第一章 立體幾何初步章末復習學習目標1.整合知識結(jié)構(gòu)，形成知識網(wǎng)絡、深化所學知識.2.會畫幾何體的直觀圖，并能計算幾何體的表面積和體積.3.熟練掌握線線、線面、面面間的平行與垂直關(guān)系1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截而成的這三種幾何體都是多面體(2)圓柱、圓錐、圓臺、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉(zhuǎn)而成的，它們都稱為旋轉(zhuǎn)體在研究它們的結(jié)構(gòu)特征以及解決應用問題時，常需作它們的軸截面或截面(3)由柱、錐、臺、球組成的簡單組合體，研究它們的結(jié)構(gòu)特征實質(zhì)是將它們分解成多個基本幾何體2空間幾何體的直觀圖斜二測畫法為：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法它的主要步驟：畫軸；畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x、y、z軸的線段；截線段：平行于x、z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?幾何體的表面積和體積的有關(guān)計算(1)常見幾何體的側(cè)面積和體積的計算公式面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlVShr2hr2圓臺S側(cè)(r1r2)lV(S上S下)hh(rrr1r2)直棱柱S側(cè)chVSh正棱錐S側(cè)chVSh正棱臺S側(cè)(cc)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3(2)求幾何體體積常用技巧等體積法；割補法4平行關(guān)系(1)基本性質(zhì)4平行于同一條直線的兩條直線平行即如果直線ab，cb，那么ac.(2)直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理條件結(jié)論符號語言判定如果不在一個平面的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行這條直線和這個平面平行l(wèi)，m，lml性質(zhì)如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交這條直線和兩平面的交線平行l(wèi)，l，mlm(3)平面與平面平行的判定文字語言：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行符號語言：a，b，abP，a，b.圖形語言：如圖所示(4)平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行符號語言：，a，bab.圖形語言：如圖所示作用：證明兩直線平行5垂直關(guān)系(1)直線與平面垂直的判定定理定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面(2)直線與平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)1：如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直符號表示：ab.性質(zhì)2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行(3)面面垂直的判定定理如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直(4)面面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面6共面與異面直線(1)共面：空間中的幾個點或幾條直線，如果都在同一平面內(nèi)，我們就說它們共面(2)異面直線：既不平行又不相交的直線1菱形的直觀圖仍是菱形(×)2簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差()3夾在兩平行平面的平行線段相等()類型一空間幾何體的表面積與體積例1如圖，從底面半徑為2a，高為a的圓柱中，挖去一個底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比解由題意知，S12×2a×a2×(2a)2(48)a2，S2S1aa2(49)a2，S1S2(48)(49)反思與感悟空間幾何體的體積與表面積的計算方法(1)等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個面都可作底面來處理，恰當?shù)剡M行換底等積變換便于問題的求解(2)割補法：像求平面圖形的面積一樣，割補法是求幾何體體積的一個重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個熟悉的柱、錐、臺體或它們的組合體；“補”就是通過補形，使它轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體總之，割補法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體來解決(3)展開法：把簡單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開成平面圖形，這樣便把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可以有效地解決簡單空間幾何體的表面積問題或側(cè)面上(球除外)兩點間的距離問題(4)構(gòu)造法：當探究某些幾何體性質(zhì)較困難時，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對稱性比較好的幾何體，以此來研究所求幾何體的性質(zhì)跟蹤訓練1如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，求三棱錐A1AB1D1的高解設三棱錐A1AB1D1的高為h，則h××(a)2.又a×a2，所以，所以ha.