 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值求

25、參數(shù) 解　(1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)， 當a＝－時， f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)． 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝，x3＝2. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以f(x)在區(qū)間，(2，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)，上是單調(diào)遞減函數(shù)． (2)f′(x)＝x(4x2＋3ax＋4)

26、，顯然x＝0不是方程4x2＋3ax＋4＝0的根，為使f(x)僅在x＝0處有極值，必須有4x2＋3ax＋4≥0恒成立，即有Δ＝9a2－64≤0，解得－≤a≤，此時，f(0)＝b是唯一的極值，因此滿足條件的a的取值范圍是. 四、探究與拓展 14．設函數(shù)f(x)＝sin .若存在f(x)的極值點x0滿足x＋[f(x0)]2

27、，f(x)的極值點x0滿足f(x0)＝±，則＝＋kπ(k∈Z)， 從而得x0＝m(k∈Z)．所以不等式x＋[f(x0)]23，其中k∈Z.由題意，存在整數(shù)k使得不等式m2>3成立．當k≠－1且k≠0時，必有2>1，此時不等式顯然不能成立，故k＝－1或k＝0，此時，不等式即為m2>3，解得m<－2或m>2. 15．已知函數(shù)f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的導函數(shù)f′(x)為偶函數(shù)，且曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線的斜率為4－c. (1)確定a，b的值； (2)若c＝3，判斷f(x)的單調(diào)性； (3)若f(x)有

28、極值，求c的取值范圍． 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值求參數(shù) 解　(1)對f(x)求導，得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c， 由f′(x)為偶函數(shù)，知f′(－x)＝f′(x)恒成立， 即2(a－b)·(e2x－e－2x)＝0恒成立，所以a＝b. 又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1. (2)當c＝3時，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么 f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0， 故f(x)在R上為增函數(shù)． (3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c， 而2e2x＋2e－2x≥2＝4， 當x＝0時等號成立． 下面分三種情況進行討論． 當c<4時，對任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0， 此時f(x)無極值； 當c＝4時，對任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0， 此時f(x)無極值； 當c>4時，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有兩根t1＝>0，t2＝>0，即f′(x)＝0有兩個根， 且x1＝ln t1，x2＝ln t2. 當x1x2時，f′(x)>0，從而f(x)在x＝x2處取得極小值． 綜上，若f(x)有極值，則c的取值范圍為(4，＋∞)． 13