第八章 立體幾何第一節(jié)空間幾何體的表面積與體積1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺(tái)側(cè)(rr)l2空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3小題體驗(yàn)1(2018·南京高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為27 cm3，則該圓柱的側(cè)面積為_(kāi)cm2.解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a cm，則a2·a27，得a3，所以側(cè)面積2×3×318 cm2.答案：182(2018·海安高三質(zhì)量測(cè)試)已知正三棱錐的體積為36 cm3，高為4 cm，則底面邊長(zhǎng)為_(kāi)cm.解析：設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a cm，則其面積為Sa2，由題意知×a2×436，解得a6.答案：63正三棱柱ABC­A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A­B1DC1的體積為_(kāi)解析：在正三棱柱ABC­A1B1C1中，因?yàn)锳DBC，ADBB1，BB1BCB，所以AD平面B1DC1.所以VA­B1DC1SB1DC1·AD××2××1.答案：11求組合體的表面積時(shí)，組合體的銜接部分的面積問(wèn)題易出錯(cuò)2易混側(cè)面積與表面積的概念小題糾偏1(教材習(xí)題改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比為_(kāi)，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為_(kāi)答案：23112已知某正三棱錐的高為1，體積為，則該正三棱錐的側(cè)面積為_(kāi)解析：如圖，設(shè)正三棱錐為V­ABC，其底面邊長(zhǎng)為a，VO為正三棱錐的高，所以V×a2×1，所以a2，所以O(shè)H×2×，所以斜高VH212，所以側(cè)面積S3××2×2.答案：2題組練透1棱長(zhǎng)為2的正四面體的表面積是_解析：每個(gè)面的面積為：×2×2×.所以正四面體的表面積為4.答案：42一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)解析：由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h.由題意，得×6××22×h2，所以h1，所以斜高h(yuǎn)2，所以S側(cè)6××2×212.答案：123.如圖所示，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，以A為圓心畫(huà)一個(gè)扇形，以O(shè)為圓心畫(huà)一個(gè)圓，M，N，K為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的表面積為_(kāi)解析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，由已知條件解得r，l4，所以圓錐的表面積等于扇形AEF和圓O的面積之和，所以圓錐的表面積Srlr210.答案：10謹(jǐn)記通法幾何體的表面積的求法(1)求表面積問(wèn)題的思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差求得幾何體的表面積典例引領(lǐng)1(2018·蘇州高三暑假測(cè)試)如圖，正四棱錐P­ABCD的底面一邊AB的長(zhǎng)為2 cm，側(cè)面積為8 cm2，則它的體積為_(kāi)cm3.解析：記正四棱錐P­ABCD的底面中心為點(diǎn)O，棱AB的中點(diǎn)為H，連結(jié)PO，HO，PH，則PO平面ABCD，因?yàn)檎睦忮F的側(cè)面積為8 cm2，所以84××2×PH，解得PH2，在RtPHO中，HO，所以PO1，所以VP­ABCD·S正方形ABCD·PO4 cm3.答案：42已知正六棱柱的側(cè)面積為72 cm2，高為6 cm，那么它的體積為_(kāi) cm3.解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x cm，由題意得6x×672，所以x2 cm，于是其體積V×22×6×636 cm3.答案：36由題悟法有關(guān)幾何體體積的類型及解題策略常見(jiàn)類型解題策略球的體積問(wèn)題直接利用球的體積公式求解，在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑錐體、柱體的體積問(wèn)題根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解不規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解即時(shí)應(yīng)用1已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB6，BC2，則棱錐O­ABCD的體積為_(kāi)解析：如圖，連結(jié)AC，BD交于H，連結(jié)OH.在矩形ABCD中，由AB6，BC2可得BD4，所以BH2，在RtOBH中，由OB4，所以O(shè)H2，所以四棱錐O­ABCD的體積V×6×2×28.答案：82.(2018·南通調(diào)研)如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若各棱長(zhǎng)均為2，且M為A1C1的中點(diǎn)，則三棱錐M­AB1C的體積是_解析：在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1平面A1B1C1，則AA1B1M.因?yàn)锽1M是正三角形的中線，所以B1MA1C1.因?yàn)锳1C1AA1A1，所以B1M平面ACC1A1，則VM­AB1CVB1­ACM××AC×AA1×B1M××2×2×.答案：鎖定考向與球有關(guān)的切、接問(wèn)題是每年高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，題型多為填空題常見(jiàn)的命題角度有：(1)球與柱體的切、接問(wèn)題；(2)球與錐體的切、接問(wèn)題 題點(diǎn)全練角度一：球與柱體的切、接問(wèn)題1已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為_(kāi)解析：如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA .答案：2.(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_解析：設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以.答案：角度二：球與錐體的切、接問(wèn)題3已知正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為_(kāi)解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接PE，因?yàn)锳BC是正三角形，所以AE是BC邊上的高和中線，D為ABC的中心因?yàn)锳B2，所以SABC3，DE1，PE.所以S表3××2×333.因?yàn)镻D1，所以三棱錐的體積V×3×1.設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，則r1.答案：14(2017·全國(guó)卷)已知三棱錐S ­ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐S ­ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)解析：如圖，連接AO，OB，因?yàn)镾C為球O的直徑，所以點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)，因?yàn)镾AAC，SBBC，所以AOSC，BOSC，因?yàn)槠矫鍿CA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，所以AO平面SCB，設(shè)球O的半徑為R，則OAOBR，SC2R.所以VS ­ABCVA­SBC×SSBC×AO××AO，即9××R，解得 R3，所以球O的表面積為S4R24×3236.答案：36通法在握“切”“接”問(wèn)題處理的注意事項(xiàng)(1)“切”的處理解決與球的內(nèi)切問(wèn)題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作(2)“接”的處理把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問(wèn)題解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑演練沖關(guān)1(2018·太湖高級(jí)中學(xué)檢測(cè))一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為1，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)解析：由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r1，其高h(yuǎn)1，所以球半徑為R ，所以該球的體積VR3×3.答案：2三棱錐P­ABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，則該三棱錐的外接球表面積為_(kāi)解析：由題可知，ABC中AC邊上的高為，球心O在底面ABC的投影即為ABC的外心D，設(shè)DADBDCx，所以x232(x)2，解得x，所以R2x221(其中R為三棱錐外接球的半徑)，所以外接球的表面積S4R2.答案：3如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為_(kāi)解析：平面ACD1截球O的截面為ACD1的內(nèi)切圓因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以ACCD1AD1，所以內(nèi)切圓的半徑r×tan 30°，所以Sr2×.答案：一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1一個(gè)球的表面積是16，那么這個(gè)球的體積為_(kāi)解析：設(shè)球的半徑為R，因?yàn)楸砻娣e是16，所以4R216，解得R2.所以體積為R3.答案：2(2018·徐州高三年級(jí)期中考試)各棱長(zhǎng)都為2的正四棱錐的體積為_(kāi)解析：由題意得，底面對(duì)角線長(zhǎng)為2，所以正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積VSh×22×.答案：3(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若，則的值為_(kāi)解析：法一：由題意知V1a3，S16a2，V2r3，S2r2，由得，得ar，從而.法二：不妨設(shè)V127，V29，故V1a327，即a3，所以S16a254.如圖所示，又V2h×r2r39，即r3，所以lr，即S2l×2rr29，所以.答案：4.(2017·南京、鹽城、連云港、徐州二模)如圖，正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB4，AA16.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，則三棱錐A­A1EF的體積是_解析：因?yàn)樵谡庵鵄BC­A1B1C1中，AA1BB1，AA1平面AA1C1C，BB1平面AA1C1C，所以BB1平面AA1C1C，從而點(diǎn)E到平面AA1C1C的距離就是點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離，作BHAC，垂足為點(diǎn)H，由于ABC是正三角形且邊長(zhǎng)為4，所以BH2，從而三棱錐A­A1EF的體積VA­A1EFVE­A1AFSA1AF·BH××6×4×28.答案：85(2018·鎮(zhèn)江期末)一個(gè)圓錐的側(cè)面積等于底面面積的2倍，若圓錐底面半徑為 cm，則圓錐的體積是_cm3.解析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，高為h.圓錐的側(cè)面積等于S側(cè)(2×)×l，圓錐的底面面積為S底()23，又因?yàn)閳A錐的側(cè)面積等于底面面積的2倍，故S側(cè)(2×)×l6，解得l2，h3，圓錐的體積VS底×h×3×33.答案：36.(2018·蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào))如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P是棱BB1的中點(diǎn)，則四棱錐P­AA1C1C的體積為_(kāi)解析：四棱錐P­AA1C1C可看作：半個(gè)正方體割去三棱錐P­ABC和P­A1B1C1.所以VP­AA1C1CVABCD­A1B1C1D1VP­ABCVP­A1B1C1.答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2018·揚(yáng)州模擬)圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84，則圓臺(tái)較小底面的半徑為_(kāi)解析：設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S(r3r)·384，解得r7.答案：72已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為a，圓柱的底面直徑和高均為b.若它們的體積相等，則a3b3的值為_(kāi)解析：由題意可得·a2··a2·b，即a3b3，則.