所以三棱錐A1AB1D1的高為a.類型二空間中的平行問題例2如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點求證：(1)GE平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.證明(1)取B1D1中點O，連接GO，OB，易證OG綊B1C1，BE綊B1C1，OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形OBGE.OB平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，GE平面BB1D1D.(2)由正方體性質(zhì)得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.連接HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.反思與感悟(1)判斷線線平行的方法利用定義：證明線線共面且無公共點利用平行公理：證明兩條直線同時平行于第三條直線利用線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.利用面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab.利用線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab.(2)判定線面平行的方法利用定義：證明直線a與平面沒有公共點，往往借助反證法利用直線和平面平行的判定定理：a，b，aba.利用面面平行的性質(zhì)的推廣：，aa.(3)判定面面平行的方法利用面面平行的定義：兩個平面沒有公共點利用面面平行的判定定理：a，b，abA，a，b.垂直于同一條直線的兩個平面平行，即a，a.平行于同一個平面的兩個平面平行，即，.跟蹤訓練2如圖，ABC為正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中點，N是EC的中點，求證：平面DMN平面ABC.證明M，N分別是EA與EC的中點，MNAC，又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC，DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC，N為EC中點，EC2BD，NC綊BD，四邊形BCND為矩形，DNBC，又DN平面ABC，BC平面ABC，DN平面ABC，又MNDNN，平面DMN平面ABC.類型三空間中的垂直關(guān)系例3如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點，且AECD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點，將ADE沿AE折起，使得DEEC.(1)求證：AE平面CDE；(2)求證：FG平面BCD；(3)在線段AE上找一點R，使得平面BDR平面DCB，并說明理由(1)證明由已知得DEAE，AEEC.DEECE，DE，EC平面DCE，AE平面CDE.(2)證明取AB的中點H，連接GH，F(xiàn)H，GHBD，F(xiàn)HBC.GH平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理，F(xiàn)H平面BCD，又GHFHH，平面FHG平面BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.(3)解取線段AE的中點R，DC的中點M，DB的中點S，連接MS，RS，BR，DR，EM，則MS綊BC.又RE綊BC，MS綊RE，四邊形MERS是平行四邊形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中點，EMDC.由(1)知AE平面CDE，AEBC，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，EM平面BCD.EMRS，RS平面BCD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.反思與感悟空間中垂直關(guān)系的判定方法(1)判定線線垂直的方法利用線面垂直的性質(zhì)(若a，b，則ab)(2)判定線面垂直的方法線面垂直定義(一般不易驗證任意性)線面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(ab，ba)面面垂直的性質(zhì)(，l，a，ala)面面平行的性質(zhì)(a，a)(3)面面垂直的判定方法利用面面垂直的判定定理(a，a)跟蹤訓練3如圖，在ABC中，ACBCAB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(1)求證：GF平面ABC；(2)求證：平面EBC平面ACD；(3)求幾何體ADEBC的體積V.(1)證明如圖，取BE的中點H，連接HF，GH.因為G，F(xiàn)分別是EC和BD的中點，所以HGBC，HFDE.又因為四邊形ADEB為正方形，所以DEAB，從而HFAB.所以HF平面ABC，HG平面ABC.又因為GHHFH，所以平面HGF平面ABC，又GF平面HGF，所以GF平面ABC.(2)證明因為四邊形ADEB為正方形，所以EBAB.又因為平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以BE平面ABC，所以BEAC.又因為CA2CB2AB2，所以ACBC.又因為BEBCB，所以AC平面BCE.又因為AC平面ACD，從而平面EBC平面ACD.(3)解取AB的中點N，連接CN，因為ACBC，所以CNAB，且CNABa.又平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以CN平面ABED.因為CABED是四棱錐，所以VCABEDSABED·CNa2·aa3.即幾何體ADEBC的體積Va3.1已知圓錐的母線長為10 cm，側(cè)面積為60 cm2，則此圓錐的體積為()A96 cm3 B48 cm3C96 cm3 D48 cm3答案A解析圓錐的側(cè)面積為rl10r60，得r6.