第3講幾何概型板塊一知識梳理·自主學(xué)習(xí) 必備知識考點1幾何概型1幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型2幾何概型的兩個基本特點考點2幾何概型的概率公式P(A).必會結(jié)論幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)；(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題考點自測1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零. ()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P.()答案(1)(2)(3)(4)(5)×(6)×22017·全國卷如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.答案B解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，S正方形4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑S白S圓，所以由幾何概型知所求概率P.故選B.32018·重慶一中模擬在2,3上隨機取一個數(shù)x，則(x1)(x3)0的概率為()A. B. C. D.答案D解析由(x1)(x3)0，得1x3.由幾何概型得所求概率為.42018·衡水中學(xué)調(diào)研已知正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，則在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取點M，點M在球O內(nèi)的概率是()A. B. C. D.答案C解析設(shè)正方體棱長為a，則正方體的體積為a3，內(nèi)切球的體積為×3a3，故M在球O內(nèi)的概率為.52016·全國卷從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B. C. D.答案C解析設(shè)由，構(gòu)成的正方形的面積為S，xy<1構(gòu)成的圖形的面積為S，所以，所以.故選C.板塊二典例探究·考向突破考向與長度有關(guān)的幾何概型例1(1)2016·全國卷某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A. B. C. D.答案B解析行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達該路口，即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P.故選B.(2)2017·江蘇高考記函數(shù)f(x)的定義域為D.在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是_答案解析由6xx20，解得2x3，D2,3如圖，區(qū)間4,5的長度為9，定義域D的長度為5，P.觸類旁通求解與長度有關(guān)的幾何概型應(yīng)注意的問題(1)求解幾何概型問題，解題的突破口為弄清是長度之比、面積之比還是體積之比；(2)求與長度有關(guān)的幾何概型的概率的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長度，然后求解，應(yīng)特別注意準確表示所確定的線段的長度【變式訓(xùn)練1】(1)2018·遼寧模擬在長為12 cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為()A. B. C. D.答案C解析設(shè)ACx cm(0<x<12)，則CB(12x) cm，則矩形面積Sx(12x)12xx2<32，即(x8)(x4)>0，解得0<x<4或8<x<12，在數(shù)軸上表示為由幾何概型概率公式，得概率為.故選C.(2)某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過3分鐘的概率是_答案解析本題可以看成向區(qū)間0,5 內(nèi)均勻投點，設(shè)A某乘客候車時間不超過3分鐘，則P(A).考向與面積有關(guān)的幾何概型命題角度1與平面圖形面積有關(guān)的問題例22015·陜西高考設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. B.C. D.答案C解析|z|1，(x1)2y21，表示以M(1,0)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，該圓的面積為.易知直線yx與圓(x1)2y21相交于O(0,0)，A(1,1)兩點，作圖如右：OMA90°，S陰影×1×1.故所求的概率P.命題角度2與線性規(guī)劃交匯的問題例32018·湖北聯(lián)考在區(qū)間0,4上隨機取兩個實數(shù)x，y，使得x2y8的概率為()A. B. C. D.答案D解析如圖所示，表示的平面區(qū)域為正方形OBCD及其內(nèi)部，x2y8(x，y0,4)表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，所以所求概率P.故選D.命題角度3隨機模擬估算例4如圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)估計橢圓的面積為()A7.68 B8.68 C16.32 D17.32答案C解析由隨機模擬的思想方法，可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為0.68.由幾何概型的概率計算公式，可得0.68，而S矩形6×424，則S橢圓0.68×2416.32.觸類旁通利用求解考向與體積有關(guān)的幾何概型例5有一個底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機抽取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_答案解析圓柱的體積V柱R2h2，半球的體積V半球×R3.圓柱內(nèi)一點P到點O的距離小于等于1的概率為.點P到點O的距離大于1的概率為1.觸類旁通與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求【變式訓(xùn)練2】已知正三棱錐SABC的底面邊長為4，高為3，則在正三棱錐內(nèi)任取一點P，則點P滿足V三棱錐PABC<V三棱錐SABC的概率是_答案解析設(shè)三棱錐PABC的高為h.由V三棱錐PABC<V三棱錐SABC，得SABC·h<·SABC·3，解得h<，即點P在三棱錐的中截面以下的空間點P滿足V三棱錐PABC<V三棱錐SABC的概率是P1.考向與角度有關(guān)的幾何概型例62017·鞍山模擬過等腰RtABC的直角頂點C在ACB內(nèi)部隨機作一條射線，設(shè)射線與AB相交于點D，求AD<AC的概率解在AB上取一點E，使AEAC，連接CE(如圖)，則當(dāng)射線CD落在ACE內(nèi)部時，AD<AC.易知ACE67.5°，AD<AC的概率P0.75.觸類旁通與角度有關(guān)的幾何概型的求解方法(1)若試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為P(A).(2)解決此類問題時注意事件的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事件的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，然后再利用公式計算【變式訓(xùn)練3】如圖所示，在ABC中，B60°，C45°，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率解因為B60°，C45°，所以BAC75°，在RtABD中，AD，B60°，所以BD1，BAD30°.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得BAM<BAD時事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式，得P(N).核心規(guī)律幾何概型中的轉(zhuǎn)化思想(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在坐標軸上即可(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系建立與體積有關(guān)的幾何概型滿分策略幾何概型求解中的注意事項(1)計算幾何概型問題的關(guān)鍵是怎樣把具體問題(如時間問題等)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)類型的幾何概型問題(2)幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果(3)幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”“角度”“面積”“體積”等，但要注意求概率時作比的上下“測度”要一致.