13.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)極值點與極值的情況求參數(shù)范圍.2.會利用極值解決方程的根與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題1極小值點與極小值(1)特征：函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，并且f(a)0.(2)符號：在點xa附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0.(3)結(jié)論：點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值2極大值點與極大值(1)特征：函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，并且f(b)0.(2)符號：在點xb附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0.(3)結(jié)論：點b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值3用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)求出方程f(x)0在定義域內(nèi)的所有實根，并將定義域分成若干個子區(qū)間；(4)以表格形式檢查f(x)0的所有實根兩側(cè)的f(x)是否異號，若異號則是極值點，否則不是極值點.類型一由極值的存在性求參數(shù)的范圍例1(1)若函數(shù)f(x)x3x2ax1有極值點，則實數(shù)a的取值范圍為_(2)已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案(1)(，1)(2)B解析(1)f(x)x22xa，由題意，得方程x22xa0有兩個不同的實數(shù)根，所以44a>0，解得a<1.(2)f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，且f(x)有兩個極值點，f(x)在(0，)上有兩個不同的零點，令f(x)0，則2a，設(shè)g(x)，則g(x)，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，又當(dāng)x0時，g(x)，當(dāng)x時，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需0<2a<1，即0<a<.引申探究1若本例(1)中函數(shù)的極大值點是1，求a的值解f(x)x22xa，由題意得f(1)12a0，解得a3，則f(x)x22x3，經(jīng)驗證可知，f(x)在x1處取得極大值2若本例(1)中函數(shù)f(x)有兩個極值點，均為正值，求a的取值范圍解由題意，得方程x22xa0有兩個不等正根，設(shè)為x1，x2，則解得0<a<1.故a的取值范圍是(0,1)反思與感悟函數(shù)的極值與極值點的情況應(yīng)轉(zhuǎn)化為方程f(x)0根的問題跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)，若函數(shù)在區(qū)間(其中a>0)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題解f(x)，x>0，則f(x).當(dāng)0<x<1時，f(x)>0，當(dāng)x>1時，f(x)<0.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在x1處取得極大值函數(shù)f(x)在區(qū)間(其中a>0)上存在極值，解得<a<1.即實數(shù)a的取值范圍為.類型二利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點問題例2(1)函數(shù)f(x)x34x4的圖象與直線ya恰有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是_考點函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點函數(shù)零點與方程的根答案解析f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值極小值當(dāng)x2時，函數(shù)取得極大值f(2)；當(dāng)x2時，函數(shù)取得極小值f(2).且f(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況，它的圖象大致如圖所示，結(jié)合圖象知<a<.(2)已知函數(shù)f(x)x36x29x3，若函數(shù)yf(x)的圖象與y f(x)5xm的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍考點函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點函數(shù)零點與方程的根解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9， f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m.則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個不相等的實根，即g(x)x37x28xm的圖象與x軸有三個不同的交點g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.當(dāng)x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x4(4，)g(x)00g(x)極大值極小值則函數(shù)g(x)的極大值為gm，極小值為g(4)16m.由yf(x)的圖象與y f(x)5xm的圖象有三個不同交點，得解得16<m<.即實數(shù)m的取值范圍為.反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便跟蹤訓(xùn)練2若2ln(x2)x2xb0在區(qū)間1,1上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍考點函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點函數(shù)零點與方程的根解令g(x)2ln(x2)x2xb，則g(x)2x1(x>2)當(dāng)x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x(2,0)0(0，)g(x)0g(x)極大值由上表可知，函數(shù)在x0處取得極大值，極大值為g(0)2ln 2b.結(jié)合圖象(圖略)可知，要使g(x)0在區(qū)間1,1上恰有兩個不同的實數(shù)根，只需即所以2ln 2<b22ln 3.