《（江蘇專(zhuān)用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 四種命題學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專(zhuān)用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 四種命題學(xué)案 蘇教版選修1-1（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.1.1　四種命題 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解命題的逆命題、否命題與逆否命題．　2.了解命題的四種形式，能正確分析它們之間的相互關(guān)系．(重點(diǎn))　3.能利用兩個(gè)命題互為逆否命題的關(guān)系判斷命題的真假．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．命題 (1)能夠判斷真假的語(yǔ)句叫做命題． (2)判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題． (3)判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題． 2．四種命題的概念 一般地，設(shè)“若p則q”為原命題，那么“若q則p”就叫做原命題的逆命題，原命題與逆命題稱(chēng)為互逆命題；“若非p則非q”就叫做原命題的否命題，原命題和否命題稱(chēng)為互否命題；“若非q則非p”就叫做原命題的逆否命題，原命題與逆

2、否命題稱(chēng)為互為逆否命題． 3．四種命題之間的關(guān)系 (1) (2)如果兩個(gè)命題互為逆否命題，那么它們有相同的真假性，也稱(chēng)它們?yōu)榈葍r(jià)命題． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷正誤： (1)語(yǔ)句“x2＋2x＜0”是命題．(　　) (2)兩個(gè)互逆命題的真假性相同．(　　) (3)對(duì)于一個(gè)命題的四種命題，可以一個(gè)真命題也沒(méi)有．(　　) 【解析】　(1)×.因?yàn)檎Z(yǔ)句“x2＋2x＜0”不能判斷真假，故不是命題． (2)×.一個(gè)命題與它的逆命題的真假性沒(méi)有關(guān)系． (3)√.四種命題可能都是假命題． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√ 2．命題“若a＞b，則a－8＞b－8”的逆否命題是__

3、______． 【解析】　因?yàn)槊}“若p，則q”的逆否命題為“若非q，則非p”，所以命題“若a＞b，則a－8＞b－8”的逆否命題是“若a－8≤b－8，則a≤b”． 【答案】　若a－8≤b－8，則a≤b [合 作 探 究·攻 重 難] 命題的概念及真假判斷 　判斷下列語(yǔ)句是否是命題，若是，判斷其真假，并說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902000】 ①函數(shù)y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π； ②若x＝4，則2x＋1＜0 ； ③一個(gè)等比數(shù)列的公比大于1時(shí)，該數(shù)列為遞增數(shù)列； ④求證：x∈R時(shí)，則方程x2－x＋2＝0無(wú)實(shí)根． ⑤平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)必平行嗎？ [

4、思路探究]　命題必須是陳述句并且可判斷真假，兩個(gè)條件缺一不可；要判定一個(gè)命題為真，需證明，若判定一個(gè)命題為假，舉一個(gè)反例即可． 【自主解答】　①②③是命題，④⑤不是命題． 命題①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，顯然其最小正周期為π，是真命題． 命題②中，當(dāng)x＝4時(shí)，2x＋1＞0，是假命題． 命題③中，若等比數(shù)列的首項(xiàng)a1＜0，公比q＞1時(shí)，該數(shù)列為遞減數(shù)列，是假命題． ④是一個(gè)祈使句，沒(méi)有作出判斷，不是命題． ⑤它是一個(gè)疑問(wèn)句，沒(méi)有作出判斷，不是命題． [規(guī)律方法]　 1．判斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題，關(guān)鍵是看能不能判斷真假．一般情況下感嘆句，

5、一般疑問(wèn)句，祈使句都不是命題． 2．判斷命題真假的策略 (1)要判斷一個(gè)命題是真命題，一般要有嚴(yán)格的證明或有事實(shí)依據(jù)，比如根據(jù)已學(xué)過(guò)的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證． (2)要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉一個(gè)反例即可． [跟蹤訓(xùn)練] 1．下列語(yǔ)句中，哪些是命題，是命題的判斷其真假． (1)lg 1000＝3； (2)垂直于同一個(gè)平面的兩直線(xiàn)平行； (3)設(shè)a，b，c，d∈R，如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd； (4)三角函數(shù)都是周期函數(shù)； (5)方程x2＝4－2真難解?。? (6)請(qǐng)你離開(kāi)！ (7)2x＋3＝0. 【解】　(1)(2)(3)(4)(5)都

6、是命題；其中(1)(2)(4)為真命題． (3)中，如2＞－3，－1＞－10，但2×(－1)＞(－3)×(－10)不成立，所以(3)為假命題． (5)感嘆句不是命題． (6)祈使句，不是命題． (7)語(yǔ)句中含有變量x，無(wú)法判定其真與假，故不是命題. 四種命題及其關(guān)系 　寫(xiě)出以下原命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902001】 (1)如果學(xué)好了數(shù)學(xué)，那么就會(huì)使用電腦； (2)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若a，b都是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù)． [思路探究]　→ → 【自主解答】　

7、(1)逆命題：如果會(huì)使用電腦，那么就學(xué)好了數(shù)學(xué)，為假命題； 否命題：如果學(xué)不好數(shù)學(xué)，那么就不會(huì)使用電腦，為假命題； 逆否命題：如果不會(huì)使用電腦，那就學(xué)不好數(shù)學(xué)，為假命題． (2)逆命題：若(x－3)(x－7)＝0，則x＝3或x＝7，為真命題； 否命題：x≠3且x≠7，則(x－3)(x－7)≠0，為真命題； 逆否命題：若(x－3)(x－7)≠0則x≠3且x≠7，為真命題． (3)逆命題：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形，為真命題； 否命題：不是正方形的四邊形就不是菱形或者不是矩形，為真命題； 逆否命題：不是菱形或者不是矩形的四邊形就不是正方形，為真命題． (4)逆命題：若ab是

