第2講圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 2019考向?qū)Ш娇键c掃描三年考情考向預(yù)測2019201820171橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)第17題第18題江蘇高考對本講考查重點是圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)(特別是離心率)，以及圓錐曲線之間的關(guān)系，突出考查基礎(chǔ)知識、基本技能，一般屬于中檔題2雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)第7題第8題第8題1必記的概念與定理(1)從方程的形式看，在直角坐標(biāo)系中，橢圓、雙曲線和拋物線這三種曲線的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲線 這三種曲線都可以是由平面截圓錐面得到的曲線，因而才稱之為圓錐曲線(2)從點的集合(或軌跡)的觀點看，它們都是與定點和定直線距離的比是常數(shù)e 的點的集合(或軌跡)，這個定點是它們的焦點，定直線是它們的準(zhǔn)線，只是由于離心率e 取值范圍的不同，而分為橢圓、雙曲線和拋物線三種曲線(3)圓錐曲線第二定義把“曲線上的點M”“焦點F”“相應(yīng)準(zhǔn)線l”和“離心率e”四者巧妙地聯(lián)系起來，所以在圓錐曲線的問題中，凡與準(zhǔn)線、離心率、焦點有關(guān)的問題應(yīng)充分利用第二定義2記住幾個常用的公式與結(jié)論(1)橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2By21，其中A、B是不等的常數(shù)，A>B>0時，表示焦點在y軸上的橢圓；B>A>0時，表示焦點在x軸上的橢圓；AB<0時表示雙曲線(2)與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)若已知漸近線方程為mx±ny0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2n2y2(0)(3)設(shè)直線l(斜率存在)與圓錐曲線C相交于A、B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長AB|x1x2|或·|y1y2|(4)通徑：過雙曲線、橢圓、拋物線的焦點垂直于對稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑長為，過橢圓焦點的弦中通徑最短；拋物線通徑長是2p，過拋物線焦點的弦中通徑最短(5)橢圓上點到焦點的最長距離為ac，最短距離為ac3需要關(guān)注的易錯易混點(1)已知橢圓離心率求待定系數(shù)時要注意橢圓焦點位置的判斷，當(dāng)焦點位置不明確時，要分兩種情形討論(2)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點的距離”若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支(3)已知漸近線方程ymx，求離心率時，若焦點位置不確定時，m(m0)或m，故離心率有兩種可能橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)典型例題 (1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(a>b>0)的右焦點，直線y與橢圓交于B，C兩點，且BFC90°，則該橢圓的離心率是_(2)(2019·江蘇名校聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)及點B(0，a)，過B與橢圓相切的直線交x軸的負(fù)半軸于點A，F(xiàn)為橢圓的右焦點，則ABF_【解析】(1)由題意得B，C，F(xiàn)(c，0)，則由BFC90°得··c2a2b20，化簡得ca，則離心率e(2)法一：由題意知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為ykxa(k>0)，與橢圓方程聯(lián)立，得b2x2a2(kxa)2a2b20，即(b2a2k2)x22a3kxa4a2b20，由4a6k24(b2a2k2)(a4a2b2)0，得k，從而yxa交x軸于A(，0)，又F(c，0)，易知·0，故ABF90°法二：由橢圓性質(zhì)可知，過B且與橢圓相切的斜率為正的直線方程為yexa(e為橢圓的離心率)，即切線斜率為e，所以tanBAFe，又tanOBFe，則BAFOBF，因而ABF90°【答案】(1)(2)90°(1)解決橢圓方程和幾何性質(zhì)問題，要牢牢抓住相關(guān)定義，一些看起來很復(fù)雜，沒有頭緒的問題，如果從定義上來考慮，往往會迎刃而解 (2)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形(3)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式例如axa，byb，0<e<1，在求橢圓的相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系對點訓(xùn)練1已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，此橢圓的長軸長等于圓x2y22x150的半徑，則橢圓C的方程為_解析 因為x2y22x150，所以(x1)2y216，所以r4，即2a4，a2又，所以c，所以b1，故橢圓方程為y21答案 y212(2019·江蘇省名校高三入學(xué)摸底卷)設(shè)A，B，C是橢圓1(a>b>0)上的三個不同的點，若四邊形OABC(其中O為坐標(biāo)原點)為矩形，則該橢圓的離心率的最小值為_解析 