故實數(shù)b的取值范圍是(2ln 2,22ln 31下列四個函數(shù)中，能在x0處取得極值的函數(shù)是()yx3；yx21；y|x|；y2x.A BC D考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案B解析為單調(diào)函數(shù)，無極值2函數(shù)f(x)ax3bx在x1處有極值2，則a，b的值分別為()A1，3 B1,3C1,3 D1，3考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值求參數(shù)答案A解析f(x)3ax2b，由題意知f(1)0，f(1)2，a1，b3.3已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A(1,2) B(3,6)C(，1)(2，) D(，3)(6，)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案D解析f(x)3x22axa6.因為函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，所以(2a)24×3×(a6)>0，解得a>6或a<3.4若函數(shù)f(x)x33ax1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則a的取值范圍為_考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案(0,1)解析f(x)3x23a.當(dāng)a0時，在區(qū)間(0,1)上無極值當(dāng)a>0時，令f(x)>0，解得x>或x<.令f(x)<0，解得<x<.若f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，則0<<1.解得0<a<1.5已知函數(shù)f(x)x312x4，討論方程f(x)m的解的個數(shù)考點函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點函數(shù)零點與方程的根解由題意知，f(x)3x2123(x2)(x2)當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)極小值f(2)12，f(x)極大值f(2)20.又因為f(x)的定義域是R，畫出函數(shù)圖象(圖略)，所以當(dāng)m>20或m<12時，方程f(x)m有一個解；當(dāng)m20或m12時，方程f(x)m有兩個解；當(dāng)12<m<20時，方程f(x)m有三個解1研究方程根的問題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問題，一般地，方程f(x)0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，方程f(x)g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的交點的橫坐標(biāo)2事實上利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便.一、選擇題1函數(shù)f(x)3x2ln xx的極值點的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案B解析函數(shù)f(x)的定義域為(0，)；f(x)6x1；當(dāng)0<x<時，f(x)<0，當(dāng)x>時，f(x)>0；x是f(x)的極值點；即f(x)的極值點個數(shù)為1.故選B.2若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值求參數(shù)答案D解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1處有極值，f(1)122a2b0，ab6.又a>0，b>0，ab2，26，ab9.3若函數(shù)f(x)2x39x212xa恰好有兩個不同的零點，則a的值可能為()A4 B6 C7 D8答案A解析f(x)6x218x126(x1)(x2)由f(x)>0，得x<1或x>2，由f(x)<0，得1<x<2，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1)，(2，)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，從而可知f(x)的極大值和極小值分別為f(1)，f(2)若函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點，則f(1)0或f(2)0，解得a5或a4.4函數(shù)f(x)x2aln x(aR)不存在極值點，則a的取值范圍是()A(，0) B(0，)C0，) D(，0考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案D解析f(x)的定義域是(0，)，f(x)2x，若f(x)在(0，)上不存在極值點，則a2x2在(0，)上恒成立，故a0，故選D.5若函數(shù)f(x)x2exa恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C(0,4e2) D(0，)考點函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點函數(shù)零點與方程的根答案B解析令g(x)x2ex，則g(x)2xexx2exxex(x2)令g(x)0，得x0或2，g(x)在(2,0)上單調(diào)遞減，在(，2)，(0，)上單調(diào)遞增g(x)極大值g(2)，g(x)極小值g(0)0，又f(x)x2exa恰有三個零點，則0<a<.6已知函數(shù)f(x)ln xax2(a1)x1在x1處取得極小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1 B(，1)C(1，) D(0，)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案C解析f(x)的定義域是(0，)，f(x)ln xax2(a1)x1，f(x)ax(a1)，令f(x)0，解得x或x1，若f(x)在x1處取得極小值，則0<<1，解得a>1.7已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx的圖象如圖所示，且f(x)在xx0與x2處取得極值，則f(1)f(1)的值一定()A等于0 B大于0C小于0 D小于或等于0考點函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案B解析f(x)3ax22bxc.令f(x)0，則x0和2是該方程的根x02<0，即>0.由題圖知，f(x)<0的解為(x0,2)，3a>0，則b>0，f(1)f(1)2b，f(1)f(1)>0.