答案：3(2018·常州期末)以一個(gè)圓柱的下底面為底面，并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐，若所得的圓錐底面半徑等于圓錐的高，則圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積的比值為_(kāi)解析：如圖，由題意可得圓柱的側(cè)面積為S12rh2r2.圓錐的母線lr，故圓錐的側(cè)面積為S2×2r×lr2，所以S2S12.答案：4(2018·蘇北四市一模)將斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是_解析：因?yàn)榈妊苯侨切蔚男边呴L(zhǎng)為4，所以斜邊上的高為2，故旋轉(zhuǎn)后的幾何體為兩個(gè)大小相等的圓錐的組合體，圓錐的底面半徑為2，高為2，因此，幾何體的體積為V2××22×2.答案： 5(2018·泰州中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，P為AA1中點(diǎn)，Q為CC1的中點(diǎn)，AB2，則三棱錐B­PQD的體積為_(kāi)解析：如圖，連結(jié)PQ，則PQAC，取PQ的中點(diǎn)G，連結(jié)BG，DG，可得BGPQ，DGPQ，又BGDGG，則PQ平面BGD，在RtBPG中，由BP，PG，可得BG，同理可得DG，則BDG邊BD上的高為1，所以SBDG×2×1，則VB­PQD××2.答案：6已知高與底面半徑相等的圓錐的體積為，其側(cè)面積與高為2的圓柱OO1的側(cè)面積相等，則圓柱OO1的體積為_(kāi)解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓柱OO1的底面半徑為R，因?yàn)楦吲c底面半徑相等的圓錐的體積為，所以r2·r，所以r2.又圓錐的側(cè)面積與高為2的圓柱OO1的側(cè)面積相等，所以·r·r2R·2，所以R1，所以圓柱OO1的體積為R2·22.答案：27.(2018·啟東調(diào)研)如圖，RtABC的外接圓O的半徑為5，CE垂直于O所在的平面，BDCE，CE4，BD2，ED2，若M為ED的中點(diǎn)，則VM­ACB_.解析：如圖，過(guò)D作DHCE于H，則BCDH，在RtEDH中，由ED2，EHECDB2，得BCDH6，所以在RtABC中，AB10，BC6，所以AC8，即SABC24，又因?yàn)镃E垂直于O所在的平面，BDCE，M為ED的中點(diǎn)，所以M到平面ABC的距離為3，所以VM­ACBSABC×324.答案：248(2018·連云港調(diào)研)已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為_(kāi)解析：如圖，正四棱錐P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2，所以AC4.在RtAOO1中，R2(4R)222，所以R，所以球的表面積S4R225.答案：259.如圖，在四邊形ABCD中，DAB90°，ADC135°，AB5，CD2，AD2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積解：由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圓臺(tái)側(cè)S圓臺(tái)下底S圓錐側(cè)(25)×5×25×2×2(604)，VV圓臺(tái)V圓錐(·22·52)×4×22×2.10一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并向容器內(nèi)注水，使水面恰好與鐵球面相切將球取出后，容器內(nèi)的水深是多少？解：如圖，作軸截面，設(shè)球未取出時(shí)，水面高PCh，球取出后，水面高PHx.根據(jù)題設(shè)條件可得ACr，PC3r，則以AB為底面直徑的圓錐容積為V圓錐×AC2×PC(r)2×3r3r3.V球r3.球取出后，水面下降到EF，水的體積為V水×EH2×PH(PHtan 30°)2PHx3.又V水V圓錐V球，則x33r3r3，解得xr.故球取出后，容器內(nèi)水深為r.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)解析：依題意可知正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R，則2R2，解得R1，所以VR3.答案：2三棱錐P­ABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)解析：由題意得，此三棱錐外接球即為以ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球，因?yàn)锳BC的外接圓半徑r××1，外接球球心到ABC的外接圓圓心的距離d1，所以外接球的半徑R，所以三棱錐外接球的表面積S4R28.答案：83.如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1B1C12，A1B1C190°，AA14，BB13，CC12，求：(1)該幾何體的體積(2)截面ABC的面積解：(1)過(guò)C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點(diǎn)A2，B2.由直三棱柱性質(zhì)及A1B1C190°可知B2C平面ABB2A2，則該幾何體的體積VVA1B1C1­A2B2CVC­ABB2A2×2×2×2××(12)×2×26.(2)在ABC中，AB，BC，AC2.則SABC×2×.第二節(jié)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(2)公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線(3)公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面2空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O，作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角范圍：.(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行(4)定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等小題體驗(yàn)1“點(diǎn)P在直線m上，m在平面內(nèi)”可表示為_(kāi)解析：點(diǎn)在直線上用“”，直線在平面上用“”答案：Pm，m2平面l，點(diǎn)A，點(diǎn)B，且Cl，C，又ABlR，如圖所示，過(guò)A，B，C三點(diǎn)確定的平面為，則_.解析：由已知條件可知，C，ABlR，AB，所以R.又因?yàn)镃，R，故CR.答案：CR3以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是_不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面解析：顯然是正確的，可用反證法證明；中若A，B，C三點(diǎn)共線，則A，B，C，D，E五點(diǎn)不一定共面；構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體，如圖，顯然b，c異面，故不正確；中空間四邊形中四條線段不共面故正確的個(gè)數(shù)為1.