3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念.3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法知識(shí)點(diǎn)一復(fù)平面建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，對(duì)應(yīng)的向量為，則向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|.由模的定義可知：|z|abi|r(r0，rR)1在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上()2在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)(×)3若|z1|z2|，則z1z2.(×)類型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的關(guān)系例1實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z(x2x6)(x22x15)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在：(1)第三象限；(2)直線xy30上考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)系解因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以x2x6，x22x15也是實(shí)數(shù)(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足即當(dāng)3<x<2時(shí)，點(diǎn)Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(x2x6，x22x15)，當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足(x2x6)(x22x15)30，即當(dāng)x2時(shí)，點(diǎn)Z在直線xy30上引申探究若本例中的條件不變，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在：(1)虛軸上；(2)第四象限解(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足x2x60，即當(dāng)x3或2時(shí)，點(diǎn)Z在虛軸上(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足即當(dāng)2<x<5時(shí)，點(diǎn)Z在第四象限反思與感悟按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值跟蹤訓(xùn)練1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i(mR)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上和實(shí)軸負(fù)半軸上，分別求復(fù)數(shù)z.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)系解若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，則m2m20，所以m1或m2，所以z6i或z0.若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸負(fù)半軸上，則所以m1，所以z2.類型二復(fù)數(shù)的模例2設(shè)z為復(fù)數(shù)，且|z|z1|1，求|z1|的值考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模解設(shè)zabi(a，bR)z1(a1)bi，且|z|z1|1，即即解得|z1|(abi)1|.反思與感悟利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實(shí)部、虛部滿足的條件，是一種復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想跟蹤訓(xùn)練2已知0<a<3，復(fù)數(shù)zai(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是()A(1，) B(1，)C(1,3) D(1,10)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案A解析0<a<3，復(fù)數(shù)zai(i是虛數(shù)單位)，則|z|(1，)類型三復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系例3(1)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A108i B108iC0 D108i(2)設(shè)O是原點(diǎn)，向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為23i，32i，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A55i B55iC55i D55i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案(1)C(2)D解析(1)由復(fù)數(shù)的幾何意義，可得(5，4)，(5,4)，所以(5，4)(5,4)(0,0)，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為0.(2)由復(fù)數(shù)的幾何意義，得(2，3)，(3,2)，(2，3)(3,2)(5，5)所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是55i.反思與感悟(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練3在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i，若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案2i解析復(fù)數(shù)2i表示的點(diǎn)A(2,1)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)為B(2，1)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.1當(dāng)<m<1時(shí)，復(fù)數(shù)z(3m2)(m1)i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案D解析<m<1，0<3m2<1，m1<0，復(fù)數(shù)z(3m2)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限2若(0，3)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A0 B3 C3i D3考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案C3設(shè)復(fù)數(shù)z1a2i，z22i(i為虛數(shù)單位)，且|z1|<|z2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa<1或a>1 B1<a<1Ca>1 Da>0考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用模的定義求參數(shù)答案B解析因?yàn)閨z1|，|z2|，所以<，即a24<5，所以a2<1，即1<a<1.4若復(fù)數(shù)z(m2)(m1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，其中mR，則|z|_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案3解析復(fù)數(shù)z(m2)(m1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，所以m20且m10，解得m2，所以z3i，所以|z|3.5當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(m28m15)(m23m28)i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)位于第四象限；(2)位于x軸的負(fù)半軸上考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解(1)由得所以7<m<3.(2)由得所以m4.1復(fù)數(shù)的幾何意義這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)而不是(a，bi)；(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的對(duì)應(yīng)向量是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與相等的向量有無數(shù)個(gè)2復(fù)數(shù)的模(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模|z|；(2)從幾何意義上理解，表示點(diǎn)Z和原點(diǎn)間的距離，類比向量的?？蛇M(jìn)一步引申：|z1z2|表示點(diǎn)Z1和點(diǎn)Z2之間的距離.一、選擇題1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zcos 3isin 3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限為()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案B解析<3<，sin 3>0，cos 3<0，故復(fù)數(shù)zcos 3isin 3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限2已知復(fù)數(shù)z(m3)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案A解析由題意得解得3<m<1.3已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z(a23a4)(a4)i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)aai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案B解析若復(fù)數(shù)z(a23a4)(a4)i是純虛數(shù)，則得得a1，則復(fù)數(shù)aai1i對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(1,1)，位于第二象限，故選B.4復(fù)數(shù)z(a22a)(a2a2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0或a2 Da0考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案C解析z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，a22a0，解得a0或a2.5在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，若點(diǎn)A關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為B，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A2i B2iC12i D12i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案B解析A(1,2)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為B(2,1)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.6已知復(fù)數(shù)zai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且|z|2，則復(fù)數(shù)z等于()A1i B1iC1i或1i D2i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用模的定義求復(fù)數(shù)答案A解析因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以a<0，由|z|2知， 2，解得a±1，故a1，所以z1i.7在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B.已知A(1,2)，|AB|2，|z2|，則z2等于()A45i B54iC34i D54i或i考點(diǎn)復(fù)數(shù)模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用模的定義求復(fù)數(shù)答案D解析設(shè)z2xyi(x，yR)，由條件得，或二、填空題8若復(fù)數(shù)35i,1i和2ai在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)a的值為_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案5解析由點(diǎn)(3，5)，(1，1)，(2，a)共線可知a5.9已知復(fù)數(shù)zx2yi的模是2，則點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用題點(diǎn)利用幾何意義解決軌跡、圖形答案(x2)2y28解析由模的計(jì)算公式得2，(x2)2y28.10在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i，若點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)A關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案34i解析因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，4)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4)，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i.11若復(fù)數(shù)z(a2)(a1)i，aR對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則|z|的取值范圍是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案解析復(fù)數(shù)z(a2)(a1)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a2，a1)，因?yàn)樵擖c(diǎn)位于第二象限，所以解得1<a<2.由條件得|z| .因?yàn)?<a<2，所以|z|.三、解答題12設(shè)z為純虛數(shù)，且|z1|1i|，求復(fù)數(shù)z.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用模的定義求復(fù)數(shù)解因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以可設(shè)zai(a0，且aR)，則|z1|ai1|.又|1i|，所以，解得a±1，所以z±i.13已知復(fù)數(shù)z3ai，且|z|<4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a2<42，a2<7，a(，)方法二利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z3ai知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x3上，所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z的集合由圖可知<a<.四、探究與拓展14設(shè)A，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z(cos Btan A)itan B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系答案B解析因?yàn)锳，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以AB>，即A>B，sin A>cos B，cos Btan Acos B<cos Bsin A<0，又tan B>0，所以點(diǎn)(cos Btan A，tan B)在第二象限，故選B.15已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，與實(shí)軸正方向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，求復(fù)數(shù)z.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系解根據(jù)題意可畫圖形如圖所示，設(shè)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(a，b)，|z|2，xOZ120°，a1，b±，即點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(1，)或(1，)，z1i或z1i.10