第2講解三角形問題題型1利用正、余弦定理解三角形(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第5頁)核心知識(shí)儲(chǔ)備·1正弦定理及其變形在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其變形在ABC中，a2b2c22bccos A；變形：b2c2a22bccos A，cos A.3三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.典題試解尋法·【典題1】(考查解三角形應(yīng)用舉例)如圖2­1，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_m.圖2­1思路分析由已知條件及三角形內(nèi)角和定理可得ACB的值在ABC中，利用正弦定理求得BC在RtBCD中利用銳角三角函數(shù)的定義求得CD的值解析依題意有AB600，CAB30°，CBA180°75°105°，DBC30°，DCCB.ACB45°，在ABC中，由，得，有CB300，在RtBCD中，CDCB·tan 30°100，則此山的高度CD100 m.答案100【典題2】(考查應(yīng)用正余弦定理解三角形)(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周長(zhǎng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804011】解(1)由題設(shè)得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由題意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周長(zhǎng)為3.類題通法1.關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口.2.在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac兩項(xiàng)，二者的關(guān)系a2c2(ac)22ac經(jīng)常用到.3.三角形形狀判斷的兩種思路：一是化角為邊；二是化邊為角.注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時(shí)候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個(gè)數(shù)時(shí)要注意該數(shù)是否為零，避免漏解.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2ccos A，c2bcos A，則ABC的形狀為()A直角三角形B銳角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形Cb2ccos A，c2bcos A，b4bcos2A，即cos A，或cos A(舍)bc，ABC為等邊三角形2如圖2­2，在ABC中，AB2，cos B，點(diǎn)D在線段BC上圖2­2(1)若ADC，求AD的長(zhǎng)；(2)若BD2DC，ACD的面積為，求的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804012】解(1)在三角形中，cos B，sin B.在ABD中，又AB2，ADB，sin B，AD.(2)BD2DC，SABD2SADC，SABC3SADC，又SADC，SABC4.SABCAB·BCsinABC，BC6.SABDAB·ADsinBAD，SADCAC·ADsinCAD，SABD2SADC，2·，在ABC中，AC2AB2BC22AB·BCcosABC，AC4，2·4.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T2、T3、T4、T5、T6、T9、T10、T11、T13)題型2與三角形有關(guān)的最值、范圍問題(答題模板)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第6頁)與三角形有關(guān)的最值、范圍問題一般涉及三角形的角度(或邊長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等)的最大、最小問題(2015·全國(guó)卷T16、2014·全國(guó)卷T16、2013·全國(guó)卷T17)典題試解尋法·【典題】(本小題滿分12分)(2013·全國(guó)卷)的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若，求. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804013】審題指導(dǎo)題眼挖掘關(guān)鍵信息看到ABC的內(nèi)角A，B，C，想到ABC.看到abcos Ccsin B，想到三角形的正弦定理，想到三角恒等變換.看到b2，想到(1)及余弦定理.看到ABC的面積的最大值，想到面積公式及不等式放縮.規(guī)范解答(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B2分又，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C4分由和C(0，)得sin Bcos B5分又B(0，)，所以B.6分(2)ABC的面積Sacsin Bac.7分由已知及余弦定理得4a2c22accos .8分又，故ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立.10分因此ABC面積的最大值為1.12分閱卷者說易錯(cuò)點(diǎn)防范措施忽視三角形內(nèi)角和定理導(dǎo)致無法求B.熟記三角形內(nèi)的常見結(jié)論，實(shí)現(xiàn)角的互化.忽視不等式的變形導(dǎo)致無法解出ac的范圍.不等式a2b22ab及ab是應(yīng)用余弦定理求最值的切入點(diǎn)，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練.類題通法1.求與三角形中邊角有關(guān)的量的取值范圍時(shí)，主要是利用已知條件和有關(guān)定理，將所求的量用三角形的某個(gè)內(nèi)角或某條邊表示出來，結(jié)合三角形邊角的取值范圍、函數(shù)值域的求法求解范圍即可.注意題目中的隱含條件，如ABC，0A、B、C，bcabc，三角形中大邊對(duì)大角等.2.在利用含有a2b2，(ab)2，ab的關(guān)系等式求最值時(shí)常借助均值不等式.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練(2017·石家莊一模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)點(diǎn)D滿足2，且AD3，求2ac的最大值解(1)，由正弦定理可得，c(ac)(ab)(ab)，即a2c2b2ac.又a2c2b22accos B，cos B，B(0，)，B.(2)法一：(利用基本不等式求最值)在ABD中，由余弦定理得c2(2a)22×2ac×cos 32，(2ac)293×2ac.2ac，(2ac)29(2ac)2，即(2ac)236,2ac6，當(dāng)且僅當(dāng)2ac，即a，c3時(shí)，2ac取得最大值，最大值為6.法二：(利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值)在ABD中，由正弦定理知2，2a2sinBAD，c2sinADB，2ac2sinBAD2sinADB2sinBADsinADB266sin.BAD，BAD，當(dāng)BAD，即BAD時(shí)，2ac取得最大值，最大值為6.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見專題限時(shí)集訓(xùn)T7、T8、T12、T14)三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第7頁)1(2016·全國(guó)卷)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A()ABCDC法一：設(shè)ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則由題意得SABCa·aacsin B，ca.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2a22×a×a×a2，ba.cos A.故選C.法二：同方法一得ca.由正弦定理得sin Csin A, 又B，sin Csinsin A，即cos Asin Asin A，tan A3，A為鈍角又1tan2A，cos2A，cos A.故選C.2(2016·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.因?yàn)锳，C為ABC的內(nèi)角，且cos A，cos C，所以sin A，sin C，所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.又a1，所以由正弦定理得b×.3(2015·全國(guó)卷)在平面四邊形ABCD中，ABC75°，BC2，則AB的取值范圍是_(，)如圖所示，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFAD交AB于點(diǎn)F，則BF<AB<BE.在等腰三角形CFB中，F(xiàn)CB30°，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30°，ECB75°，BECE，BC2，BE×.<AB<.4(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804014】解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面積與ACD面積的比值為1.又ABC的面積為×4×2sinBAC2，所以ABD的面積為.9