答案：11異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交2直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”3不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線”條件小題糾偏1(2018·南京名校聯(lián)考)已知直線a和平面，l，a，a，且a在，內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是_解析：依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面答案：相交、平行或異面2在下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)a，b是異面直線，則存在分別過(guò)a，b的平面，使；a，b是異面直線，則存在分別過(guò)a，b的平面，使；a，b是異面直線，若直線c，d分別與a，b都相交，則c，d也是異面直線；a，b是異面直線，則存在平面過(guò)a且與b垂直解析：因?yàn)閍，b是異面直線，所以可以作出兩個(gè)平面，分別過(guò)a，b，并使，所以正確；因?yàn)閍，b是異面直線，所以存在兩個(gè)互相垂直的平面分別過(guò)a，b，所以正確；因?yàn)閍，b是異面直線，若直線c，d與a，b分別都相交，則c，d相交或異面，所以不正確；因?yàn)閍，b是異面直線，若a，b垂直，則存在平面過(guò)a且與b垂直，若a，b不垂直，則不存在平面過(guò)a且與b垂直，不正確答案：23四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有_個(gè)解析：首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確定4個(gè)平面答案：4題組練透1如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)證明：(1)如圖，連結(jié)EF，A1B，CD1.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，所以EFA1B.又A1BCD1，所以EFCD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面(2)因?yàn)镋FCD1，EF<CD1，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，所以P直線DA.所以CE，D1F，DA三線共點(diǎn)2.如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線證明：因?yàn)锳BCD，所以AB，CD確定一個(gè)平面.又因?yàn)锳BE，AB，所以E，E，即E為平面與的一個(gè)公共點(diǎn)同理可證F，G，H均為平面與的公共點(diǎn)，因?yàn)閮蓚€(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線謹(jǐn)記通法1證明點(diǎn)共線問(wèn)題的常用方法公理法先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在交線上同一法選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上2證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)3證明點(diǎn)、直線共面問(wèn)題的常用方法納入平面法先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)輔助平面法先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合典例引領(lǐng)如圖，在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以錯(cuò)誤點(diǎn)B，B1，N在平面BB1C1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線同理AM，DD1也是異面直線答案：由題悟法即時(shí)應(yīng)用1上面例題中正方體ABCD­A1B1C1D1的棱所在直線中與直線AB是異面直線的有_條解析：與AB異面的有4條：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形的是_(填上所有正確答案的序號(hào))解析：圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連結(jié)MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面所以在圖中，GH與MN異面答案：典例引領(lǐng)如圖，已知不共面的三條直線a，b，c相交于點(diǎn)P，Aa，Ba，Cb，Dc，求證：AD與BC是異面直線證明：法一：(反證法)假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為，那么點(diǎn)P，A，B，C，D都在平面內(nèi)，所以直線a，b，c都在平面內(nèi)，與已知條件a，b，c不共面矛盾，假設(shè)不成立，所以AD和BC是異面直線法二：(直接證法)因?yàn)閍cP，所以它們確定一個(gè)平面，設(shè)為，由已知C平面，B平面，則BC平面，又AD平面，BAD，所以AD和BC是異面直線由題悟法證明直線異面通常用反證法，證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面，從而可得兩直線異面有時(shí)也可以用直接法證明即時(shí)應(yīng)用如圖所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)問(wèn)：(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由解：(1)AM與CN不是異面直線理由如下：連結(jié)MN，A1C1，AC.因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MNA1C1.又因?yàn)锳1AC1C，A1AC1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線(2)D1B與CC1是異面直線證明如下：因?yàn)锳BCD­A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，與ABCD­A1B1C1D1是正方體矛盾所以假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：2.如圖，在空間四邊形ABCD中，MAB，NAD，若，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是_解析：因?yàn)?，所以MNBD，又MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN平面BDC.