第3課時(shí)用空間向量解決空間角與距離問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解決空間角和距離問題.3.體會(huì)空間向量解決立體幾何問題的三步曲知識(shí)點(diǎn)空間三種角的向量求法空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們相應(yīng)的取值范圍，結(jié)合它們的取值范圍可以用向量法進(jìn)行求解角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為，它們的方向向量分別為a，b，則cos|cosa，b|直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面所成的角為，l的方向向量為a，平面的法向量為n，則sin|cosa，n|二面角設(shè)二面角l為，平面，的法向量分別為n1，n2，則|cos|cosn1，n2|0，(1)直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角互余(×)(2)二面角的大小范圍是.(×)(3)二面角的大小等于其兩個(gè)半平面的法向量的夾角的大小(×)(4)直線與平面所成角的范圍是.()類型一求線線角、線面角例1(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成的角的余弦值為_考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求線線角答案解析如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)CACBCC11，則B(0,1,0)，M，A(1,0,0)，N，故，所以cos，.(2)如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，ADBC，BAD90°，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)求證：PBDM；求BD與平面ADMN所成的角考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求線線角證明如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)BC1，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M.·(2,0，2)·0，PBDM.解·(2,0，2)·(0,2,0)0，PBAD.又PBDM，ADDMD，PB平面ADMN.即為平面ADMN的一個(gè)法向量因此，的余角即是BD與平面ADMN所成的角cos，且，0，BD與平面ADMN所成的角為.反思與感悟用向量法解決線線角、線面角問題時(shí)，首先需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后求解相應(yīng)的向量表達(dá)式，再借助于空間向量的運(yùn)算進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練1(1)已知在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則AB1與D1E所成角的余弦值為()A.B.CD考點(diǎn)向量法求線線角題點(diǎn)向量法求線線角答案A解析A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，(0，2,2)，(0,1,2)，|2，|，·0242，cos，又異面直線所成角的范圍是，AB1與ED1所成角的余弦值為.(2)如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.證明：ABA1C；若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值考點(diǎn)向量法求線面角題點(diǎn)向量法求線面角證明取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.CACB，OCAB.由于ABAA1，BAA160°，故AA1B為等邊三角形，OA1AB.OCOA1O，AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.解由知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交線為AB，OC平面ABC，OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OA1，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)AB2，則A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)，則(1,0，)，(1，0)，(0，)設(shè)n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，則即可取n(，1，1)故cosn，A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為.類型二求二面角問題例2如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)，求二面角AA1DB的余弦值考點(diǎn)向量法求二面角題點(diǎn)向量法求二面角解取BC的中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)锳BC是正三角形，所以AOBC，因?yàn)樵谡庵鵄BCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OO1，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)設(shè)平面A1AD的法向量為n(x，y，z)，(1,1，)，(0,2,0)因?yàn)閚，n，所以得所以令z1，得n(，0,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量又因?yàn)?1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)，所以·2200，·1430，所以，即AB1BD，AB1BA1，且BDBA1B，所以AB1平面A1BD，所以是平面A1BD的一個(gè)法向量，所以cosn，又二面角AA1DB為銳二面角，所以二面角AA1DB的余弦值為.反思與感悟求角二面角時(shí)，可以用方向向量法，也可以采用法向量法求解跟蹤訓(xùn)練2如圖，PA平面ABC，ACBC，BC，PAAC1，求二面角APBC的余弦值考點(diǎn)向量法求二面角題點(diǎn)向量法求二面角解以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，取PB的中點(diǎn)D，連接DC，可知DCPB，作AEPB于點(diǎn)E，則向量與的夾角的大小為二面角APBC的大小A(1,0,0)，B(0，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，D為PB的中點(diǎn)，D.在RtPAB中，由PABAEBPEA，得，E.，·.又|，|1，cos，二面角APBC的余弦值為.1已知向量m，n分別是直線l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n，則l與所成的角為()A30°B60°C120°D150°考點(diǎn)向量法求線面角題點(diǎn)向量法求線面角答案A解析設(shè)l與所成的角為，則sin|cosm，n|.30°.2已知二面角l的兩個(gè)半平面與的法向量分別為a，b，若a，b，則二面角l的大小為()A.B.C.或D.或考點(diǎn)向量法求二面角題點(diǎn)向量法求二面角答案C解析由于二面角的范圍是0，而二面角的兩個(gè)半平面與的法向量都有兩個(gè)方向，因此二面角l的大小為或，故選C.3在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為()A.BC.D考點(diǎn)向量法求解直線與平面所成的角題點(diǎn)向量法解決直線與平面所成的角答案A解析取AC的中點(diǎn)E，連接BE，則BEAC，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BE，BB1所在直線分別為x軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E，則，.平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，BEAC，BE平面ABC，BE平面AA1C1C，為平面AA1C1C的一個(gè)法向量設(shè)AD與平面AA1C1C所成角為，cos，sin |cos，|.4設(shè)a，b是直線，是平面，a，b，向量a在a上，向量b在b上，a(1,1,1)，b(3,4,0)，則，所成二面角中較小的一個(gè)角的余弦值為_考點(diǎn)向量法求二面角題點(diǎn)向量法求二面角答案解析設(shè)，所成二面角中較小的一個(gè)角為，由題意得，cos|cosa，b|.5已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角CABD的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則EM，AN所成角的余弦值為_考點(diǎn)向量法求線線角題點(diǎn)向量法求線線角答案解析過C點(diǎn)作CO平面ABDE，垂足為點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)F，連接CF，OF，則CFO為二面角CABD的平面角設(shè)AB1，則CF，OFCF·cosCFO×，OC，且O為正方形ABDE的中心以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則E，M，A，N，cos，又異面直線所成角的范圍是，EM，AN所成角的余弦值為.向量法求角(1)兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角求得，即cos|cos|.(2)直線與平面所成的角可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin|cos|或cossin.(3)二面角的大小可以通過該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角一、選擇題1在一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，與二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0，1,3)，(2,2,4)，則這個(gè)二面角的余弦值為()A.B.C.D.