則h8，所以圓錐的體積為r2h×62×896.2若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面答案B解析當l1l2，l2l3時，l1也可能與l3相交或異面，故A錯；l1l2，l2l3l1l3，B正確；當l1l2l3時，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；l1，l2，l3共點時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱，故D錯3設有不同的直線m，n和不同的平面，下列四個命題中，正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，m，n，則C若，m，則mD若，m，m，則m答案D解析選項A中當m，n時，m與n可以平行、相交、異面；選項B中滿足條件的與可以平行，也可以相交；選項C中，當，m時，m與可以垂直，也可以平行等故選項A、B、C均不正確4.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_.答案a解析MN平面AC，平面PMNQ平面ACPQ，MNPQ，易知DPDQ，故PQDP.5.如圖，在棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求證：(1)直線PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.證明(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DEPA.又因為PA平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.(2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因為DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90°，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因為ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.1研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時可以通過作截面把空間幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題來解決另外，圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決2轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為一、選擇題1.如圖，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點，且，則()AEF與GH互相平行BEF與GH異面CEF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上DEF與GH的交點M一定在直線AC上答案D解析因為F，G分別是BC，CD上的點，且，所以GFBD，并且GFBD，因為點E，H分別是邊AB、AD的中點，所以EHBD，并且EHBD，所以EHGF，并且EHGF，所以EF與GH相交，設其交點為M，所以M面ABC，同理M面ACD，又面ABC面DACAC，所以M在直線AC上故選D.2下列命題中假命題是()A垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直B若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行C若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直D若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的相交直線分別平行，那么這兩個平面相互平行答案A解析垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面，A錯誤；選A.3如圖，在透明塑料制成的長方體ABCDA1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：有水的部分始終呈棱柱狀；水面四邊形EFGH的面積不改變；棱A1D1始終與水面EFGH平行；當EAA1時，AEBF是定值其中正確的說法是()A BC D答案C解析有水的部分始終呈棱柱狀：從棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判斷正確；水面四邊形EFGH的面積不改變：EF是可以變化的，EH不變的，所以面積是改變的，不正確；棱A1D1始終與水面EFGH平行：由直線與平面平行的判定定理及A1D1EH，可判斷正確；當EAA1時，AEBF是定值：水的體積是定值，底面面積不變，所以正確故選C.4已知m，n是兩條不重合的直線，是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：若m，m，則；若m，n，mn，則；若，則；若m，n是異面直線，m，m，n，n，則.其中真命題是()A BC D答案D解析對于，垂直于同一條直線的兩個平面平行，正確；對于，不滿足平面與平面平行的判斷定理，錯誤；對于，平面，可能相交，錯誤；對于，滿足平面與平面平行，正確5湖面上浮著一個球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個冰面直徑為24 cm，深為8 cm的空穴，則這個球的半徑為()A13 cm B26 cmC13 cm D2 cm答案A解析冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設球心為O，冰面圓的圓心為O1，球半徑為R，由圖知OBR，O1BAB12，OO1OCO1CR8，在RtOO1B中，由勾股定理R2(R8)2122，解得R13(cm)6過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比值為()A. B. C. D.答案A解析如圖所示是過球心的截面圖，r R，.7.