答案：平行3若平面，相交，在，內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定_個(gè)平面解析：如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定一個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，所以可確定四個(gè)答案：1或44.如圖，平行六面體ABCD ­A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有_條解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合條件的有5條答案：55設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題：若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac；若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；若a平面，b平面，則a，b一定是異面直線上述命題中正確的命題是_(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))解析：由公理4知正確；當(dāng)ab，bc時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故錯(cuò)；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故錯(cuò)；a，b，并不能說(shuō)明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故錯(cuò)答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件答案：充分不必要2在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是_解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1BCD1，又EF平面A1BCD1，EFD1CF，則A1B與EF相交答案：相交3下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線上的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；兩條直線可以確定一個(gè)平面；空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)；若M，M，l，則Ml.解析：根據(jù)公理3，可判斷是真命題；兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故是假命題；在空間，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面(如墻角)，故是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知是真命題綜上，真命題的個(gè)數(shù)為2.答案：24已知l，m，n為兩兩垂直的三條異面直線，過(guò)l作平面與直線m垂直，則直線n與平面的關(guān)系是_解析：因?yàn)閘，且l與n異面，所以n，又因?yàn)閙，nm，所以n.答案：n5.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))EF與GH平行；EF與GH異面；EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上解析：連結(jié)EH，F(xiàn)G，如圖所示依題意，可得EHBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，所以E，F(xiàn)，G，H共面因?yàn)镋HBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上同理，點(diǎn)M在平面ACD上，所以點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，又AC是這兩個(gè)平面的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上答案：6.如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對(duì)數(shù)為_(kāi)對(duì)解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行故互為異面的直線有且只有3對(duì)答案：37.如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60°角；DE與MN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_解析：還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DEMN.答案：8如圖，在四棱錐V­ABCD中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱VC，VB上的點(diǎn)，且滿足VC3EC，AF平面BDE，則_.解析：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)EO，取VE的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，MF，由VC3ECVMMEEC，又AOCOAMEOAM平面BDE，又由題意知AF平面BDE，且AFAMA，所以平面AMF平面BDEMF平面BDEMFBEVFFB2.答案：29.(2018·南京一中檢測(cè))如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)求證：四邊形B1EDF是平行四邊形證明：設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連結(jié)EQ，QC1，如圖因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn)，Q是DD1的中點(diǎn)，所以EQ綊A1D1.又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四邊形EQC1B1為平行四邊形，所以B1E綊C1Q.又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點(diǎn)，所以QD綊C1F，所以四邊形DQC1F為平行四邊形，所以C1Q綊DF.故B1E綊DF，所以四邊形B1EDF是平行四邊形10.如圖所示，四邊形ABEF和四邊形ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BCAD，BCAD，BEFA，BEFA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？說(shuō)明理由解：(1)證明：因?yàn)镚，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)，所以GHAD，GHAD.