高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫 考點(diǎn)31 直接證明與間接證明（文、理）（含詳解，13高考題） 1.（xx·北京高考理科·Ｔ20）已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，…的最小值記為Bn，dn=An－Bn． (1)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值； (2)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列； (3)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則{an}的項(xiàng)只能是1或2，且有無窮多項(xiàng)為1 【解題指南】(1)根據(jù){dn}的定義求. (2)充分性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義求dn; 必要性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義證明等差. (3)可通過取特殊值和反證法進(jìn)行證明. 【解析】（1），， ，。 （2） 充分性： 若為公差為的等差數(shù)列，則. 因?yàn)槭欠秦?fù)整數(shù)，所以是常數(shù)列或遞增數(shù)列. ，， (n=1,2,3,…). 必要性： 若，假設(shè)是第一個(gè)使得的項(xiàng)，則 ，， ，這與矛盾. 所以是不減數(shù)列. ，即， 是公差為的等差數(shù)列. （3）①首先中的項(xiàng)不能是0，否則，與已知矛盾. ②中的項(xiàng)不能超過2，用反證法證明如下： 若中有超過2的項(xiàng)，設(shè)是第一個(gè)大于2的項(xiàng)， 中一定存在項(xiàng)為1，否則與矛盾. 當(dāng)時(shí)，，否則與矛盾. 因此存在最大的i在2到k-1之間，使得， 此時(shí)，矛盾. 綜上中沒有超過2的項(xiàng). 綜合①②，中的項(xiàng)只能是1或2. 下面證明1有無數(shù)個(gè)，用反證法證明如下： 若為最后一個(gè)1，則，矛盾. 因此1有無數(shù)個(gè). 2.（xx·北京高考文科·Ｔ20）給定數(shù)列a1，a2，…，an。對i=1，2，…n-l，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后n-i項(xiàng)ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi. （1）設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值. （2）設(shè)a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0.證明：d1，d2，…dn-1是等比數(shù)列。 （3）設(shè)d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0，證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列。 【解題指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值. (2)先求出{dn}的通項(xiàng),再利用等比數(shù)列的定義證明{dn}是等比數(shù)列. (3)先證明{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,再證明an是數(shù)列{an}的最小項(xiàng),最后證明{an}是等差數(shù)列. 【解析】（1），，。 （2）由是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0，可得的通項(xiàng)為且為單調(diào)遞增數(shù)列。 于是當(dāng)時(shí)，為定值。 因此d1，d2，…dn-1構(gòu)成首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列。 （3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,則0<d1<d2<…<dn-1, 先證明a1,a2,…,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列,否則,設(shè)ak是第一個(gè)使得ak≤ak-1成立的項(xiàng),則 Ak-1=Ak,Bk-1≤Bk,因此dk-1=Ak-1-Bk-1≥Ak-Bk=dk,矛盾. 因此a1,a2,…,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列. 再證明an為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng),否則設(shè)ak<an(k=1,2,…,n-1), 顯然k≠1,否則d1=A1-B1=a1-B1≤a1-a1=0,與di>0矛盾. 因而k≥2,此時(shí)考慮dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾. 因此,an為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng). 綜上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an, 從而a1,a2,…,an-1是等差數(shù)列.