第1課時平行直線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間中兩條直線的位置關(guān)系，理解空間平行性的傳遞性.2.理解并掌握基本性質(zhì)4及等角公理知識點一基本性質(zhì)41文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性2符號表達(dá)：ac.知識點二等角定理思考觀察圖，在長方體ABCDABCD中，ADC與ADC，ADC與DAB的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？答案從圖中可以看出，ADCADC，ADCDAB180°.梳理等角定理如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個角相等知識點三空間四邊形順次連接不共面的四點A，B，C，D所構(gòu)成的圖形，叫做空間四邊形這四個點中的各個點叫做空間四邊形的頂點；所連接的相鄰頂點間的線段叫做空間四邊形的邊；連接不相鄰的頂點的線段叫做空間四邊形的對角線空間四邊形用表示頂點的四個字母表示1若ABAB，ACAC，則BACBAC.(×)2沒有公共點的兩條直線是異面直線(×)3若a，b是兩條直線，是兩個平面，且a，b，則a，b是異面直線(×)類型一基本性質(zhì)4的應(yīng)用例1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PB，PC，PD的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形解在PAB中，因為E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點，所以EFAB，EFAB，同理GHDC，GHDC.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD，ABCD.所以EFGH，EFGH.所以四邊形EFGH是平行四邊形反思與感悟證明兩條直線平行的兩種方法(1)利用平行線的定義：證明兩條直線在同一平面內(nèi)且無公共點(2)利用基本性質(zhì)4：尋找第三條直線，然后證明這兩條直線都與所找的第三條直線平行，根據(jù)基本性質(zhì)4，顯然這兩條直線平行若題設(shè)條件中含有中點，則常利用三角形的中位線性質(zhì)證明直線平行跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，E，F(xiàn)分別是長方體A1B1C1D1ABCD的棱A1A，C1C的中點求證：四邊形B1EDF是平行四邊形證明設(shè)Q是DD1的中點，連接EQ，QC1.E是AA1的中點，EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，EQ綊B1C1(基本性質(zhì)4)四邊形EQC1B1為平行四邊形，B1E綊C1Q.又Q，F(xiàn)是DD1，C1C的中點，QD綊C1F.四邊形QDFC1為平行四邊形C1Q綊DF，B1E綊DF.四邊形B1EDF為平行四邊形類型二等角定理的應(yīng)用例2如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點求證：(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形；(2)BMCB1M1C1.證明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分別為AD，A1D1的中點，A1M1綊AM，四邊形AMM1A1是平行四邊形，A1A綊M1M.又A1A綊B1B，M1M綊B1B，四邊形BB1M1M為平行四邊形(2)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，B1M1BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，C1M1CM.由平面幾何知識可知，BMC和B1M1C1都是銳角BMCB1M1C1.反思與感悟有關(guān)證明角相等問題，一般采用下面三種途徑(1)利用等角定理及其推論(2)利用三角形相似(3)利用三角形全等本例是通過第一種途徑來實現(xiàn)的跟蹤訓(xùn)練2已知棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.證明(1)如圖，連接AC，在ACD中，M，N分別是CD，AD的中點，MN是ACD的中位線，MNAC，MNAC.由正方體的性質(zhì)，得ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四邊形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1，又NDA1D1，DNM與D1A1C1相等或互補(bǔ)而DNM與D1A1C1均是直角三角形的一個銳角，DNMD1A1C1.類型三空間四邊形的認(rèn)識例3如圖，設(shè)E，F(xiàn)，G，H分別是四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的點，且，求證：(1)當(dāng)時，四邊形EFGH是平行四邊形；(2)當(dāng)時，四邊形EFGH是梯形證明(1)，EHBD，.同理，GFBD，.又，EHGF，EH綊GF.四邊形EFGH是平行四邊形(2)由(1)知EHGF，又，EHGF.四邊形EFGH是梯形反思與感悟因空間圖形往往包含平面圖形，在解題時容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，區(qū)分異同，有利于解題時不出錯，如本例中明確給出了“空間四邊形ABCD”，不包含平面四邊形，說明“A，B，C，D四點必不共面”，不能因直觀圖中AD與BC看似平行的關(guān)系認(rèn)為它們是平行的跟蹤訓(xùn)練3已知空間四邊形ABCD中，ABAC，BDBC，AE是ABC的邊BC上的高，DF是BCD的邊BC上的中線，判定AE與DF的位置關(guān)系解由已知，得E，F(xiàn)不重合設(shè)BCD所在平面為，則DF，A，E，EDF，所以AE與DF異面1直線ab，直線b與c相交，則直線a，c一定不存在的位置關(guān)系是()A相交 B平行 C異面 D無法判斷答案B解析如圖，a與c相交或異面2下列四個結(jié)論中假命題的個數(shù)是()垂直于同一直線的兩條直線互相平行；平行于同一直線的兩直線平行；若直線a，b，c滿足ab，bc，則ac；若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線A1 B2 C3 D4答案B解析均為假命題可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直如圖甲時，c、d與異面直線l1、l2交于四個點，此時c、d異面；當(dāng)點A在直線l1上運動(其余三點不動)時，會出現(xiàn)點A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c、d共面相交3下列結(jié)論正確的是()A若兩個角相等，則這兩個角的兩邊分別平行B空間四邊形的四個頂點可以在一個平面內(nèi)C空間四邊形的兩條對角線可以相交D空間四邊形的兩條對角線不相交答案D解析空間四邊形的四個頂點不在同一平面上，所以它的對角線不相交，否則四個頂點共面，故選D.4下面三個命題，其中正確的個數(shù)是()三條相互平行的直線必共面；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；若四邊形有一組對角都是直角，則這個四邊形是圓的內(nèi)接四邊形A1 