設(shè)點A(x1，y1)，C(x2，y2)，因為四邊形OABC為矩形，所以點B(x1x2，y1y2)，則問題轉(zhuǎn)化為方程組存在實數(shù)解的問題展開第三個方程，整理得x1x2易知直線OA和OC的斜率均存在，分別設(shè)為k，由得x，同理x，因此·，即關(guān)于k2的二次方程(k2)2·k210有正解，即40，且38>0，又a>b，所以a23b2，所以e<1，故橢圓的離心率的最小值為，此時矩形OABC為正方形答案 雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)典型例題 (1)(2019·高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x21(b>0)經(jīng)過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_(2)(2019·南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x24y的焦點為F，定點A(2，0)，若射線FA與拋物線C相交于點M，與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點N，則FMMN_【解析】(1)因為雙曲線x21(b>0)經(jīng)過點(3，4)，所以91，得b，所以該雙曲線的漸近線方程是y±bx±x(2)設(shè)直線FA的傾斜角為，因為焦點F(0，1)，定點A(2，0)，所以tan ，sin ，如圖，作MBl，垂足為點B，由拋物線的定義可得：FMMB，所以sin()sin 【答案】(1)y±x(2)靈活、準(zhǔn)確地運用定義，為解決圓錐曲線的一些問題帶來很大的方便特別是拋物線的定義在解題中的作用巨大對點訓(xùn)練3(2018·高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點F(c，0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是_解析 不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以雙曲線的離心率e2答案 24已知拋物線C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過M(1，0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B若，則p_解析 過B作BE垂直準(zhǔn)線l于E(圖略)，因為，所以M為中點，所以MBAB，又斜率為，BAE30°，所以BEAB，所以BMBE，所以M為拋物線的焦點，所以p2答案 21(2019·南京模擬)橢圓1的離心率是_解析 由橢圓方程可得a5，b3，c4，e答案 2(2019·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(四)已知方程1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是_解析 因為方程1表示雙曲線，所以當(dāng)焦點在x軸上時，解得1<m<0；當(dāng)焦點在y軸上時，解得m<1所以實數(shù)m的取值范圍是m<1或1<m<0答案 (，1)(1，0)3(2019·南京、鹽城模擬)若雙曲線x2y2a2(a0)的右焦點與拋物線y24x的焦點重合，則a_解析 雙曲線x2y2a2的右焦點的坐標(biāo)為，拋物線y24x的焦點為(1，0)，從而a1，故a答案 4(2019·南通模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以直線y±2x為漸近線，且經(jīng)過拋物線y24x焦點的雙曲線的方程是_解析 因為拋物線焦點為(1，0)，所以雙曲線的焦點也在x軸上，故可設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)又雙曲線的漸近線為y±2x，故2即所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21答案 x215(2019·鎮(zhèn)江期末)若雙曲線1(a0，b0)的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是_解析 不妨設(shè)焦點為(c，0)，則由題意得雙曲線的漸近線方程為bx±ay0，故(2c)b，即c2b，從而ab，故雙曲線的漸近線方程為y±x±x答案 y±x6(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(三)如圖，若C是橢圓1(ab0)上位于第一象限內(nèi)的點，A，B分別是橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，且OCOF，ABOC，則該橢圓的離心率為_解析 設(shè)點C(x0，y0)，則，解得，代入橢圓方程得1，整理得2c2a2b2，又a2b2c2，故2c2a2a2c2，所以e2，又0e1，故e答案 7(2019·高三第三次調(diào)研測試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a>0，b>0)的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A，B兩點若AOB的面積為，則該雙曲線的離心率為_解析 雙曲線的漸近線方程為y±x，右準(zhǔn)線方程為x，聯(lián)立可求得兩交點的縱坐標(biāo)為±，所以AOB的面積S××，得4，e2答案 28已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，P是雙曲線上任一點，若雙曲線的離心率的取值范圍為2，4，則·的最小值的取值范圍是_解析 設(shè)P(m，n)，則1，即m2a2又F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，則(1m，n)，(1m，n)，·n2m21n2a21n2a21a21，當(dāng)且僅當(dāng)n0時取等號，所以·的最小值為a21由24，得a，故a21，即·的最小值的取值范圍是答案 