或考點(diǎn)向量法求二面角題點(diǎn)向量法求二面角答案D解析由，知這個(gè)二面角的余弦值為或，故選D.2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A45°B135°C45°或135°D90°考點(diǎn)向量法求面面角題點(diǎn)向量法求面面角答案C解析cosm，n，即m，n45°.所以兩平面所成二面角為45°或180°45°135°.3設(shè)直線l與平面相交，且l的方向向量為a，的法向量為n，若a，n，則l與所成的角為()A.B.C.D.考點(diǎn)向量法求線面角題點(diǎn)向量法求線面角答案C解析線面角的范圍是.a，n，l與法向量所在直線所成角為，l與所成的角為.4若平面的一個(gè)法向量為n(4,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量a(2，3,3)，則l與所成角的余弦值為()AB.CD.考點(diǎn)向量法求線面角題點(diǎn)向量法求線面角答案D解析設(shè)與l所成的角為，則sin |cosa，n|，故直線l與所成角的余弦值為.5在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值為()A.B.C.D.考點(diǎn)向量法求線面角題點(diǎn)向量法求線面角答案C解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1，1)，(1,0，1)·110，·110.AC1A1B，AC1A1D.又A1BA1DA1，且A1B，A1D平面A1BD，AC1平面A1BD.是平面A1BD的一個(gè)法向量cos，.直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值為.6.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點(diǎn)，若B1MN90°，則PMN的大小()A等于90°B小于90°C大于90°D不確定考點(diǎn)向量法求線線角題點(diǎn)向量法求線線角答案A解析A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，·()···0，MPMN，即PMN90°.7.如圖，S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB和SC的中點(diǎn)，SASBSC，且ASBBSCCSA90°，則異面直線SM與BN所成角的余弦值為()AB.CD.考點(diǎn)向量法求線線角題點(diǎn)向量法求線線角答案B解析不妨設(shè)SASBSC1，以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Sxyz，則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因?yàn)椋詜，|，·，cos，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角，所以異面直線SM與BN所成角的余弦值為.二、填空題8如圖，在長(zhǎng)方形ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為_答案9在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_考點(diǎn)向量法求二面角題點(diǎn)向量法求二面角答案解析如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，.設(shè)平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，則即所以所以n1(1,2,2)平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)，所以cosn1，n2，即所求的銳二面角的余弦值為.10.如圖，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD90°，且PAAD2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為_考點(diǎn)向量法求線線角題點(diǎn)向量法求線線角答案解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則E(0,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故cos，.11.如圖，已知矩形ABCD與ABEF全等，D-AB-E為直二面角，M為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)M與BD所成的角為，且cos.則AB與BC的邊長(zhǎng)之比為_答案2解析設(shè)ABa，BCb，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)，(0，a，b)，所以|，|，·，|cos，|，整理得，45260，解得2或(舍)所以.三、解答題12.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AFABBCFEAD.(1)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(2)證明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值考點(diǎn)向量法解決二面角問題題點(diǎn)求二面角(1)解如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)AB1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M，A(0,0,0)則(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°.(2)證明由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得·0，·0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，AM平面AMD，AD平面AMD，故CE平面AMD.又CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)解設(shè)平面CDE的法向量為u(x，y，z)，則即令x1，可得u(1,1,1)又由題設(shè)知，平面ACD的一個(gè)法向量為v(0,0,1)所以，cosu，v.因?yàn)槎娼茿CDE為銳角，所以其余弦值為.13.如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點(diǎn)(1)求直線A1C與DE所成角的余弦值；(2)求直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值；(3)求平面B1EDF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值考點(diǎn)向量法求面面角題點(diǎn)向量法求面面角解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.(1)則A1(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E，(a，a，a)，cos，故A1C與DE所成角的余弦值為.(2)連接DB1，ADEADF，AD在平面B1EDF內(nèi)的射影在EDF的平分線上又B1EDF為菱形，DB1為EDF的平分線，故直線AD與平面B1EDF所成的角為ADB1.由A(0,0,0)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，得(0，a,0)，(a，a，a)，cos，又直線與平面所成角的范圍是，故直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值為.(3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，E，則，平面ABCD的一個(gè)法向量為m(0,0，a)設(shè)平面B1EDF的一個(gè)法向量為n(1，y，z)，由得n(1,2,1)，cosn，m，平面B1EDF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為.四、探究與拓展14在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么異面直線AM與CN所成角的余弦值為()A.B.C.D.考點(diǎn)向量法求線線角題點(diǎn)向量法求線線角答案D解析如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，·，|，cos，又異面直線所成角的范圍是，異面直線AM與CN所成角的余弦值為.15.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，平面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90°，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60°.(1)證明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值考點(diǎn)向量法求二面角題點(diǎn)向量法求二面角(1)證明由已知可得AFDF，AFFE，DFFEF，DF平面EFDC，F(xiàn)E平面EFDC，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解過D作DGEF，垂足為G，由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)知DFE為二面角DAFE的平面角，故DFE60°，則DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知得，ABEF，EF平面EFDC，AB平面EFDC，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角CBEF的平面角，即CEF60°，從而可得C(2,0，)連接AC，則(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)設(shè)n(x，y，z)是平面BCE的法向量，則即所以可取n(3,0，)設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m(0，4)則cosn，m.故二面角EBCA的余弦值為.19