1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.會(huì)解一元一次不等式和一元二次不等式.2.會(huì)用一元一次不等式和一元二次不等式解決實(shí)際問題.自學(xué)導(dǎo)引1.一元一次不等式的解法.(1)axb0(a>0)解集為.(2)axb0(a<0)解集為.2.一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：判別式b24ac>00<0二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒有實(shí)數(shù)根ax2bxc>0 (a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx1x|xRax2bxc<0 (a>0)的解集x|x1< x<x2基礎(chǔ)自測(cè)1.已知集合A2，1，0，1，2，Bx|(x1)(x2)0，則AB() A.1，0 B.0，1C.1，0，1 D.0，1，2解析化簡(jiǎn)集合B，利用交集的定義求解.由題意知Bx|2<x<1，所以AB1，0.故選A.答案A2.函數(shù)f(x)log2(x22x3)的定義域是()A.3，1 B.(3，1)C.(，31，) D.(，3)(1，)解析由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，構(gòu)造不等式進(jìn)行求解.要使函數(shù)有意義，只需x22x3>0，即(x3)(x1)>0，解得x<3或x>1.故函數(shù)的定義域?yàn)?，3)(1，).答案D3.不等式x23x4>0的解集為_.(用區(qū)間表示)解析利用一元二次不等式的解法求解.由x23x4>0得x23x4<0，解得4<x<1.答案(4，1)知識(shí)點(diǎn)1一元一次、一元二次不等式的解法【例1】 解下列不等式：(1)3x2<2(x1)4；(2)3x22x80；(3)8x116x2.解(1)原不等式等價(jià)于3x2x<242即x<4.原不等式的解集為x|x<4.(2)原不等式等價(jià)于3x22x80(x2)(3x4)0x2或x.不等式的解集為(，2.(3)原不等式等價(jià)于16x28x10(4x1)20.只有當(dāng)4x10，即x時(shí)不等式成立，故不等式解集為.反思感悟：解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定判別式的符號(hào)；(3)若0，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根，若0，則對(duì)應(yīng)的二次方程無根；(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集.特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集.1.解下列不等式：(1)2(x2)5(x1)；(2)8x116x2.解(1)由原不等式可得：4x56(x2)15(x1)，即4x6x15x15125，即13x22，解得x，故原不等式解集為.(2)原不等式即為16x28x10，其相應(yīng)方程為16x28x10，(8)24×160，上述方程有兩相等實(shí)根x，結(jié)合二次函數(shù)y16x28x1的圖象知，原不等式的解集為R.知識(shí)點(diǎn)2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】 已知不等式>0(aR).(1)解這個(gè)關(guān)于x的不等式；(2)若xa時(shí)不等式成立，求a的取值范圍.解(1)原不等式等價(jià)于(ax1)(x1)>0.當(dāng)a0時(shí)，由(x1)>0，得x<1；當(dāng)a>0時(shí)，不等式化為(x1)>0，解得x<1或x>；當(dāng)a<0時(shí)，不等式化為(x1)<0；若<1，即1<a<0，則<x<1；若1，即a1，則不等式解集為空集；若>1，即a<1，則1<x<.綜上所述，a<1時(shí)，解集為；a1時(shí)，原不等式無解；1<a<0時(shí)，解集為；a0時(shí)，解集為x|x<1；a>0時(shí)，解集為.(2)xa時(shí)不等式成立，>0，即a1<0，a>1，即a的取值范圍為(1，).反思感悟：(1)含參數(shù)的一元二次不等式可分為兩種情形：一是二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù).參數(shù)在一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)的位置，此時(shí)可考慮分解因式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，若不易分解因式，則要對(duì)判別式分類討論，分類應(yīng)不重不漏；二是二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為0的情形，以便確定解集的形式.注意必須判斷出相應(yīng)方程的兩根的大小，以便寫出解集.(2)含參數(shù)不等式的解法問題，是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想.2.