2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-6 雙曲線教案【教學(xué)目標(biāo)】1. 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)2.理解數(shù)形結(jié)合的思想3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.【重點難點】 1.教學(xué)重點：掌握雙曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì);2.教學(xué)難點：學(xué)會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真:1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)2.理解數(shù)形結(jié)合的思想3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.真題再現(xiàn);1.(xx·全國，5)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(1，3) B.(1，)C.(0，3) D.(0，)解析方程1表示雙曲線，(m2n)·(3m2n)>0，解得m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c2×2|m|4，解得|m|1，1<n<3，故選A. 答案A2.(xx·全國，11)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A. B. C. D.2解析離心率e，由正弦定理得e.故選A.答案A3.(xx·全國，11)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A. B.2 C. D.解析如圖，設(shè)雙曲線E的方程為1(a0，b0)，則|AB|2a，由雙曲線的對稱性，可設(shè)點M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MNx軸于點N(x1，0)，ABM為等腰三角形，且ABM120°，|BM|AB|2a，MBN60°，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60°a，x1|OB|BN|a2acos 60°2a.將點M(x1，y1)的坐標(biāo)代入1，可得a2b2，e，選D.答案D4.(xx·全國，5)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若·<0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.解析由題意知M在雙曲線C：y21上，又在x2y23內(nèi)部，由得y±，所以<y0<. 答案A知識梳理：知識點1雙曲線的定義1平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2(|F1F2|2c>0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a(2a<2c)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距2集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)2a<|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)2a>|F1F2|時，M點不存在知識點2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中c實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)1必會結(jié)論；(1)雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率e雙曲線的兩條漸近線互相垂直(2)漸近線的斜率與雙曲線的焦點位置的關(guān)系：當(dāng)焦點在x軸上時，漸近線斜率為±，當(dāng)焦點在y軸上時，漸近線斜率為±.(3)漸近線與離心率1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為.(4)過雙曲線的焦點垂直于實軸的直線被雙曲線截的弦長為.(5)與雙曲線1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程為t(t0)2必清誤區(qū)；直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點考點分項突破考點一：雙曲線的定義及應(yīng)用1.已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1、F2，點A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1()A. B. C D.【解析】由e2得，c2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|F2A|2a，又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.【答案】A2已知F1，F(xiàn)2為雙曲線1的左、右焦點，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點，點A在雙曲線上，則|AP|AF2|的最小值為()A.4 B.4C.2 D.2【解析】由題意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點共線時，取得最小值，則|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|AP|AF1|2a2.故選C.【答案】C3已知F為雙曲線C：1的左焦點，P，Q為雙曲線C上的點若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則PQF的周長為_【解析】由雙曲線C：1，知a3，b4，則c5，|PQ|4b16.F(5,0)，點A(5,0)為右焦點又右焦點A(5,0)在線段PQ上，知點P、Q在雙曲線的右支上根據(jù)雙曲線定義，|PF|PA|6，|QF|QA|6.相加得，|PF|QF|(|PA|QA|)12，于是|PF|QF|12|PQ|28.從而PQF的周長為|PF|QF|PQ|44.【答案】44歸納；“焦點三角形”中常用到的知識點及技巧1常用知識點：在“焦點三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經(jīng)常使用2技巧：經(jīng)常結(jié)合|PF1|PF2|2a，運用平方的方法，建立它與|PF1|PF2|的聯(lián)系提醒：利用雙曲線的定義解決問題，要注意三點：(1)距離之差的絕對值(2)2a<|F1F2|.(3)焦點所在坐標(biāo)軸的位置考點二: 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(1)(xx·江西高考)過雙曲線C：1的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A.若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(O為坐標(biāo)原點)，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1(2)(xx·全國卷)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A. B2 C. D.【解析】(1)由雙曲線C：1知，右頂點為(a,0)，不妨設(shè)雙曲線C的一條漸近線為yx.將xa代入上式，得交點A(a，b)，記雙曲線C的右焦點為F，則F(c,0)，依題意，|OF|FA|4，解得故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故選A.(2)不妨取點M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則|BM|AB|2a，MBx180°120°60°，M點的坐標(biāo)為.M點在雙曲線上，1，ab，ca，e.故選D.【答案】(1)A(2)D跟蹤訓(xùn)練：1(xx·全國卷)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若·0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】由題意知a，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)·<0，(x0)(x0)y<0，即x3y<0.點M(x0，y0)在雙曲線上，y1，即x22y，22y3y<0，<y0<.故選A.【答案】A2(xx·天津高考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y2x10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1【解析】依題意，由直線l：y2x10.令y0，得雙曲線的一個焦點為(5,0)，c5，則a2b225，又雙曲線1的一條漸近線為y2x.所以2，即b2a，聯(lián)立方程，得a25，b220.故所求雙曲線方程為1，故選A.【答案】A歸納：1求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，寫出方程(2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點的位置，應(yīng)注意分類討論或恰當(dāng)設(shè)置簡化討論常見設(shè)法有：與雙曲線1共漸近線的可設(shè)為(0)；若漸近線方程為y±x，則可設(shè)為(0)；若過兩個已知點，則設(shè)為1(mn<0)2求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍；另一種是建立a，b，c的齊次關(guān)系式，將b用a，c表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關(guān)系式，進而求解3求曲線1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令0，即得兩漸近線方程±0.考點三: 雙曲線與直線、圓、橢圓的綜合問題(1)已知雙曲線1與直線y2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，) B(1，C(，) D，) (2)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A. B. C. D.【解析】(1)雙曲線的一條漸近線方程為yx，則由題意得>2，e>，故選C.(2)由橢圓C1：y21知焦點F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，由于四邊形AF1BF2為矩形，知AF1AF2，因此|AF1|AF2|4，|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，聯(lián)立得|AF2|AF1|2，于是雙曲線C2中，有2a2，2c2，故雙曲線C2的離心率e，故選D.【答案】(1)C(2)D跟蹤訓(xùn)練：1(xx·山東高考)已知a>b>0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為()Ax±y0 B.x±y0Cx±2y0 D2x±y0【解析】由題意知e1，e2，e1·e2·.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，14，即14，解得±，.令0，解得bx±ay0，x±y0.【答案】A2設(shè)F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點，過點F且斜率為1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若3，則雙曲線C的離心率e()A. B. C. D.【解析】設(shè)F(c,0)，則過雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點F作斜率為1的直線為y(xc)，而雙曲線的漸近線方程是y±x，由得B，由得A，又3，則3·，即ba，則ca，則e.故選D.【答案】D歸納：解決與雙曲線有關(guān)綜合問題的方法1解決雙曲線與橢圓、圓、拋物線的綜合問題時，要充分利用橢圓、圓、拋物線的幾何性質(zhì)得出變量間的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解2解決直線與雙曲線的綜合問題，通常是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形注意取舍。學(xué)生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學(xué)生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點掃描，來澄清概念，加強理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進行小結(jié)，由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)2.理解數(shù)形結(jié)合的思想3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.學(xué)生回顧，總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學(xué)生版練與測學(xué)生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。