第1講數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的基本觀點，是對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)等的本質(zhì)認識在解題中主要運用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)與應(yīng)用主要有以下兩個難點： 一是不會從數(shù)學(xué)思想的角度去分析問題，二是雖然有時運用有關(guān)數(shù)學(xué)思想去解決問題，但方法欠恰當，想法欠成熟一函數(shù)與方程思想 函數(shù)與方程思想在高考試題中六個方面的思考點和切入點(1)構(gòu)造等式關(guān)系，從函數(shù)或方程角度，選擇主從變量，直接找到函數(shù)或利用二次方程探求出函數(shù)性質(zhì)，再利用函數(shù)性質(zhì)和圖象解題；(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)yf(x)，當y>0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)可以解決；(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要；(4)函數(shù)f(x)(axb)n(nN*)與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)，結(jié)合賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題；(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，且均涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論；(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決 已知橢圓C1：1和圓C2：x2(y1)2r2(r>0)，若兩條曲線沒有公共點，求r的取值范圍【解】思路一：用函數(shù)思想來思考 從C1和C2的方程中消去一個未知數(shù)，比如消去x，得到一個關(guān)于y的方程y22y10r20，由方程變形為r2y22y10把r2y22y10看作y的函數(shù)由橢圓C1可知，2y2，因此，求使圓C2與橢圓C1有公共點的r的集合，等價于在定義域為2，2的情況下，求函數(shù)r2f(y)y22y10的值域由f(2)1，f(2)9，f，可得f(y)的值域是r2，即r，它的補集就是圓C2與橢圓C1沒有公共點的r的集合，因此， 兩條曲線沒有公共點的r的取值范圍是0<r<1或r>思路二：用方程思想來思考從C1和C2的方程中消去一個未知數(shù)，比如消去x，得到一個關(guān)于y的方程y22y10r20，兩條曲線沒有公共點，等價于方程y22y10r20或者沒有實數(shù)根，或者兩個根y1，y22，2若沒有實數(shù)根，則44(10r2)<0, 解得r>或r<(由r>0，知r<應(yīng)舍去)若兩個根y1，y22，2，設(shè)(y)y22y10r2，則解得0<r<1因此， 兩條曲線沒有公共點的r的取值范圍是0<r<1或r>名師點評本題難在由兩個曲線方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)得到等式后不會處理，或處理方式不當，導(dǎo)致解法出錯對于一個含變量限制條件問題的處理，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題研究比研究方程的根會更好 (2019·南通模擬)已知集合M(x，y)|(x)(y)1，則集合M表示的圖形是_【解析】思路一：把式子中的字母x，y看作變量，把等式中出現(xiàn)的代數(shù)式看作函數(shù)等式化為xy構(gòu)造函數(shù)f(x)x(xR)，則上式就是f(x)f(y)，由于，函數(shù)f(x)x(xR)為R上的增函數(shù)，則xy，即xy0所以，集合M表示的圖形是直線思路二：構(gòu)造一個常見的函數(shù)g(x)lg(x)(xR)，則g(x)為R上的增函數(shù)，且為奇函數(shù)又已知等式可化為g(x)g(y)lg(x)lg(y)lg 10于是有g(shù)(x)g(y)g(y)，因此xy，即xy0所以，集合M表示的圖形是直線思路三：以方程的知識為切入點，設(shè)sx，ty，于是，s，t分別是方程s22xs10，t22yt10的正根由此可得s2x0，t2y0，相加得，st2(xy)0，又st1，所以xy0所以，集合M表示的圖形是直線【答案】直線名師點評本題難在對所給的式子不會化簡，導(dǎo)致半途而廢因為所給式子中有兩個變量x，y，如果把所給等式進行整理x y ，不難發(fā)現(xiàn)能構(gòu)造函數(shù)f(x)x (xR)來解決高考中的壓軸題往往需要站在數(shù)學(xué)思想的角度來研究，蠻干是不行的 本題思路三對于學(xué)生來說要求比較高，僅供同學(xué)們賞析 已知m，n是正整數(shù)，且1mn 證明：(1m)n(1n)m【證明】(1m)n>(1n)mnln(1m)>mln(1n)>因此，可以構(gòu)造函數(shù)g(x)(x2)只要證明g(x)為減函數(shù)即可由g(x)<0，則g(x)為減函數(shù)，由2m<n可得g(m)>g(n)，因而>， 于是，(1m)n(1n)m成立名師點評本題難在對要證明的結(jié)論與條件不會正確溝通，無法找到聯(lián)系，導(dǎo)致找不到解法有些看起來不像函數(shù)問題，如果通過恰當變形，構(gòu)造函數(shù)，往往會得到妙解 已知，都是銳角，且滿足cos2cos2cos22cos cos cos 1求的值【解】由cos2cos2cos22cos cos cos 1可得cos2(2cos cos )cos (cos2cos21)0，看作關(guān)于cos 的一元二次方程，4cos2cos24(cos2cos21)4sin2sin2，所以，cos cos(±)因為，都是銳角，所以cos cos()應(yīng)舍去因此，cos cos() ，又因為0<<，0<<，所以，()，即名師點評本題難在不會用方程思想看待這個等式，導(dǎo)致胡亂化簡，得不出結(jié)果數(shù)學(xué)中的一些具體方法都是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下產(chǎn)生的，我們在解題的時候，如果能夠站在數(shù)學(xué)思想的高度，抓住數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西去思考，就會使解題更加科學(xué)與合理，就會使解題從被動變?yōu)橹鲃?，就會形成較為完善的解題系統(tǒng) (2019·淮安質(zhì)檢)已知f(x)4xax2x3(xR)在區(qū)間1，1上是增函數(shù)(1) 求實數(shù)a的值組成的集合A；(2) 設(shè)關(guān)于x的方程f(x)2xx3的兩個非零實數(shù)根為x1，x2試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2tm1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范圍； 若不存在，請說明理由【解】(1)f(x)42ax2x2，由已知，f(x)在區(qū)間1，1上是增函數(shù)，等價于f(x)0對x1，1恒成立即x2ax20對x1，1恒成立記(x)x2ax2法一：要使(x)0對x1，1恒成立，只要max(x)0由于x時，(x)為減函數(shù)，x時，(x)為增函數(shù)，因此，當x0時，由(x)的圖象(圖1)可以看出，(1)最大 解不等式組得1a0，當x>0時，由(x)的圖象(圖2)可以看出，(1)最大 解不等式組得0<a1綜合以上得1a1即Aa|1a1法二：由可得Aa|1a1(2)由f(x)2xx3得，4xax2x32xx3解得x0和x2ax20由于a28>0，所以方程x2ax20有兩個非零實根x1、x2由x1x2a，x1x22得|x1x2|本題等價于是否存在m，使不等式m2tm1，對aA，t1，1恒成立把看作關(guān)于a的函數(shù)T(a)，則式等價于m2tm1T(a)max，由于aA，則T(a)3，從而式轉(zhuǎn)化為m2tm13，即m2tm20，對t1，1恒成立又可以把式的左邊看作t的函數(shù)記g(t)m2tm2mtm22對m0或m0分類研究若m0，式化為g(t)20，顯然不成立；若m0，g(t)是關(guān)于t的一次函數(shù)，這樣，要使g(t)0對t1，1恒成立，只要g(1)0及g(1)0同時成立即可(圖3，4)解不等式組得m2或m2所以存在實數(shù)m，使不等式m2tm1|x1x2|對任意aA，t1，1恒成立，其取值范圍是m|m2或m2名師點評本題難點有三：對題意理解不清；對所求問題不會恰當轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題；計算分類不準確二分類討論思想分類討論的幾種情況(1)由數(shù)學(xué)的概念、圖形的位置等引發(fā)的分類討論：數(shù)學(xué)中的概念有些就是分類的，如絕對值的概念(2)由數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等引發(fā)的分類討論：一些數(shù)學(xué)定理和公式是分類的，如等比數(shù)列的求和公式等(3)由參數(shù)變化引發(fā)的分類討論：當要解決的問題中涉及參數(shù)時，由于參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時，問題的發(fā)展方向不同，這就要把參數(shù)劃分幾個部分分類解決(4)問題的具體情況引發(fā)的分類討論：有些數(shù)學(xué)問題本身就要分情況解決，如概率計算中要根據(jù)要求，分類求出基本事件的個數(shù)(5)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決 (2019·徐州模擬)已知數(shù)列an中，a11，a22，an(an12an2)(n3，4，)數(shù)列bn滿足b11，bn(n2，3，)是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有1bmbm1bmk1(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)記cnnanbn(n1，2，)，求數(shù)列cn的前n項和Sn【解】(1)由an(an12an2)得anan1(an1an2)(n3) ，又a2a110，所以數(shù)列an1an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，an1an，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)111，由，得b21，由，得b31，同理可得當n為偶數(shù)時，bn1；當n為奇數(shù)時，bn1；因此bn(2)cnnanbnSnc1c2c3c4cn，當n為奇數(shù)時，Sn當n為偶數(shù)時，Sn，令Tn1×2×3×4×n，×得：Tn1×2×3×4×n，得：Tn1nn3(3n)，所以Tn9(93n)因此Sn名師點評對于(2)中的求解難點有二：一是數(shù)列cn的通項公式是分段函數(shù)，求其前n項和，對n分奇數(shù)或偶數(shù)的含義是什么要清楚， 當n為奇數(shù)時，表示Snc1c2c3c4cn最后一項是奇數(shù)項，而不是指Snc1c3cn同樣當n為偶數(shù)時表示Snc1c2c3c4cn最后一項是偶數(shù)項，而不是指Snc2c4cn二是n分奇數(shù)或偶數(shù)后對括號中數(shù)據(jù)的觀察處理要類比不然項數(shù)和符號都會出錯 設(shè)函數(shù)f(x)ax22x2，對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實數(shù)a的取值范圍【解】當a>0時，f(x)a2，所以或或所以a1或<a<1或，即a>；當a<0時，解得；當a0時，f(x)2x2, f(1)0，f(4)6, 所以不符合題意，由以上得，實數(shù)a的取值范圍是a>名師點評本題先對決定開口方向的二次項系數(shù)a分a>0、a<0、a0三種情況，再對每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖象進行分析，在a>0時將對稱軸與開區(qū)間的關(guān)系分三種進行討論，即在開區(qū)間的左邊、右邊、中間本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖象，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運用三數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中的六個?？键c(1)集合的運算及Venn圖；(2)函數(shù)及其圖象；(3)數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線；(5)對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解；(6)對于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問題，可通過函數(shù)的圖象求解(函數(shù)的零點、頂點是關(guān)鍵點) 設(shè)M(x，y)|y，a>0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a>0，且MN，求a的最大值和最小值【解】如圖，集合M表示以O(shè)(0，0)為圓心，半徑r1a的上半圓，集合N表示以O(shè)(1，)為圓心，半徑r2a的圓因為MN，所以半圓O和圓O有公共點當半圓O和圓O外切時，a最小；內(nèi)切時，a最大因為|OO|2，所以外切時，aa2，a22內(nèi)切時aa2，a22所以a的最大值為22，a的最小值為22名師點評本題巧妙地轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問題，可謂是極具創(chuàng)新性的解題，既避免常規(guī)方法中的繁雜與高難度，又能通過圖形非常直觀地加以處理方程的問題，真正達到數(shù)形結(jié)合的最佳效果 (2019·泰州摸底)滿足條件AB2，ACBC的三角形ABC的面積的最大值是_【解析】以直線AB 