難點(diǎn)一與三角變換、平面向量綜合的三角形問題(對應(yīng)學(xué)生用書第62頁)高考數(shù)學(xué)命題注重知識的整體性和綜合性，重視在知識的交匯處考察，對三角形問題的考察重點(diǎn)在于三角變換、向量綜合，它們之間互相聯(lián)系、互相交叉，不僅考察三角變換，同時(shí)深化了向量的運(yùn)算，體現(xiàn)了向量的工具作用，試題綜合性較高，所以要求學(xué)生有綜合處理問題的能力，縱觀最近幾年高考，試題難度不大，但是如果某一知識點(diǎn)掌握不到位，必會影響到整個(gè)解題過程 ，本文從以下幾個(gè)方面闡述解題思路，以達(dá)到拋磚引玉的目的1向量運(yùn)算與三角形問題的綜合運(yùn)用解答這類題，首先向量的基本概念和運(yùn)算必須熟練，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的應(yīng)用條件，其次要注意把題目中的向量用三角中邊和角表示，體現(xiàn)向量的工具作用【例1】(鎮(zhèn)江市2017屆高三上學(xué)期期末)已知向量m(cos ，1)， n(2，sin )，其中，且mn.(1)求cos 2的值；(2)若sin()，且，求角的值解法一(1)由mn得，2cos sin 0，sin 2cos ，代入cos2sin21，得5cos21，且，則cos ，sin ，則cos 22cos212×21.(2)由，得，.因sin()，則cos().則sin sin()sin cos()cos sin() ××，因，則.法二(1)由mn得，2cos sin 0，tan 2，故cos 2cos2sin2.(2)由(1)知，2cos sin 0，且cos2sin21，則sin ，cos ，由，得，.因sin()，則cos().則sin sin()sin cos()cos sin()××，因，則.2三角函數(shù)與三角形問題的結(jié)合三角函數(shù)的起源是三角形，所以經(jīng)常會聯(lián)系到三角形，這類型題是在三角形這個(gè)載體上的三角變換，第一：既然是三角形問題，就會用到三角形內(nèi)角和定理和正、余弦定理以及相關(guān)三角形理論，及時(shí)邊角轉(zhuǎn)換，可以幫助發(fā)現(xiàn)問題解決思路；第二：它也是一種三角變換，只不過角的范圍縮小了，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的【例2】(2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊若acos B3，bcos A1，且AB.(1)求邊c的長；(2)求角B的大小. 【導(dǎo)學(xué)號：56394089】解(1)acos B3，bcos A1，a×3，b×1，化為：a2c2b26c，b2c2a22c.相加可得：2c28c，解得c4.(2)由(1)可得：a2b28.由正弦定理可得：，又AB，AB，C(AB)，可得sin Csin.a，b.16sin216sin2B8sin2，1cos(1cos 2B)sin2，即cos 2Bcossin2，2sinsinsin2，sin0或sin1，B.解得：B.3.三角變換、向量、三角形問題的綜合高考會將幾方面結(jié)合起來命題，三角函數(shù)主要考察它的圖象、常見性質(zhì)；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有關(guān)的三角形性質(zhì)；向量主要考察向量的運(yùn)算、向量的模、向量的夾角、向量的垂直以及向量的共線，體現(xiàn)向量的工具作用，三角變換主要考察求值、化簡、變形【例3】(揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期中)在ABC中，AB6，AC3，·18.(1)求BC的長；(2)求tan 2B的值解(1)因?yàn)?#183;AB×AC×cos A18，且AB6，AC3，BC3.(2)法一：在ABC中，AB6，AC3，BC3，cos B，又B(0，)，所以sin B，所以tan B，所以tan 2B.法二：由AB6，AC3，·AB×AC×cos A18可得cos A，又A(0，)，所以A.在ABC中，所以sin B，又B，所以cos B，所以tan B，所以tan 2B.4實(shí)際應(yīng)用中的三角形問題在實(shí)際生活中往往會遇到關(guān)于距離、角度、高度的測量問題，可以借助平面圖形，將上述量放在一個(gè)三角形中，借助解三角形知識達(dá)到解決問題的目的【例4】(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊，已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行圖1(1)若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時(shí)間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；(參考數(shù)據(jù)：sin 17°，5.744 6)(2)問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由解(1)設(shè)緝私艇在C處與走私船相遇(如圖)，則AC3BC.ABC中，由正弦定理可得sinBAC，BAC17°，緝私艇應(yīng)向北偏東47°方向追擊，ABC中，由余弦定理可得cos 120°，BC1.686 15.B到邊界線l的距離為3.84sin 30°1.8，1.686 151.8，能用最短時(shí)間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功(2)以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B(2,2)，設(shè)緝私艇在P(x，y)處與走私船相遇，則PA3PB，即x2y29(x2)2(y2)2，即22，P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，圓心到邊界線l：x3.8的距離為1.55，大于圓的半徑，無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截5綜合上述幾個(gè)方面的闡述，解三角形問題不是孤立的，而是跟其他相關(guān)知識緊密聯(lián)系在一起，通過向量的工具作用，將條件集中到三角形中，然后利用三角恒等變換、正弦定理和余弦定理及其相關(guān)知識解題，是常見的解題思路，為此，熟練掌握向量的基本概念和向量的運(yùn)算，熟練進(jìn)行三角變換和熟練運(yùn)用正弦定理以及余弦定理是解題的關(guān)鍵6向量與三角形問題的結(jié)合向量具有“雙重身份”，既可以像數(shù)一樣滿足“運(yùn)算性質(zhì)”進(jìn)行代數(shù)形式的運(yùn)算，又可以利用它的幾何意義進(jìn)行幾何形式的變換，同時(shí)向量加、減法的幾何運(yùn)算遵循三角形法則和平行四邊形法則，這為向量和三角形問題的結(jié)合，提供了很好的幾何背景61向量與三角形談“心”內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓圓心 )：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；外心(三角形外接圓的圓心)：三角形各邊中垂線的交點(diǎn)；垂心：三角形各邊上高的交點(diǎn)；重心：三角形各邊中線的交點(diǎn)，用向量形式可表示為如下形式：若P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，P是ABC的內(nèi)心；若D、E兩點(diǎn)分別是ABC的邊BC、CA上的中點(diǎn)，且P是ABC的外心；若0，則G是ABC的重心；若P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且···，則P是ABC的垂心【例5】(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)在ABC中，若·2··，則的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：56394090】解析在ABC中，設(shè)三條邊分別為a、b、c，三角分別為A、B、C，由·2··，得ac·cos B2bc·cos Aba·cos C，由余弦定理得：(a2c2b2)(b2c2a2)(b2a2c2)，化簡得2，由正弦定理得.故答案為：.答案62判斷三角形形狀三角形的邊可以看做向量的模長，三角形的內(nèi)角可以看做向量的夾角，所以可利用向量的數(shù)量積和夾角公式或者其他線性運(yùn)算，結(jié)合平面幾何知識來判斷三角形的形狀【例6】ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，()·0，則ABC一定是_三角形解析ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則有2BAC，所以B，設(shè)D是AC邊的中點(diǎn)，則2，所以2·0，所以ABC一定是等邊三角形答案等邊7