板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考數(shù)學(xué)思想系列11轉(zhuǎn)化與化歸思想解決幾何概型的應(yīng)用問題2018·珠海模擬某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：307：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(用數(shù)字作答)解題視點先設(shè)出兩人到校的時間，得到兩變量滿足的不等式組，再在平面直角坐標系中畫出不等式組表示的區(qū)域，最后根據(jù)面積型幾何概型求概率解析設(shè)小張和小王的到校時間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘，根據(jù)題意可畫出圖形，如圖所示則總事件所占的面積為(5030)2400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A(x，y)|yx5,30x50,30y50，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為×15×15，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A).答案答題啟示本題通過設(shè)置小張、小王兩人到校的時間這兩個變量x，y，將已知轉(zhuǎn)化為x，y所滿足的不等式，進而轉(zhuǎn)化為坐標平面內(nèi)的點(x，y)的相關(guān)約束條件，從而把時間這個長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，進而轉(zhuǎn)化成面積型的幾何概型問題求解.若題中涉及到三個相互獨立的變量，則需將其轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積問題加以求解.跟蹤訓(xùn)練2018·?？谡{(diào)研張先生訂了一份南昌晚報，送報人在早上6：307：30之間把報紙送到他家，張先生離開家去上班的時間在早上7：008：00之間，則張先生在離開家之前能拿到報紙的概率是_答案解析以橫坐標x表示報紙送到時間，以縱坐標y表示張先生離家時間，建立平面直角坐標系，如圖因為隨機試驗落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件根據(jù)題意只要點落在陰影部分，就表示張先生在離開家之前能拿到報紙，即所求事件A發(fā)生，所以P(A).板塊四模擬演練·提能增分 A級基礎(chǔ)達標1在長為6 m的木棒上任取一點P，使點P到木棒兩端點的距離都大于2 m的概率是()A. B. C. D.答案B解析將木棒三等分，當(dāng)P位于中間一段時，到兩端A，B的距離都大于2 m，P.2如圖所示，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得AOC和BOC都不小于15°的概率為()A. B. C. D.答案D解析依題意可知AOC15°，75°，BOC15°，75°，故OC活動區(qū)域為與OA，OB構(gòu)成的角均為15°的扇形區(qū)域，可求得該扇形圓心角為(90°30°)60°.P(A).32018·山東師大附中模擬設(shè)x0，則sinx<的概率為()A. B. C. D.答案C解析由sinx<且x0，借助于正弦曲線可得x，P.42018·湖南長沙聯(lián)考如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是()A1 B. C. D1答案A解析魚缸底面正方形的面積為224，圓錐底面圓的面積為.所以“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是1.故選A.52018·福建莆田質(zhì)檢從區(qū)間(0,1)中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個數(shù)使得斜邊長不大于1的概率是()A. B. C. D.答案B解析任取的兩個數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸)，故所求概率P.6在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為()A. B1 C. D1答案B解析正方體的體積為：2×2×28，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為：×r3××13，則點P到點O的距離大于1的概率為：11.72018·鐵嶺模擬已知ABC中，ABC60°，AB2，BC6，在BC上任取一點D，則使ABD為鈍角三角形的概率為()A. B. C. D.答案C解析如圖，當(dāng)BE1時，AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF4時，BAF為直角，則點D在線段CF(不包含F(xiàn)點)上時，ABD為鈍角三角形所以ABD為鈍角三角形的概率為.82018·綿陽模擬在面積為S的ABC的邊AB上任取一點P，則PBC的面積大于的概率是_答案解析如圖所示，在邊AB上任取一點P，因為ABC與PBC是等高的，所以事件“PBC的面積大于”等價于事件“|BP|AB|>”即P.9在區(qū)間2,4上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.答案3解析由題意知m>0，當(dāng)0<m<2時，mxm，此時所求概率為，解得m(舍去)；當(dāng)2m<4時，所求概率為，解得m3；當(dāng)m4時，概率為1，不合題意，故m3.102018·保定調(diào)研在區(qū)間1,1內(nèi)隨機取兩個實數(shù)x，y，則滿足yx1的概率是_答案解析點(x，y)分布在如圖所示的正方形區(qū)域內(nèi)，畫出xy10表示的區(qū)域，可知所求的概率為1.B級知能提升12018·鄭州模擬分別以正方形ABCD 的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機投一點，則該點落在陰影區(qū)域的概率為()A. B. C. D.答案B解析設(shè)AB2，則S陰影24.所求概率P，故選B項2已知P是ABC所在平面內(nèi)一點，20，現(xiàn)將一粒黑芝麻隨機撒在ABC內(nèi)，則該粒黑芝麻落在PBC內(nèi)的概率是()A. B. C. D.答案D解析由20，得2，設(shè)BC邊中點為D，連接PD，則22，P為AD中點，所以所求概率P，即該粒黑芝麻落在PBC內(nèi)的概率是.故選D.32018·山東模擬在區(qū)間0,2上隨機地取一個數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為_答案解析不等式1log1可化為log2loglog，即x2，解得0x，故由幾何概型的概率公式得P.4設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區(qū)間0,3任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率解設(shè)事件A為“方程x22axb20有實根”當(dāng)a0，b0時，方程x22axb20有實根的充要條件為ab.(1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值事件A中包含9個基本事件，故事件A發(fā)生的概率為P(A).(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為(a，b)|0a3,0b2，構(gòu)成事件A的區(qū)域為(a，b)|0a3,0b2，ab，如圖所以所求的概率為P(A).5甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；(2)如果甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率解(1)設(shè)甲、乙兩船到達時間分別為x、y，則0x<24,0y<24且yx>4或yx<4.作出區(qū)域設(shè)“兩船無需等待碼頭空出”為事件A，則P(A).(2)當(dāng)甲船的停泊時間為4小時，乙船停泊時間為2小時，兩船不需等待碼頭空出，則滿足xy>2或yx>4，設(shè)在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域P(B).15