如圖所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為1，高為8，則一質(zhì)點從A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達A1點的最短路徑的長為()A10 B9C8 D7答案A解析如圖所示，將兩個三棱柱的側(cè)面沿側(cè)棱AA1展開并拼接，則最短路徑為l10.8如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A、B的一點，則下列結(jié)論中錯誤的是()AAECEBBEDECDE平面CEBD平面ADE平面BCE答案C解析由AB是底面圓的直徑，則AEB90°，即AEEB.四邊形ABCD是圓柱的軸截面，AD底面AEB，BC底面AEB.BEAD，ADAEA，因此BE平面ADE.同理可得：AECE，平面BCE平面ADE.可得A，B，D正確而DE平面CEB不正確故選C.二、填空題9一個正四面體木塊如圖所示，點P是棱VA的中點，過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，若木塊的棱長為a，則截面面積為_答案解析在平面VAC內(nèi)作直線PDAC，交VC于D，在平面VBA內(nèi)作直線PFVB，交AB于F，過點D作直線DEVB，交BC于E，連接EF.PFDE，P，D，E，F(xiàn)四點共面，且面PDEF與VB和AC都平行，則四邊形PDEF為邊長為的正方形，故其面積為.10.一個水平放置的圓柱形儲油桶(如圖所示)，桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長的，則當油桶直立時，油的高度與桶的高度的比值是_答案解析設圓柱桶的底面半徑為R，高為h，油桶直立時油面的高度為x，由題意知，油部分所在圓弧對應的扇形的圓心角為，則hR2x，所以.11已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90°，C為該球面上的動點，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為_考點球的表面積題點與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計算問題答案144解析如圖所示，設球的半徑為R，AOB90°，SAOBR2.V三棱錐OABCV三棱錐CAOB，而AOB的面積為定值，當點C到平面AOB的距離最大時，三棱錐OABC的體積最大，當動點C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，三棱錐OABC的體積最大，此時V三棱錐OABCV三棱錐CAOB×R2×RR336，解得R6，則球O的表面積為S4R2144.三、解答題12已知三棱錐OABC的頂點A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，AOB120°，當AOC與BOC的面積之和最大時，求三棱錐OABC的體積解設球O的半徑為R，因為SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以當AOCBOC90°時，SAOCSBOC取得最大值，此時OAOC.OBOC，OBOAO，OA，OB平面AOB，所以OC平面AOB，所以V三棱錐OABCV三棱錐COABOC·OA·OBsinAOBR3sinAOB.13如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，A1B1BC，BC1，AA1AC2，E，F(xiàn)分別為A1C1，BC的中點(1)求證：C1F平面EAB；(2)求三棱錐ABCE的體積(1)證明方法一取AB中點G，連接EG，F(xiàn)G.G，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，F(xiàn)GAC，且FGAC.又ACA1C1，且ACA1C1，E為A1C1的中點，F(xiàn)GEC1，且FGEC1，四邊形FGEC1為平行四邊形，C1FEG.又EG平面ABE，C1F平面ABE，C1F平面ABE.方法二取AC中點H，連接C1H，F(xiàn)H，則C1EAH，且C1EAH，四邊形C1EAH為平行四邊形，C1HEA.又EA平面ABE，C1H平面ABE，C1H平面ABE，H、F分別為AC、BC的中點，HFAB.又AB平面ABE，F(xiàn)H平面ABE，F(xiàn)H平面ABE.又C1HFHH，C1H平面C1HF，F(xiàn)H平面C1HF，平面C1HF平面ABE.又C1F平面C1HF，C1F平面ABE.(2)解AA1AC2，BC1，ABBC，AB，三棱錐ABCE的體積為VABCEVEABCSABC·AA1×××1×2.四、探究與拓展14如圖，在三棱錐VABC中，VO平面ABC，OCD，VAVB，ADBD，則下列結(jié)論中一定成立的是_ACBC；VCVD；ABVC；SVCD·ABSABC·VO.答案解析因為VAVB，ADBD，所以VDAB.因為VO平面ABC，AB平面ABC，所以VOAB.又VOVDV，所以AB平面VCD.又CD平面VCD，VC平面VCD，所以ABVC，ABCD.又ADBD，所以ACBC(線段垂直平分線的性質(zhì))因為VO平面ABC，所以VVABCSABC·VO.因為AB平面VCD，所以VVABCVBVCDVAVCDSVCD·BDSVCD·ADSVCD·(BDAD)SVCD·AB，所以SABC·VOSVCD·AB，即SVCD·ABSABC·VO.故正確15如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBCAA1a，ACB90°，D是A1B1中點(1)求證：C1D平面A1B1BA；(2)請問，當點F在BB1上什么位置時，會使得AB1平面C1DF？并證明你的結(jié)論(1)證明A1C1B1C1，A1B1C1為等腰三角形，又A1DDB1，C1DA1B1，C1DA1A，AA1A1B1A1，C1D平面A1B1BA.(2)解由(1)可得C1DAB1，又要使AB1平面C1DF，只要DFAB1即可，又ACBA1C1B190°，且ACBCAA1a，A1B1a，AA1B1DB1F，B1Fa.即當F點與B點重合時，會使AB1平面C1DF.22