1.5.3反證法和放縮法1.理解反證法和放縮法的概念.2.會(huì)用反證法和放縮法證明較簡(jiǎn)單的不等式.自學(xué)導(dǎo)引1.反證法：首先假設(shè)要證明的命題是不正確的，然后利用公理，已有的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件(或已證明過(guò)的定理，或明顯成立的事實(shí))矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明假設(shè)的結(jié)論不成立，從而原來(lái)的結(jié)論正確.2.放縮法：將所需證明的不等式的值適當(dāng)放大(或縮小)使它由繁化簡(jiǎn)，達(dá)到證明目的.如果所要證明的不等式中含有分式，把分母放大，則相應(yīng)分式的值縮小，反之，把分母縮小，則分式的值放大.基礎(chǔ)自測(cè)1.設(shè)M，則()A.M1 B.M<1C.M>1 D.M與1大小關(guān)系不定解析M是210項(xiàng)求和，M<1，故選B.答案B2.已知a，bR，下列各式中成立的是()A.cos2·lg asin2·lg b<lg(ab)B.cos2·lg asin2·lg b>lg(ab)C.acos2bsin2abD.acos2·bsin2>ab解析cos2lg asin2lg bcos2lg a(1cos2)lg bcos2lglg b<lglg blg a<lg(ab)，故選A.答案A3.lg 9·lg 11與1的大小關(guān)系是_.解析lg 9·lg 11<121.答案lg 9·lg 11<1知識(shí)點(diǎn)1反證法證明不等式【例1】 已知：abc>0，abbcca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.證明假設(shè)a、b、c不全是正數(shù)，即至少有一個(gè)小于或等于0.又abc>0，不妨假設(shè)a<0，則bc<0.bc>a>0，a(bc)>0.a(bc)<0，又bc<0，bca(bc)<0.即abbcca<0.這與已知abbcca>0矛盾.假設(shè)不成立.故a>0，b>0，c>0成立.反思感悟：用反證法證明不等式，其實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出與已知條件或公理相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立.1.設(shè)a0，b0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立.證明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時(shí)成立，則由a2a2及a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾.故a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立.知識(shí)點(diǎn)2放縮法證明不等式【例2】 設(shè)Sn，求證：不等式<Sn<對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.證明Sn>12n.且Sn<<<Sn<.反思感悟：用放縮法證明不等式的過(guò)程中，往往采用“添舍”放縮、分項(xiàng)放縮、函數(shù)的單調(diào)性放縮、重要不等式收縮等，放縮時(shí)要注意適度，否則不能同向傳遞.2.求證：1<2 (nN*).證明1<112<2.知識(shí)點(diǎn)3放縮法與其它方法相結(jié)合證不等式【例3】 若正數(shù)a，b，c滿足ab>c，求證：>.證明ab>c，abc>0，由真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：<<>.反思感悟：函數(shù)的單調(diào)性和“真分?jǐn)?shù)的分子、分母同加上一正數(shù)，所得新分?jǐn)?shù)的值變大”的性質(zhì)都是放縮的重要依據(jù).3.求證：<3 (nN*).證明設(shè)S，將等式兩邊乘以得S.將兩式相減得S21.S3，又>0，S<3，即<3 (nN*).課堂小結(jié)1.用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面.當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的.(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證；否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法.(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾、有的與假設(shè)矛盾、有的與已知事實(shí)相違背等等.推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.2.放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一.放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，常用的放縮法有增項(xiàng)、減項(xiàng)、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮等.隨堂演練1.設(shè)a、b、cR，Pabc，Qbca，Rcab，則“PQR>0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的() A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分又不必要條件解析必要性是顯然成立的當(dāng)PQR>0時(shí)，若P，Q，R不同時(shí)大于零，則其中兩個(gè)為負(fù)，一個(gè)為正，不妨設(shè)P>0，Q<0，R<0，則QR2c<0，這與c>0矛盾，即充分性也成立.答案C2.已知a，b，c，d都是正數(shù)，S，則S的取值范圍是_.答案(1，2)3.用反證法證明：如果a，b為正數(shù)，則a3b3a2bab2.證明假設(shè)a3b3<a2bab2，則a3b3a2bab2<0.a2(ab)b2(ab)<0即(ab)2(ab)<0.又(ab)20，ab<0這與a，b都是正數(shù)相矛盾，假設(shè)不成立，a3b3a2bab2.4.求證：1.證明11.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知pa，q2a24a2 (a>2)，則()A.p>qB.p<qC.pqD.pq解析p(a2)2，又a2>0，p224，而q2(a2)22，根據(jù)a>2，可得q<224，p>q.答案A2.不等式a>b與>能同時(shí)成立的充要條件是()A.a>b>0 B.a>0>bC.<<0 D.>>0解析充分性顯然.下面用反證法說(shuō)明必要性.若a，b同號(hào)且a>b，則有<，此時(shí)不能保證a>b與>同時(shí)成立，a，b只能異號(hào)，即a>0>b.答案B3.若f(x)，a，b都為正數(shù)，Af，Gf()，Hf，則()A.AGH B.AHGC.GHA D.HGA解析a，b為正數(shù)，又f(x)為單調(diào)減函數(shù)，ff()f，AGH.答案A4.設(shè)x>0，y>0，A，B，則A與B的大小關(guān)系為_(kāi).解析A (x>0，y>0)<B，A<B.答案AB5.已知|a|b|，m，n，則m，n之間的大小關(guān)系是_.解析m1，n1.答案mn6.設(shè)m等于|a|、|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)|x|>m時(shí)，求證：<2.證明由已知得：|x|>m|a|，|x|>m|b|，|x|>m1，|x|2>m2|b|·1|b|<2，故原不等式成立.綜合提高7.已知abc>0，abbcca>0，abc>0，則a，b，c三數(shù)()A.全為正數(shù)B.至多有兩個(gè)為正數(shù)C.至多有一個(gè)為正數(shù)D.全為負(fù)數(shù)解析假設(shè)a，b，c不全為正數(shù)，abc>0，有兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)a，b為負(fù)數(shù)，c為正數(shù)，abc>0，c>(ab)>0，又abbcca>0，ab>(bcca)c(ab)(ab)2，這與(ab)24ab矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，a，b，c全為正數(shù).選A.答案A8.若實(shí)數(shù)m>n，正數(shù)a>b，A(anbn)m，B(ambm)n，則()A.A>BB.A<BC.A與B的大小關(guān)系由m與n的差決定D.A與B的大小關(guān)系由a與b的差決定解析A(anbn)mamn，B(ambm)namn.a>b>0，0<<1.又m>n，>，amn>amn，即A>B，故選A.答案A9.若|a|<1，|b|<1，則|ab|ab|與2的大小關(guān)系是_.解析當(dāng)(ab)(ab)0時(shí)，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|<2；當(dāng)(ab)(ab)<0時(shí)，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|<2.綜上，|ab|ab|<2.答案|ab|ab|<210.設(shè)a、b、c、dR，a2b21，c2d21，則abcd的最小值等于_.答案11.已知a，b，cR，abc0，abc1，求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于.證明abc1>0，a，b，c都為正，或者a，b，c中有一正二負(fù).又abc0，a，b，c中只能是一正二負(fù).不妨設(shè)a>0，b<0，c<0，則bca，bc，即b，c為方程x2ax0的兩個(gè)負(fù)實(shí)根，a20，解得a> ，a，b，c中至少有一個(gè)大于.12.已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明an是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明<.證明(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列.an，因此an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n12×3n1，所以.于是1<.所以<.8