二、填空題8函數(shù)f(x)ax2bx在x處有極值，則b的值為_考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值求參數(shù)答案2解析f(x)2axb，函數(shù)f(x)在x處有極值，f2a·b0，即b2.9函數(shù)f(x)ax3x1有極值的充要條件是_考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案a<0解析f(x)ax3x1的導(dǎo)數(shù)為f(x)3ax21，若函數(shù)f(x)有極值，則f(x)0有解，即3ax210有解，a<0.10若函數(shù)f(x)x3x2ax4在區(qū)間(1,1)上恰有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為_考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案1,5)解析由題意，得f(x)3x22xa，則f(1)f(1)<0，即(1a)(5a)<0，解得1<a<5，另外，當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)x3x2x4在區(qū)間(1,1)上恰有一個極值點，當(dāng)a5時，函數(shù)f(x)x3x25x4在區(qū)間(1,1)沒有極值點故實數(shù)a的取值范圍為1,5)11設(shè)aR，若函數(shù)yexax(xR)有大于0的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為_考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案(，1)解析yexax，yexa，由題意知，exa0有大于0的實根令y1ex，y2a，則兩曲線的交點在第一象限，如圖，結(jié)合圖形易得a>1，解得a<1.三、解答題12設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線yf(x)與x軸僅有一個交點？考點函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點函數(shù)零點與方程的根解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，得x或x1.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)的極大值是f a，極小值是f(1)a1.(2)函數(shù)f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)>0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時，有f(x)<0，曲線yf(x)與x軸至少有一個交點由(1)知f(x)極大值f a，f(x)極小值f(1)a1.曲線yf(x)與x軸僅有一個交點，f(x)極大值<0或f(x)極小值>0，即a<0或a1>0，a<或a>1，當(dāng)a(1，)時，曲線yf(x)與x軸僅有一個交點13已知函數(shù)f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a，bR.(1)當(dāng)a時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)僅在x0處有極值，求a的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值求參數(shù)解(1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)，當(dāng)a時，f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)令f(x)0，解得x10，x2，x32.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)02(2，)f(x)000f(x)極小值極大值極小值所以f(x)在區(qū)間，(2，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間(，0)，上是單調(diào)遞減函數(shù)(2)f(x)x(4x23ax4)，顯然x0不是方程4x23ax40的根，為使f(x)僅在x0處有極值，必須有4x23ax40恒成立，即有9a2640，解得a，此時，f(0)b是唯一的極值，因此滿足條件的a的取值范圍是.四、探究與拓展14設(shè)函數(shù)f(x)sin .若存在f(x)的極值點x0滿足xf(x0)2<m2，則m的取值范圍是()A(，6)(6，) B(，4)(4，)C(，2)(2，) D(，1)(1，)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案C解析由正弦函數(shù)的圖象可知，f(x)的極值點x0滿足f(x0)±，則k(kZ)，從而得x0m(kZ)所以不等式xf(x0)2<m2即為2m23<m2，變形得m2>3，其中kZ.由題意，存在整數(shù)k使得不等式m2>3成立當(dāng)k1且k0時，必有2>1，此時不等式顯然不能成立，故k1或k0，此時，不等式即為m2>3，解得m<2或m>2.15已知函數(shù)f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的導(dǎo)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線的斜率為4c.(1)確定a，b的值；(2)若c3，判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(x)有極值，求c的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值求參數(shù)解(1)對f(x)求導(dǎo)，得f(x)2ae2x2be2xc，由f(x)為偶函數(shù)，知f(x)f(x)恒成立，即2(ab)·(e2xe2x)0恒成立，所以ab.又f(0)2a2bc4c，故a1，b1.(2)當(dāng)c3時，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x3231>0，故f(x)在R上為增函數(shù)(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x24，當(dāng)x0時等號成立下面分三種情況進(jìn)行討論當(dāng)c<4時，對任意xR，f(x)2e2x2e2xc>0，此時f(x)無極值；當(dāng)c4時，對任意x0，f(x)2e2x2e2x4>0，此時f(x)無極值；當(dāng)c>4時，令e2xt，注意到方程2tc0有兩根t1>0，t2>0，即f(x)0有兩個根，且x1ln t1，x2ln t2.當(dāng)x1<x<x2時，f(x)<0；又當(dāng)x>x2時，f(x)>0，從而f(x)在xx2處取得極小值綜上，若f(x)有極值，則c的取值范圍為(4，)13