B2 C3 D0答案D解析空間中三條平行線不一定共面，故錯；當(dāng)把正方形沿對角線折成空間四邊形，這時滿足兩組對邊分別相等，也滿足有一組對角都是直角，故、都錯，故選D.5兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個三角形()A全等 B不相似C僅有一個角相等 D相似答案D解析由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應(yīng)相等，故選D.1判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義很多情況下，定義就是一種常用的判定方法另外，我們解決空間有關(guān)線線問題時，不要忘了我們生活中的模型，比如說教室就是一個長方體模型，里面的線線關(guān)系非常豐富，我們要好好地利用它，它是我們培養(yǎng)空間想象能力的好工具3注意：等角定理的逆命題不成立一、選擇題1已知ABPQ，BCQR，若ABC30°，則PQR等于()A30° B30°或150°C150° D以上結(jié)論都不對答案B解析由等角定理可知PQR與ABC相等或互補(bǔ)，故答案為B.2分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是()A一定平行 B一定相交C一定異面 D相交或異面答案D3若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是()AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB與O1B1不平行DOB與O1B1不一定平行答案D解析等角定理的實質(zhì)是角的平移，其逆命題不一定成立，OB與O1B1有可能平行，也可能不在同一平面內(nèi)，位置關(guān)系不確定4在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是()A相交 B異面C平行 D垂直答案C解析如圖，連接AD1，CD1，AC，則E，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點由三角形的中位線定理知，EFAC，GHAC，所以EFGH，故選C.5正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點，則四邊形D1PBQ是()A正方形 B菱形C矩形 D空間四邊形答案B解析設(shè)正方體棱長為2，直接計算可知四邊形D1PBQ各邊均為，又D1PBQ是平行四邊形，所以四邊形D1PBQ是菱形6.已知在正方體ABCDA1B1C1D1中(如圖)，l平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列一定不可能的是()Al與AD平行Bl與AD不平行Cl與AC平行Dl與BD垂直答案A解析假設(shè)lAD，則由ADBCB1C1知，lB1C1，這與l與B1C1不平行矛盾，所以l與AD不平行7長方體ABCDA1B1C1D1的12條棱中，所在直線與棱AA1所在直線垂直的共有()A6條 B8條 C10條 D12條答案B解析所在直線與棱AA1所在直線垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8條8異面直線a，b，有a，b且c，則直線c與a，b的關(guān)系是()Ac與a，b都相交Bc與a，b都不相交Cc至多與a，b中的一條相交Dc至少與a，b中的一條相交答案D解析若c與a，b都不相交，c與a在內(nèi)，ac.又c與b都在內(nèi)，bc.由基本性質(zhì)4，可知ab，與已知條件矛盾如圖，只有以下三種情況二、填空題9空間兩個角、，且與的兩邊對應(yīng)平行且60°，則_.答案60°或120°10在正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是_；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是_；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是_；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是_答案(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面11a，b，c是空間中三條直線，下面給出幾個說法：若ab，bc，則ac；若a與b相交，b與c相交，則a與c也相交；若a，b分別在兩個相交平面內(nèi)，則這兩條直線不可能平行則上述說法中正確的為_(僅填序號)答案解析由基本性質(zhì)4知正確若a與b相交，b與c相交，則a與c可能平行，也可能相交或異面，錯誤；若平面l，a，b，al，bl，則ab，錯誤三、解答題12.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中的面A1C1內(nèi)有一點P，經(jīng)過點P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說明理由解如圖所示，在面A1C1內(nèi)過點P作直線EFB1C1，交A1B1于點E，交C1D1于點F，則直線EF即為所求理由：因為EFB1C1，BCB1C1，所以EFBC.13.如圖所示，兩個三角形ABC和ABC的對應(yīng)頂點的連線AA，BB，CC交于同一點O，且.(1)證明：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值(1)證明AA與BB相交于O點，且，ABAB.同理ACAC，BCBC.(2)解ABAB，ACAC且AB和AB，AC和AC的方向相反，BACBAC.同理ABCABC，因此ABCABC，又.2.四、探究與拓展14.如圖所示，已知三棱錐ABCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則下列結(jié)論正確的是()AMN(ACBD)BMN(ACBD)CMN(ACBD)DMN<(ACBD)答案D解析如圖所示，取BC的中點E，連接ME，NE，則MEAC，NEBD，所以MENE(ACBD)在MNE中，有MENE>MN，所以MN<(ACBD)15.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)判斷C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？(1)證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四邊形BCHG為平行四邊形(2)解由BE綊AF，G為FA的中點知，BE綊FG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C，D，F(xiàn)，E四點共面12