又BCAD，BCAD，所以GH綊BC，所以四邊形BCHG為平行四邊形(2)四點(diǎn)共面，理由如下：由BEFA，BEFA，G為FA的中點(diǎn)知，BEFG，BEFG，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，所以EF與CH共面又DFH，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1.如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，G，H依次是空間四邊形ABCD邊AB，BC，CD，DA上除端點(diǎn)外的點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號(hào))當(dāng)時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形；當(dāng)時(shí)，四邊形EFGH是梯形；當(dāng)時(shí)，四邊形EFGH一定不是平行四邊形；當(dāng)時(shí)，四邊形EFGH是梯形解析：由，得EHBD，且，同理得FGBD且，當(dāng)時(shí)，EHFG且EHFG.當(dāng)時(shí)，EHFG，但EHFG，所以正確，只有錯(cuò)誤答案：2在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有_條解析：如圖，在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面，因?yàn)镃D與平面不平行，所以它們相交，設(shè)CDQ，連結(jié)PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與A1D1，EF，CD都相交答案：無(wú)數(shù)3.如圖所示，三棱柱ABC ­A1B1C1，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A1A底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC2FB2.(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值解：(1)法一：如圖所示，取AE的中點(diǎn)O，連結(jié)OF，過(guò)點(diǎn)O作OMAC于點(diǎn)M.因?yàn)閭?cè)棱A1A底面ABC，所以側(cè)面A1ACC1底面ABC.又因?yàn)镋C2FB2，所以O(shè)MFBEC且OMECFB，所以四邊形OMBF為矩形，BMOF.因?yàn)镺F平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)法二：如圖所示，取EC的中點(diǎn)P，AC的中點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，PB，BQ.因?yàn)镋C2FB2，所以PE綊BF，所以PQAE，PBEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因?yàn)镻BPQP，PB，PQ 平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因?yàn)锽Q平面PBQ，所以BQ平面AEF.故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)(2)由(1)知，BM與EF異面，OFE(或MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補(bǔ)角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM與EF所成的角的余弦值為.第三節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為線線平行線面平行)a性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行線線平行”)lb2平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行ab小題體驗(yàn)1(教材習(xí)題改編)已知平面平面，直線a，有下列命題：a與內(nèi)的所有直線平行；a與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行；a與內(nèi)的任意一條直線都不垂直其中真命題的序號(hào)是_答案：2(教材習(xí)題改編)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_(kāi)解析：連結(jié)BD，設(shè)BDACO，連結(jié)EO，在BDD1中，點(diǎn)E，O分別是DD1，BD的中點(diǎn)，則EOBD1，又因?yàn)镋O平面ACE，BD1平面AEC，所以BD1平面ACE.答案：平行3如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出下列五個(gè)結(jié)論：PD平面AMC；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正確的個(gè)數(shù)有_解析：因?yàn)榫匦蜛BCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)在PBD中，M是PB的中點(diǎn)，所以O(shè)M是PBD的中位線，OMPD，則PD平面AMC，OM平面PCD，且OM平面PDA.因?yàn)镸PB，所以O(shè)M與平面PBA、平面PBC相交，故正確的個(gè)數(shù)為3.答案：31直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件2面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件3如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，易誤認(rèn)為這兩個(gè)平面平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交小題糾偏1在長(zhǎng)方體的各面中，和其中一條棱平行的平面有_個(gè)解析：借助長(zhǎng)方體的直觀圖易知，在長(zhǎng)方體的六個(gè)面中，和其中一條棱平行的平面有2個(gè)答案：22設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m，“m ”是“ ”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：當(dāng)m時(shí)，過(guò)m的平面與可能平行也可能相交，因而m/ ；當(dāng)時(shí)，內(nèi)任一直線與平行，因?yàn)閙，所以m.