為x軸，線段AB的中點為坐標原點O，建立平面直角坐標系，設(shè)C(x，y)，則由ACBC，得·，所以(x3)2y28點C的軌跡為圓(除去與x軸的交點)，其半徑為2則ABC的面積的最大值等于×2×22【答案】2名師點評從解題的簡捷性原則考慮，例1中將“數(shù)”的問題有機地結(jié)合在“形”中解決，使解答更便捷，而本例恰好相反，直接用“形”有一定的難度，若利用“數(shù)”運算，建立直角坐標系求解，則問題利于解決這進一步驗證了華羅庚教授的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”的數(shù)學(xué)思維典語 若方程x2(k2)x2k10的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求實數(shù)k的取值范圍【解】設(shè)函數(shù)f(x)x2(k2)x2k1，結(jié)合草圖可知，函數(shù)f(x)x2(k2)x2k1的圖象開口向上，零點x1(0，1)，x2(1，2)，那么，即，解得，即<k<，所以實數(shù)k的取值范圍為名師點評利用函數(shù)f(x)x2(k2)x2k1的圖象來研究相應(yīng)的方程與不等式的問題，可以化代數(shù)問題為幾何問題，通過圖形非常直觀地處理相應(yīng)的問題思路清晰，簡單易懂四轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想的幾種情況(1)化為已知：當所要解決的問題和我們已經(jīng)掌握的問題有關(guān)系時，把所要解決的問題化為已知問題(2)化難為易：化難為易是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想，當我們遇到的問題是嶄新的，解決起來困難時，就要把這個問題化為我們熟悉的問題，熟悉的問題我們有解決的方法，就是容易的問題，這是化難為易的一個方面(3)化繁為簡：在一些問題中，已知條件或求解結(jié)論比較煩瑣，這時就可以通過化簡這些較煩瑣的已知或者結(jié)論為簡單的情況，再解決問題，有時把問題中的某個部分看做一個整體，進行換元，這也是化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想(4)化大為小：在解答綜合性試題時，一個問題往往是由幾個問題組成的，整個問題的結(jié)論，是通過這一系列的小問題得出的，這種情況下，就可以把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為幾個小問題進行解決 (2019·無錫模擬)已知a1，a2，a3成等差數(shù)列(a30)，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5的倒數(shù)也成等差數(shù)列，問a1，a3，a5之間有什么關(guān)系？【解】由題設(shè)，為消去a2，a4，可從方程組中解出a2和a4，代入aa2a4得a·，因為a30，則a3，整理得aa1a5因此，a1，a3，a5 成等比數(shù)列名師點評一個題目含有較多的元素，它們之間有一定的聯(lián)系，我們在解題時，總是希望通過一定的變形、轉(zhuǎn)化來減少題目中的元素，從而變成一個較容易的題目，這是一種從多元向少元的化歸，實現(xiàn)這一化歸的主要方法是消元法例如，解二元一次方程組時，遇到兩個未知數(shù)，我們用消元法變成一個一元一次方程就是一種典型的從多元向少元的化歸 設(shè)對所有實數(shù)x，不等式x2log22xlog2log2>0恒成立，求a的取值范圍【解】設(shè)log2t, 則log2log23t，log22t于是，已知的不等式化為(3t)x22tx2t>0該不等式對所有實數(shù)x恒成立的充要條件是解得t<0即log2<0，進一步解得0<a<1名師點評換元是一種常見的轉(zhuǎn)化方法，往往能把很復(fù)雜，很陌生的問題，化歸為我們熟悉的簡單的問題這種轉(zhuǎn)化方法在研究函數(shù)、不等式、三角問題時應(yīng)用很廣 試求常數(shù)m的范圍，使曲線yx2的所有弦都不能被直線ym(x3)垂直平分【解】若拋物線上兩點(x1，x)，(x2，x)關(guān)于直線ym(x3)對稱，則滿足所以消去x2得2xx16m10因為x1R，所以8>0，所以(2m1)(6m22m1)<0，所以m<即當m<時，拋物線上存在兩點關(guān)于直線ym(x3)對稱而原題要求所有弦都不能被直線垂直平分，那么所求的范圍為m名師點評(1)在運用補集的思想解題時，一定要搞清結(jié)論的反面是什么，這里所有的弦都不能被直線ym(x3)垂直平分的反面是“至少存在一條弦能被直線ym(x3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直線ym(x3)垂直平分”(2)在探討某一問題的解決辦法時，如果我們按照習(xí)慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應(yīng)從反面的方向去探求- 13 -