9(2019·江蘇高考命題研究專家原創(chuàng)卷)已知拋物線的方程為y24x，過其焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AF|3，O為坐標(biāo)原點，則AOF的面積和BOF的面積的比值為_解析 易知F(1，0)，不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限因為|AF|3，所以xA13，解得xA2，代入拋物線方程可得y4×2，得yA2，所以直線AB的方程為y(x1)，即y2x2聯(lián)立，消去x得，y2y40，所以2yB4，解得yB，所以AOF的面積和BOF的面積的比值為2答案 210(2019·南京模擬)已知橢圓x21(0<b<1)的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B過F、B、C作圓P，其中圓心P的坐標(biāo)為(m，n)當(dāng)mn>0時，則橢圓離心率的取值范圍是_ 解析 設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為(c，0)，(0，b)，(1，0)，則FC、BC的中垂線分別為x，y聯(lián)立方程組解出mn>0，即bbcb2c>0，即(1b)·(bc)>0，所以b>c從而b2>c2，即有a2>2c2，所以e2<又e>0，所以0<e<答案 0<e<11(2019·揚州期末)已知雙曲線1(a>0，b>0)的右準(zhǔn)線l2與一條漸近線l交于點P，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(1)求證：PFl；(2)若PF3，且雙曲線的離心率e，求該雙曲線方程解 (1)證明：右準(zhǔn)線為x，由對稱性不妨設(shè)漸近線l為yx，則P，又F(c，0)，所以kPF，又因為kl，所以kPF·kl·1，所以PFl(2)因為PF的長即F(c，0)到l：bxay0的距離，所以3，即b3，又e，所以，所以a4，故雙曲線方程為112如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標(biāo)解 (1)設(shè)橢圓的半焦距為c因為橢圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，8，解得a2，c1，于是b，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(2)由(1)知，F(xiàn)1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)設(shè)P(x0，y0)，因為P為第一象限的點，故x0>0，y0>0當(dāng)x01時，l2與l1相交于F1，與題設(shè)不符，當(dāng)x01時，直線PF1的斜率為，直線PF2的斜率為因為l1PF1，l2PF2，所以直線l1的斜率為，直線l2的斜率為，從而直線l1的方程：y(x1)，直線l2的方程：y(x1)由，解得xx0，y，所以Q因為點Q在橢圓E上，由對稱性，得±y0，即xy1或xy1又P在橢圓E上，故1由解得x0，y0；無解因此點P的坐標(biāo)為13(2019·南通市高三第一次調(diào)研測試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線y于點Q，求的值解 (1)由題意得，c1，解得a，c1，又b2a2c2，所以b1所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21(2)由題意知OP的斜率存在當(dāng)OP的斜率為0時，OP，OQ，所以1當(dāng)OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP的方程為ykx(k0)由得(2k21)x22，解得x2，所以y2，所以O(shè)P2因為OPOQ，所以直線OQ的方程為yx由得xk，所以O(shè)Q22k22所以1綜上可知，114(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)為了保證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的正西方向和正東方向設(shè)立了兩個觀測站A、B，它們到平臺O的距離都為5海里，并將到兩觀測站的距離之和不超過20海里的區(qū)域設(shè)為禁航區(qū)域(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求禁航區(qū)域邊界曲線的方程；(2)某日觀察員在觀測站B處發(fā)現(xiàn)在該海上平臺正南10海里的C處，有一艘輪船正以每小時8海里的速度向北偏東30°方向航行，如果航向不變，該輪船是否會進入禁航區(qū)域？如果不進入，說明理由；如果進入，求出它在禁航區(qū)域中航行的時間解 (1)以O(shè)為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系依題意可知，禁航區(qū)域的邊界是以A，B為焦點的橢圓，設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，則，解得a10，b5，所以禁航區(qū)域邊界曲線的方程為1(2)由題意得C(0，10)，所以輪船航行直線的方程為yx10聯(lián)立，整理得x216x600，則(16)24×6016>0，方程有兩個不同的實數(shù)解x110，x26，所以輪船航行直線與橢圓有兩個不同的交點，故輪船會駛?cè)虢絽^(qū)域設(shè)交點分別為M，N，不妨取M(10，0)，N(6，4)，易得輪船在禁航區(qū)域中航行的距離為|MN|8(海里)，所以航行時間t1(小時)，所以該輪船在禁航區(qū)域中航行的時間是1小時- 13 -