8、奇數(shù)，則a，b都是奇數(shù)，為真命題； 否命題：若a或b是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)，為真命題； 逆否命題：若ab是偶數(shù)，則a或b是偶數(shù)，為真命題． [規(guī)律方法]　 1．寫(xiě)出一個(gè)命題的其他三種命題，關(guān)鍵是找出原命題的條件和結(jié)論，對(duì)于條件和結(jié)論不明顯的命題，需將原命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，必要時(shí)可以加入字母或文字． 2．若命題含有大前提，注意大前提既不是命題的條件也不是命題的結(jié)論，所以其他三種命題中都需保留大前提． [跟蹤訓(xùn)練] 2．寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題，并判斷它們的真假． (1)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)； (2)正方形的四條邊相等. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902002】

9、【解】　(1)逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)．(假命題) 否命題：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù). (假命題) 逆否命題：若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)．(真命題) (2)逆命題：若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是正方形．(假命題) 否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等．(假命題) 逆否命題：若一個(gè)四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形．(真命題) 命題的等價(jià)性及應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 1．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是什么？二者的真假性有何關(guān)系？ 【提示】　命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是“若tan α≠1，則α≠”

10、，二者真假性相同，都是真命題． 2．命題“若x?A∩B，則x?A∪B”的真假容易判斷嗎？其逆否命題是什么？其逆否命題的真假容易判斷嗎？ 【提示】　直接判斷命題“若x?A∩B，則x?A∪B”的真假是不容易進(jìn)行的，它的逆否命題為“若x∈A∪B，則x∈A∩B”，很明顯這是個(gè)假命題． 3．由探究1和探究2我們可以得到哪些啟示？ 【提示】　有些帶有否定性詞語(yǔ)的命題不易直接判斷其真假，可利用命題與其逆否命題的等價(jià)性來(lái)判斷其逆否命題的真假，從而可判斷其真假． 　判斷命題“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題的真假． [思路探究]　方法一： 方法二：→→ 【自主解答】　方法一：∵

11、m>0，∴4m>0，∴4m＋1>0， ∴方程x2＋x－m＝0的判別式Δ＝4m＋1>0.∴方程x2＋ x－m ＝0有實(shí)數(shù)根． ∴原命題“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”為真．又因原命題與它的逆否命題等價(jià)，所以“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題也為真． 方法二：原命題“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為“如果x2＋x－m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則m≤0”．∵x2＋x－m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝4m＋1<0，∴m<－≤0，∴命題“如果x2＋x－m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根， 則m≤0”為真． [規(guī)律方法]　 1．由于原命題與其逆否命題是等價(jià)的，因此當(dāng)證明或判斷原命題感到困

12、難時(shí)，可考慮換證它的逆否命題成立，這樣也可達(dá)到證明原命題的目的． 2．利用逆否命題與原命題等價(jià)，可以省去否定條件和結(jié)論的過(guò)程，簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解． [跟蹤訓(xùn)練] 3．判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，則a＜2”的逆否命題的真假． 【解】　方法一：原命題的逆否命題為“已知a，x為實(shí)數(shù)，若a≥2，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”． 判斷真假如下：拋物線(xiàn)y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的開(kāi)口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，∵a≥2，∴4a－7＞0，即拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)， ∴

13、關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命題的逆否命題為真． 方法二：先判斷原命題的真假如下： ∵a，x為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集， ∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0. ∴a＜＜2. ∴原命題是真命題．∵互為逆否命題的兩個(gè)命題同真同假，∴原命題的逆否命題為真命題． [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．下列語(yǔ)句：① 0是自然數(shù)；② 正數(shù)大于負(fù)數(shù)；③ 正弦函數(shù)是偶函數(shù)；④ 溫度是向量嗎？ 其中不是命題的是________ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902003】 【解析】　關(guān)鍵點(diǎn)

14、：陳述句——判斷真假．“溫度是向量嗎？”是疑問(wèn)句，不是命題，其余的都是命題． 【答案】?、? 2．命題“若a＞b，則2a＞2b－1”的否命題是________． 【解析】　否定條件與結(jié)論，得否命題“若a≤b，則2a≤2b－1”． 【答案】　若a≤b，則2a≤2b－1 3．已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”， 命題q：“若a不是正數(shù)， 則它的平方等于0”，則p是q的________．(從“逆命題、否命題、逆否命題”中選一個(gè)填空). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902004】 【解析】　命題p可改為：“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，所以由否命題的概念知p是q的否命題． 【答案】　否命題

15、4．與命題“能被4整除的整數(shù)，一定能被2整除”的等價(jià)命題為_(kāi)_________． 【解析】　與命題“能被4整除的整數(shù)，一定能被2整除”等價(jià)的命題是它的逆否命題：若一個(gè)整數(shù)不能被2整除，則這個(gè)整數(shù)一定不能被4整除． 【答案】　若一個(gè)整數(shù)不能被2整除，則這個(gè)整數(shù)一定不能被4整除 5．寫(xiě)出命題“設(shè)x為實(shí)數(shù)，若x>0，則x2>0”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902005】 【解】　逆命題：設(shè)x為實(shí)數(shù)，若x2>0，則x>0，逆命題為假命題； 否命題：設(shè)x為實(shí)數(shù)，若x≤0，則x2≤0，否命題為假命題； 逆否命題：設(shè)x為實(shí)數(shù)，若x2≤0，則x≤0，逆否命題為真命題． 6