綜上知，“m ”是“ ”的必要不充分條件答案：必要不充分考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)鎖定考向平行關(guān)系是空間幾何中的一種重要關(guān)系，包括線線平行、線面平行、面面平行，其中線面平行是高考熱點(diǎn)，多出現(xiàn)在解答題中常見(jiàn)的命題角度有：(1)證明直線與平面平行；(2)線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用 題點(diǎn)全練角度一：證明直線與平面平行1(2016·全國(guó)卷)如圖，四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)(1)證明MN平面PAB；(2)求四面體N­BCM的體積解：(1)證明：由已知得AMAD2.取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)镸N平面PAB，AT平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA.取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM×4×2.所以四面體N­BCM的體積VN­BCM×SBCM×.角度二：線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用2.如圖，四棱錐P­ABCD 的底面是正方形，四條側(cè)棱均相等點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H 分別是棱 PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，BC 平面GEFH .求證：GHEF.證明：因?yàn)锽C平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC，同理可證EFBC，因此GHEF.通法在握證明直線與平面平行的3種方法定義法一般用反證法判定定理法關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程性質(zhì)判定法即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面演練沖關(guān) 如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)(1)證明：PB平面AEC；(2)在PC上求一點(diǎn)G，使FG平面AEC，并證明你的結(jié)論解：(1)證明：連結(jié)BD，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連結(jié)EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又E為PD的中點(diǎn)，所以EOPB.因?yàn)镋O平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)PC的中點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)證明如下：連結(jié)GE，F(xiàn)G，因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以GE綊CD.又F為AB的中點(diǎn)，且四邊形ABCD為矩形，所以FA綊CD.所以FA綊GE.所以四邊形AFGE為平行四邊形，所以FGAE.又FG平面AEC，AE平面AEC，所以FG平面AEC.考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)典例引領(lǐng)如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明：(1)因?yàn)镚H是A1B1C1的中位線，所以GHB1C1.又因?yàn)锽1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EFBC，因?yàn)镋F平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因?yàn)锳1G綊EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1EGB.因?yàn)锳1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因?yàn)锳1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.由題悟法判定平面與平面平行的4種方法(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)面面平行的判定定理；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行即時(shí)應(yīng)用1如圖，平面內(nèi)有ABC，AB5，BC8，AC7，梯形BCDE的底DE2，過(guò)EB的中點(diǎn)B1的平面，若分別交EA，DC于點(diǎn)A1，C1，求A1B1C1的面積解：因?yàn)?，所以A1B1AB，B1C1BC，又因?yàn)锳1B1C1與ABC同向所以A1B1C1ABC.又因?yàn)閏osABC，所以ABCA1B1C160°.又因?yàn)锽1為EB的中點(diǎn)，所以B1A1是EAB的中位線，所以B1A1AB，同理知B1C1為梯形BCDE的中位線，所以B1C1(BCDE)5.則SA1B1C1A1B1×B1C1×sin 60°××5×.故A1B1C1的面積為.2如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)，求證：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.證明：(1)如圖，連結(jié)AE，設(shè)DF與GN的交點(diǎn)為O，則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O，連結(jié)MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M為AB中點(diǎn)，所以MN為ABD的中位線，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE平面BDE，BD平面BDE，DEBDD，所以平面BDE平面MNG.典例引領(lǐng)如圖所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，問(wèn)在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE平面AB1C1？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：法一：假設(shè)在棱AB上存在點(diǎn)E，使得DE平面AB1C1，如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF，ED，則DFB1C1，又DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，所以DF平面AB1C1，又DE平面AB1C1，DEDFD，所以平面DEF平面AB1C1，因?yàn)镋F平面DEF，所以EF平面AB1C1，又因?yàn)镋F平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1，所以EFAB1，因?yàn)辄c(diǎn)F是BB1的中點(diǎn)，