第4講基本不等式1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號(2)ab(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號(3)(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號(4)2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號3利用基本不等式求最值已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)yx的最小值是2.()(2)ab成立的條件是ab>0.()(3)“x>0且y>0”是“2”的充要條件()(4)若a>0，則a3的最小值是2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×教材衍化1(必修5P99例1(2)改編)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為_解析：因為x>0，y>0，所以，即xy81，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時，(xy)max81.答案：812(必修5P100A組T2改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.解析：設(shè)矩形的一邊為x m，則另一邊為×(202x)(10x)m，所以yx(10x)25，當(dāng)且僅當(dāng)x10x，即x5時，ymax25.答案：25易錯糾偏(1)忽視基本不等式成立的條件；(2)基本不等式不會變形使用1“x>0”是“x2成立”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C.當(dāng)x>0時，x2 2.因為x，同號，所以若x2，則x>0，>0，所以“x>0”是“x2成立”的充要條件，故選C.2設(shè)x>0，則函數(shù)yx的最小值為_解析：yx22 20，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x時等號成立所以函數(shù)的最小值為0.答案：0利用基本不等式求最值(高頻考點)利用基本不等式求最值是高考的?？純?nèi)容，題型主要為選擇題、填空題主要命題角度有：(1)求不含等式條件的函數(shù)最值；(2)求含有等式條件的函數(shù)最值角度一求不含等式條件的函數(shù)最值 (1)函數(shù)f(x)(x>0)的最大值為_(2)已知x<，則f(x)4x2的最大值為_【解析】(1)因為x>0，則f(x)，當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立(2)因為x<，所以54x>0，則f(x)4x23231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時，等號成立故f(x)4x2的最大值為1.【答案】(1)(2)1角度二求含有等式條件的函數(shù)最值 (1)已知x>0，y>0，lg 2xlg 8ylg 2，則的最小值是()A2B2C4 D2(2)(2020·杭州中學(xué)高三月考)函數(shù)yloga(x3)1(a0，且a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mxny10上，其中m，n均大于0，則的最小值為()A2 B4C8 D16【解析】(1)因為lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，所以(x3y)24，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時，取等號(2)因為x2時，yloga111，所以函數(shù)yloga(x3)1(a0，a1)的圖象恒過定點(2，1)，即A(2，1)，因為點A在直線mxny10上，所以2mn10，即2mn1，因為m0，n0，(2mn)2242 8，當(dāng)且僅當(dāng)m，n時取等號，故選C.【答案】(1)C(2)C利用基本不等式求最值的方法(1)知和求積的最值：“和為定值，積有最大值”但應(yīng)注意以下兩點：具備條件正數(shù)；驗證等號成立(2)知積求和的最值：“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件(3)構(gòu)造不等式求最值：在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解 1設(shè)a，b>0，ab5，則的最大值為_解析：令t，則t2a1b32929a1b313ab13518，當(dāng)且僅當(dāng)a1b3時取等號，此時a，b.所以 tmax3.答案：32(2020·瑞安市龍翔高中高三月考)設(shè)x，y滿足約束條件，若目標函數(shù)zaxby(a1，b2)的最大值為5，則的最小值為_解析：由約束條件，作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A(1，1)由zaxby(a1，b2)，得yx，由圖可知，zmaxab5.可得a1b22.所以(a1b2).當(dāng)且僅當(dāng)b2a時等號成立，并且ab5，a>1，b>2即a，b時上式等號成立所以的最小值為.答案：利用轉(zhuǎn)化思想求參數(shù) 已知不等式(xy)9對任意的正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為_【解析】(xy)1a1a2(1)2(x，y，a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)yx時取等號，所以(xy)·的最小值為(1)2，于是(1)29恒成立所以a4.【答案】4(1)涉及恒成立問題的數(shù)學(xué)問題，一般將其轉(zhuǎn)化為最值問題處理，即af(x)恒成立，則af(x)max；af(x)恒成立，則af(x)min.