難點(diǎn)四解析幾何中的范圍、定值和探索性問題(對應(yīng)學(xué)生用書第68頁)解析幾何中的范圍、定值和探索性問題仍是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn)，主要以解答題形式考查，一般以橢圓為背景，考查范圍、定值和探索性問題，試題難度較大復(fù)習(xí)時不能把目標(biāo)僅僅定位在知識的掌握上，要在解題方法、解題思想上深入下去解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì)，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程(組)的方法，掌握一元二次方程的知識在解析幾何中的應(yīng)用，掌握使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代入的解題方法；其次注意分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等的應(yīng)用，如解析幾何中的最值問題往往需建立求解目標(biāo)函數(shù)，通過函數(shù)的最值研究幾何中的最值下面對這些難點(diǎn)一一分析：1圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過定點(diǎn)、定值等問題的證明，難度較大定點(diǎn)、定值問題是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點(diǎn)、一個值，就是要求的定點(diǎn)、定值化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量【例1】(2017·江蘇省南京市迎一模模擬)設(shè)橢圓C：1(ab0)的離心率e，直線yx與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線x與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN為直徑作圓D，若圓D與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求ABD的面積；(3)如圖1，A1，A2，B1，B2是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線B2P交x軸于點(diǎn)F，直線A1B2交A2P于點(diǎn)E，設(shè)A2P的斜率為k，EF的斜率為m，求證：2mk為定值. 【導(dǎo)學(xué)號：56394098】圖1解(1)直線yx與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切，b，化為b1.離心率e，b2a2c21，聯(lián)立解得a2，c.橢圓C的方程為y21；(2)把x代入橢圓方程可得：y21，解得y±.D的方程為：2y2.令x0，解得y±，|AB|，SABD|AB|·|OD|××.(3)證明：由(1)知：A1(2,0)，A2(2,0)，B2(0,1)，直線A1B2的方程為yx1，由題意，直線A2P的方程為yk(x2)，k0，且k±，由解得E.設(shè)P(x1，y1)，則由得(4k21)x216k2x16k240.2x1，x1，y1k(x12).P.設(shè)F(x2,0)，則由P，B2，F(xiàn)三點(diǎn)共線得，kB2PkB2F.即，x2，F(xiàn).EF的斜率m.2mkk為定值方法總結(jié)定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解思想是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導(dǎo)和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題(1)求定值問題常見的方法有兩種從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值(2)定點(diǎn)的探索與證明問題探索直線過定點(diǎn)時，可設(shè)出直線方程為ykxm，然后利用條件建立k，m等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)2圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中參數(shù)的范圍及最值問題，由于其能很好地考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會的能力，有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力該類試題設(shè)計(jì)巧妙、命題新穎別致，常求特定量、 特定式子的最值或范圍常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)最值、不等式等知識交匯，成為近年高考熱點(diǎn)解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變 量能夠表達(dá)要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理圖2【例2】(蘇北四市(徐州、淮安、連云港、宿遷)2017屆高三上學(xué)期期末)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，P為橢圓C上位于x軸上方的點(diǎn)，直線PA交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作MF的垂線，交y軸于點(diǎn)N.()當(dāng)直線的PA斜率為時，求FMN的外接圓的方程；()設(shè)直線AN交橢圓C于另一點(diǎn)Q，求APQ的面積的最大值解(1)由題意，得解得則b2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題可設(shè)直線PA的方程為yk(x4)，k0，則M(0,4k)，所以直線FN的方程為y(x2)，則N .()當(dāng)直線PA的斜率為，即k時，M(0,2)，N(0，4)，F(xiàn)(2，0)，(2，2)，(2，4)，·880.所以MFFN，所以圓心為(0，1)，半徑為3，所以FMN的外接圓的方程為x2(y1)29.()聯(lián)立消去y并整理得，(12k2)x216k2x32k2160，解得x14或x2，所以P，直線AN的方程為y(x4)，同理可得，Q，所以P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，即PQ過原點(diǎn)所以APQ的面積SOA·(yPyQ)2×8，當(dāng)且僅當(dāng)2k，即k時，取“”所以APQ的面積的最大值為8.方法總結(jié)這類問題在題目中往往沒有給出不等關(guān)系，需要我們?nèi)ふ仪笞钪祷蚍秶Ｒ姷慕夥ǎ?1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，求函數(shù)最值常用的方法有配方法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性、有界性法等用這種方法求解圓錐曲線的最值與范圍問題時，除了重視建立函數(shù)關(guān)系式這個關(guān)鍵點(diǎn)外，還要密切注意所建立的函數(shù)式中的變量是否有限制范圍，這些限制范圍恰好制約了最值的取得，因此在解題時要予以高度關(guān)注3圓錐曲線中的探索性問題探索性問題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求學(xué)生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決問題，它能很好地考查數(shù)學(xué)思維能力以及科學(xué)的探索精神因此越來越受到高考命題者的青睞探索性問題實(shí)質(zhì)上是探索結(jié)論的開放性問題相對于其他的開放性問題來說，由于這類問題的結(jié)論較少(只有存在、 不存在兩個結(jié)論有時候需討論)，因此，思考途徑較為單一，難度易于控制，受到各類考試命題者的青睞解答這一類問題，往往從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā)，然后通過特例歸納，或由演繹推理證明其合理性探索過程要充分挖掘已知條件，注意條件的完備性，不要忽略任何可能的因素圖3【例3】(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2y24x0及點(diǎn)A(1,0)，B(1,2)(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，MNAB，求直線l的方程；(2)在圓C上是否存在點(diǎn)P滿足條件，使得PA2PB212？若存在，求點(diǎn)P的個數(shù)；若不存在，說明理由 【導(dǎo)學(xué)號：56394099】解(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y24，所以圓心C(2,0)，半徑為2.因?yàn)閘AB，A(1,0)，B(1,2)，所以直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為xym0，則圓心C到直線l的距離為d.因?yàn)镸NAB2，而CM2d22，所以42，解得m0或m4，故直線l的方程為xy0或xy40.(2)假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P滿足條件，設(shè)P(x，y)，則(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，即x2(y1)24，因?yàn)閨22|22，所以圓(x2)2y24與圓x2(y1)24相交，所以點(diǎn)P的個數(shù)為2.方法總結(jié)(1)解決存在性問題的解題步驟：第一步：先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結(jié)論(2)解決存在性問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑6