2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程教案【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握確定圓的幾何要素及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真:1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.真題再現(xiàn);1.(xx·全國(guó)，14)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解析由題意知圓過(4，0)，(0，2)，(0，2)三點(diǎn)，(4，0)，(0，2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y12(x2)，令y0，解得x，圓心為，半徑為.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2.答案y22.(xx·全國(guó)，4)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()A. B. C. D.2解析由圓的方程x2y22x8y130得圓心坐標(biāo)為(1，4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d1，解之得a. 答案A3.(xx·全國(guó)，7)過三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|MN|()A.2 B.8 C.4 D.10解析由已知，得(3，1)，(3，9)，則·3×(3)(1)×(9)0，所以，即ABBC，故過三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，選C. 答案C知識(shí)梳理：知識(shí)點(diǎn)圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心(a，b)半徑為r一般x2y2DxEyF0充要條件：D2E24F>0圓心坐標(biāo)：半徑r1必會(huì)結(jié)論點(diǎn)M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2<r2.2必清誤區(qū)方程x2y2DxEyF0，當(dāng)D2E24F<0時(shí)，不表示任何圖形，當(dāng)D2E24F0時(shí)，表示點(diǎn)，當(dāng)D2E24F>0時(shí)，表示圓，因此在求參數(shù)的值或范圍時(shí)，應(yīng)注意條件的使用考點(diǎn)分項(xiàng)突破考點(diǎn)一：求圓的方程1若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸相切，則圓C的方程為()A(x2)2(y±2)23 B(x2)2(y±)23C(x2)2(y±2)24 D(x2)2(y±)24【解析】因?yàn)閳AC經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，所以圓心在直線x2上，又圓C與y軸相切，所以圓的半徑r2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，b)，則(12)2b24，b23，b±.故選D.【答案】D2(xx·山東高考)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】因圓C的圓心在直線x2y0上，且與y軸的正半軸相切，所以設(shè)圓心C(2b，b)(b>0)，半徑r2b.又圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2，圓心C到x軸的距離為b，所以由勾股定理，解得b1.因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.【答案】(x2)2(y1)243圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點(diǎn)P(3，2)的圓的方程為_【解析】由題意設(shè)圓的方程為(xa)2(y4a)2r2(r>0)，由圓與直線l：xy10相切于點(diǎn)P(3，2)得解得故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.【答案】(x1)2(y4)28歸納；1求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值2確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線考點(diǎn)二: 與圓有關(guān)的軌跡問題(1)已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|AB|，則點(diǎn)C與點(diǎn)P(1,4)所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(2)(xx·全國(guó)卷)已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2y28y0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)求M的軌跡方程；當(dāng)|OP|OM|時(shí)，求l的方程及POM的面積【解析】(1)由題意|AC|AB|3，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為(x1)2y29，設(shè)C(x0，y0)，M(x，y)，則即又(x01)2y9，所以4x2(2y4)29.即x2(y2)2.【答案】x2(y2)2(2)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則(x，y4)，(2x,2y)由題設(shè)知·0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.由可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓由于|OP|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上又P在圓N上，從而ONPM.因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為，故l的方程為yx.又|OM|OP|2，O到l的距離為，|PM|，所以POM的面積為.跟蹤訓(xùn)練：1.設(shè)定點(diǎn)M(3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)P的軌跡【解】設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則(x，y)，(x0，y0)，(3,4)，由得;(x，y)(3,4)(x0，y0)，所以所以又xy4，所以(x3)2(y4)24.所以點(diǎn)P的軌跡是以(3,4)為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)镺，M，P三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去兩點(diǎn)和.歸納：求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法| |考點(diǎn)三: 與圓有關(guān)的最值問題1.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值【解】(1)如圖，方程x2y24x10表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以為半徑的圓設(shè)k，即ykx，則圓心(2,0)到直線ykx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值由，解得k23，kmax，kmin.(2)設(shè)yxb，則yxb，僅當(dāng)直線yxb與圓切于第四象限時(shí)，截距b取最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，即b2±，故(yx)min2.(3)x2y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，故連接OC，與圓交于B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交圓于C，則(x2y2)max|OC|2(2)274，(x2y2)min|OB|2(2)274.跟蹤訓(xùn)練：1設(shè)P(x，y)是圓(x2)2y21上的任意一點(diǎn)，則(x5)2(y4)2的最大值為()A6 B25 C26 D36【解析】(x5)2(y4)2表示點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(5，4)的距離的平方點(diǎn)(5，4)到圓心(2,0)的距離d5.則點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(5，4)的距離最大值為6，從而(x5)2(y4)2的最大值為36，故選D.【答案】D2已知兩點(diǎn)A(1,0)，B(0,2)，點(diǎn)P是圓(x1)2y21上任意一點(diǎn)，則PAB面積的最大值與最小值分別是()A2，(4) B.(4)，(4)C.，4 D.(2)，(2)【解析】直線AB的方程為1，即2xy20，圓心(1,0)到直線AB的距離d，則點(diǎn)P到直線AB的距離最大值為1，最小值為1，又|AB|，則PAB面積的最大值Smax××(4)，PAB面積的最小值Smin××(4)，故選B.【答案】B歸納：與圓有關(guān)的最值問題的常見解法1形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題2形如taxby形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題3形如(xa)2(yb)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題。學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.學(xué)生回顧，總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè)學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。