(2)涉及多個變元問題時，用常量與變元的轉(zhuǎn)化思想處理如本例先把參數(shù)a看作常量，求得含參數(shù)a的最值，再將其轉(zhuǎn)化為變量處理 1(2020·浙江省名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2的值域為(，04，)，則a的值是()A. B.C1 D2解析：選C.由題意可得a0，當(dāng)x0時，f(x)x222，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號；當(dāng)x0時，f(x)x222，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號所以解得a1，故選C.2(2020·金麗衢十二校高三聯(lián)考)若函數(shù)f(x)(a<2)在區(qū)間(1，)上的最小值為6，則實數(shù)a的值為()A2 B.C1 D.解析：選B.f(x)2(x1)42 424，當(dāng)且僅當(dāng)2(x1)x1時，等號成立，所以246a，故選B.利用不等式解決實際問題 如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過點C，已知AB3米，AD2米(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當(dāng)DN的長度為多少時，矩形花壇AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈怠窘狻?1)設(shè)DN的長為x(x>0)米，則|AN|(x2)米因為，所以|AM|，所以S矩形AMPN|AN|·|AM|.由S矩形AMPN>32得>32.又x>0得3x220x12>0，解得0<x<或x>6，即DN長的取值范圍是(6，)(2)矩形花壇的面積為y3x12(x>0)2 1224.當(dāng)且僅當(dāng)3x即x2時，矩形花壇的面積最小為24平方米(1)利用基本不等式求解實際問題的注意事項根據(jù)實際問題抽象出目標函數(shù)的表達式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解(2)此類問題還常與一元二次函數(shù)、一元二次不等式結(jié)合命題，求解關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)與不等關(guān)系，在實際條件下解決 某公司生產(chǎn)的商品A，當(dāng)每件售價為5元時，年銷售10萬件(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷量相應(yīng)減少1萬件，要使銷售收入不低于原銷售收入，該商品的銷售價格最多可提高多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，公司決定對該商品的生產(chǎn)進行技術(shù)革新，將技術(shù)革新后生產(chǎn)的商品售價提高到每件x元，公司擬投入(x2x)萬元作為技改費用，投入萬元作為宣傳費用試問：技術(shù)革新后生產(chǎn)的該商品銷售量m至少應(yīng)達到多少萬件時，才能使技術(shù)革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和？解：(1)設(shè)商品的銷售價格提高a元，則(10a)(5a)50，解得0a5.所以商品的價格最多可以提高5元(2)由題意知，技術(shù)革新后的銷售收入為mx萬元，若技術(shù)革新后的銷售收入等于原銷售收入與總投入之和，只需滿足mx(x2x)50(x>5)即可，此時mx2 ，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x10時，取“”故銷售量至少應(yīng)達到萬件，才能使技術(shù)革新后的銷售收入等于原銷售收入與總投入之和核心素養(yǎng)系列13數(shù)學(xué)運算利用均值定理連續(xù)放縮求最值已知a>b>0，那么a2的最小值為_【解析】因為a>b>0，所以ab>0，所以b(ab)，所以a2a22 4，當(dāng)且僅當(dāng)bab且a2，即a且b時取等號，所以a2的最小值為4.答案：4設(shè)a>b>0，則a2的最小值是_【解析】因為a>b>0，所以ab>0，所以a2(a2ab)ab22 4(當(dāng)且僅當(dāng)a2ab且ab，即a，b時取等號)【答案】4利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時一定要注意驗證等號是否成立，特別是當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法 基礎(chǔ)題組練1當(dāng)x0時，函數(shù)f(x)有()A最小值1 B最大值1C最小值2 D最大值2解析：選B.f(x)1.當(dāng)且僅當(dāng)x，x0即x1時取等號所以f(x)有最大值1.2設(shè)非零實數(shù)a，b，則“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B.因為a，bR時，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab>0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分條件3(2020·嘉興期中)若正實數(shù)x，y滿足x2y2xy80，則x2y的最小值為()A3 B4C. D.解析：選B.因為正實數(shù)x，y滿足x2y2xy80，所以x2y80，設(shè)x2yt0，所以tt280，所以t24t320，即(t8)(t4)0，所以t4，故x2y的最小值為4.4若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：選D.由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，故1.所以ab(ab)772 74.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故選D.5不等式x2x<對任意a，b(0，)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是()A(2，0) B(，2)(1，)C(2，1) D(，4)(2，)解析：選C.根據(jù)題意，由于不等式x2x<對任意a，b(0，)恒成立，則x2x<，因為2 2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，所以x2x<2，求解此一元二次不等式可知2<x<1，所以x的取值范圍是(2，1)6(2020·紹興市高三教學(xué)質(zhì)量評價)若正數(shù)a，b滿足：1，則的最小值為()A2 B.C. D1解析：選A.由a，b為正數(shù)，且1，得b>0，所以a1>0，所以2 2，當(dāng)且僅當(dāng)和1同時成立，即ab3時等號成立，所以的最小值為2，故選A.7已知a，b(0，)，若ab1，則ab的最小值為_；若ab1，則ab的最大值為_解析：由基本不等式得ab22，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時取到等號；ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取到等號答案：28(2020·嘉興期中)已知0x，則x(54x)的最大值是_解析：因為0x，所以054x5，所以x(54x)·4x(54x)·，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號，故最大值為.答案：9(2020·溫州市瑞安市高考模擬)若x0，y0，則的最小值為_解析：設(shè)t0，則t(2t1)2，當(dāng)且僅當(dāng)t時取等號答案：10(2020·寧波十校聯(lián)考)已知a，b均為正數(shù)，且ab1，c1，則(1)·c的最小值為_解析：因為ab1，所以112 ，當(dāng)且僅當(dāng)即a1，b2時取等號，所以(1)·cc(c11)3，當(dāng)且僅當(dāng)c2時取等號答案：311已知x>0，y>0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x>0，y>0，則12 .得xy64，當(dāng)且僅當(dāng)x16，y4時，等號成立所以xy的最小值為64.(2)由2x8yxy0，得1，則xy·(xy)10102 18.當(dāng)且僅當(dāng)x12且y6時等號成立，所以xy的最小值為18.12.行駛中的汽車，在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速v(km/h)滿足下列關(guān)系：s(n為常數(shù)，且nN)，做了兩次剎車試驗，有關(guān)試驗數(shù)據(jù)如圖所示，其中(1)求n的值；(2)要使剎車距離不超過12.6 m，則行駛的最大速度是多少？解：(1)由試驗數(shù)據(jù)知，s1n4，s2n，所以解得.又nN，所以n6.(2)由(1)知，s，v0.依題意，s12.6，即v224v5 0400，解得84v60.因為v0，所以0v60.故行駛的最大速度為60 km/h.綜合題組練1.如圖所示，已知點G是ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且x，y，則x2y的最小值為()A2 B.C. D.解析：選C.由已知可得×()，又M、G、N三點共線，故1，所以3，則x2y(x2y)··(當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號)故選C.2已知x>0，y>0，2xy1，若4x2y2m<0恒成立，則m的取值范圍是()A(1，0) B.C. D.解析：選B.4x2y2m<0恒成立，即m>4x2y2恒成立因為x>0，y>0，2xy1，所以12xy2，所以0<(當(dāng)且僅當(dāng)2xy時，等號成立)因為4x2y2(2xy)24xy14xy4，所以4x2y2的最大值為，故m>，選B.3(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)考試)已知ab，若二次不等式ax2bxc0對任意實數(shù)x恒成立，則M的最小值為_解析：由條件知a0，ba0.由題意得b24ac0，解得c，所以M424448，當(dāng)且僅當(dāng)b3a時等號成立，所以M的最小值為8.答案：84(2020·浙江省名校聯(lián)考)已知a0，b1，且ab1，則的最小值為_解析：aab12，又ab1，a0，b10，所以ab122 ，當(dāng)且僅當(dāng)即a42，b23時取等號，所以的最小值為.答案：5已知x>0，y>0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因為x>0，y>0，所以由基本不等式，得2x5y2.因為2x5y20，所以220，xy10，當(dāng)且僅當(dāng)2x5y時，等號成立因此有解得此時xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以當(dāng)x5，y2時，ulg xlg y有最大值1.(2)因為x>0，y>0，所以·.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立由解得所以的最小值為.6.(2020·義烏模擬)如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆(1)若圍墻AP，AQ總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？(2)已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元若圍圍墻用了20 000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？解：設(shè)APx米，AQy米(1)則xy200，APQ的面積Sxy·sin 120°xy.所以S2 500.當(dāng)且僅當(dāng)即xy100時取“”(2)由題意得100×(x1.5y)20 000，即x1.5y200.要使竹籬笆用料最省，只需其長度PQ最短，所以PQ2x2y22xycos 120°x2y2xy(2001.5y)2y2(2001.5y)y1.75y2400y40 0001.75，當(dāng)y時，PQ有最小值，此時x.16