解關(guān)于x的不等式：ax222xax(aR).解原不等式可化為ax2(a2)x20.當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為x10，解得x1.當(dāng)a>0時(shí)，原不等式化為(x1)0，解得x或x1.當(dāng)a<0時(shí)，原不等式化為(x1)0.當(dāng)>1，即a<2時(shí)，解得1x；當(dāng)1，即a2時(shí)，解得x1滿足題意；當(dāng)<1，即a>2，解得x1.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)2<a<0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a<2時(shí)，不等式的解集為.知識(shí)點(diǎn)3一元二次不等式的應(yīng)用【例3】 某種商品，現(xiàn)在定價(jià)p元，每月賣出n件，設(shè)定價(jià)上漲x成，每月賣出數(shù)量減少y成，每月售貨總金額變成現(xiàn)在的z倍.(1)用x和y表示z；(2)設(shè)ykx(0<k<1)，利用k表示當(dāng)每月售貨總金額最大時(shí)x的值；(3)若yx，求使每月售貨總金額有所增加的x值的范圍.解(1)按現(xiàn)在的定價(jià)上漲x成時(shí)，上漲后的定價(jià)為p元，每月賣出數(shù)量為n件，每月售貨總金額是npz元，因而npzp·n，所以z.(2)在ykx的條件下，z，整理可得z·，由于0<k<1，所以>0，所以使z值最大的x的值是.(3)當(dāng)yx時(shí)，z，要使每月售貨總金額有所增加，即z>1，應(yīng)有(10x)·>100，即x(x5)<0，解得0<x<5，所以所求x的范圍是(0，5).反思感悟：不等式應(yīng)用題常以函數(shù)的模型出現(xiàn)，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)、科技中的最優(yōu)化問題，在解題中涉及到不等式的解及有關(guān)問題，解不等式的應(yīng)用題，要審清題意，建立合理、恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，這是解不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵.3.國家為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀調(diào)控，實(shí)行征收附加稅政策，現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不征收附加稅時(shí)，每年大約產(chǎn)銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅R元(叫做稅率R%)，則每年的銷售收入將減少10R萬瓶，要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收附加稅金不少于112萬元，問R應(yīng)怎樣確定？解設(shè)每年銷售量為x萬瓶，則銷售收入為每年70x萬元，從中征收的稅金為70x·R%萬元，其中x10010R.由題意，得70(10010R)R%112，整理，得R210R160.36>0，方程R210R160的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x12，x28.然后畫出二次函數(shù)yR210R16的圖象，由圖象得不等式的解為2R8.課堂小結(jié)1.解一元二次不等式時(shí)，首先要將一元二次不等式化成標(biāo)準(zhǔn)型，即ax2bxc>0或ax2bxc<0的形式，其中a>0.如解不等式6x2>5x時(shí)首先化為x25x6<0.2.一元二次不等式ax2bxc>0或ax2bxc<0的形式(其中a>0)與一元二次方程ax2bxc0的關(guān)系.(1)知道一元二次方程ax2bxc0的根可以寫出對(duì)應(yīng)不等式的解集；(2)知道一元二次不等式ax2bxc>0或ax2bxc<0的解集也可以寫出對(duì)應(yīng)方程的根.3.數(shù)形結(jié)合：利用一元二次函數(shù)yax2bxc的圖象可以一目了然地寫出一元二次不等式ax2bxc>0或ax2bxc<0的解集.隨堂演練1.已知集合Ax|x24x3<0，Bx|2<x<4，則AB()A.(1，3) B.(1，4)C.(2，3) D.(2，4)解析先化簡(jiǎn)集合A，再利用集合的交集的定義或利用數(shù)軸求解.由已知可得集合Ax|1<x<3，又因?yàn)锽x|2<x<4，所以AB(2，3)，故選C.答案C2.若集合Ax|ax2ax1<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a|0<a<4 B.a|0a<4C.a|0<a4 D.a|0a4答案D3.不等式2x2x<4的解集為_.解析利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化為整式不等式求解.2x2x<4，2x2x<22，x2x<2，即x2x2<0，1<x<2.答案x|1<x<2(或(1，2)4.已知函數(shù)f(x)x22xb2b1(bR)，若當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)>0恒成立，則b的取值范圍是_.解析依題意，f(x)的對(duì)稱軸為x1，又開口向下，當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).若f(x)>0恒成立.則f(x)minf(1)12b2b1>0，即b2b2>0.(b2)(b1)>0，b>2或b<1.答案b>2或b<1基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知集合Ax|x22x30，Bx|2x<2，則AB()A.2，1 B. 1，2)C.1，1 D.1，2)解析先求解集合A，再進(jìn)行集合之間的運(yùn)算.Ax|x3或x1，Bx|2x<2，ABx|2x12，1，故選A.答案A2.滿足2與3的x適合的條件是()A.x B.xC.x D.x，或x解析原不等式化為(x1)0，即0，(x)(x)(x1)0.用數(shù)軸標(biāo)根法可得，x，或1x.答案C3.已知p：關(guān)于x的不等式x22axa>0的解集是R，q：1<a<0，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析不等式x22axa>0的解集是R等價(jià)于4a24a<0，即1<a<0.答案C4.不等式x(x1)(x2)2(x21)(x31)0的解集是_.解析原不等式即x(x1)3(x2)2(x1)(x2x1)0，x2x10，(x1)2k0，(x2)20，原不等式等價(jià)與不等式組原不等式的解集是x|1x0，或x1，且x2.答案x|1x0，或x1，且x25.若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，則a的取值范圍是_.解析原不等式即(xa)(x1)0，當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為a，1，此時(shí)只要a4即可，即4a<1；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解為x1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為1，a，此時(shí)只要a3即可，即1<a3.綜上可得4a3.答案4，36.解不等式3(x1)<(x2)14.解不等式兩邊同時(shí)乘以2得，(x4)6(x1)<2(x2)28，即5x10<2x24，得：7x<14，即x>2.故原不等式的解集為x|x>2.綜合提高7.已知函數(shù)f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)>0的解集是(1，3)，則不等式f(2x)<0的解集是()A.B.C.D.解析由f(x)>0，得ax2(ab1)xb>0，又其解集是(1，3)，a<0.且解得a1或，a1，b3.f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x3<0，得4x24x3>0，解得x>或x<，故選A.答案A8.在R上定義運(yùn)算：x*yx(1y).若不等式(xa)*(xa)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則()A.1<a<1 B.0<a<2C.<a< D.<a<解析依題設(shè)得xax2a2<1恒成立，即>0恒成立a2a<0恒成立<a<.答案C9.若函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，且對(duì)一切x>0，y>0滿足f(xy)f(x)f(y)，則不等式f(x6)f(x)<2f(4)的解集為_.解析由已知得f(x6)f(x)f(x6)x，2f(4)f(16).根據(jù)單調(diào)性得(x6)x<16，解得8<x<2.又x6>0，x>0，所以0<x<2.答案(0，2)10.若關(guān)于x的方程x2axa210有一正根和一負(fù)根，則a的取值范圍是_.解析令f(x)x2axa21，二次函數(shù)開口向上，若方程有一正一負(fù)根，則只需 f(0)<0，即a21<0.1<a<1.答案1<a<111.解不等式：log(3x22x5)log(4x2x5).解原不等式等價(jià)于解得x23x0，即3x0.解得x>1或x<.故原不等式的解集為.12.已知f(x)x22ax2(aR)，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值范圍.解方法一：f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為xa.當(dāng)a(，1)時(shí)，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a<1；當(dāng)a1，)時(shí)，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.綜上所述，所求a的取值范圍是3，1.方法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.所求a的取值范圍是3，1. 10