§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題知識(shí)點(diǎn)生活中的優(yōu)化問題(1)生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題(2)利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值(3)解決優(yōu)化問題的基本思路：上述解決優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程1生活中常見到的收益最高，用料最省等問題就是數(shù)學(xué)中的最大、最小值問題()2解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型()類型一幾何中的最值問題例1請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)AEFBx(cm)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題解V(x)(x)2×(602x)×x2×(602x)2x360x2(0<x<30)V(x)6x2120x6x(x20)令V(x)0，得x0(舍去)或x20.當(dāng)0<x<20時(shí)，V(x)>0；當(dāng)20<x<30時(shí)，V(x)<0.V(x)在x20時(shí)取極大值也是唯一的極值，故為最大值底面邊長為x20(cm)，高為(30x)10(cm)，即高與底面邊長的比值為.引申探究本例條件不變，若要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？解AEx，HEx.EF602x，EGEF(602x)(30x)S側(cè)4×HE×EG4×x×(30x)8x(30x)8x2240x8(x15)28×152.當(dāng)x15時(shí)，S側(cè)最大為1 800 cm2.反思與感悟面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實(shí)際幾何問題，求解時(shí)先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?，將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗(yàn)跟蹤訓(xùn)練1(1)已知圓柱的表面積為定值S，當(dāng)圓柱的容積V最大時(shí)，圓柱的高h(yuǎn)的值為_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題(2)將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，當(dāng)正方形與圓形面積之和最小時(shí)，圓的周長為_ cm.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題答案(1)(2)解析(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則S圓柱底2r2，S圓柱側(cè)2rh，圓柱的表面積S2r22rh.h，又圓柱的體積Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0，得S6r2，h2r，V(r)只有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)h2r時(shí)圓柱的容積最大又r，h2.即當(dāng)圓柱的容積V最大時(shí)，圓柱的高h(yuǎn)為.(2)設(shè)彎成圓的一段鐵絲長為x(0<x<100)，則另一段長為100x.設(shè)正方形與圓形的面積之和為S，則正方形的邊長a，圓的半徑r.故S22(0<x<100)因此S，令S0，則x.由于在(0,100)內(nèi)，函數(shù)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，則問題中面積之和的最小值顯然存在，故當(dāng)x cm時(shí)，面積之和最小類型二實(shí)際生活中的最值問題例2某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題解(1)因?yàn)楫?dāng)x5時(shí)，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.從而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4或x6.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)極大值由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)所以當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大反思與感悟解決此類有關(guān)利潤的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有(1)利潤收入成本(2)利潤每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)跟蹤訓(xùn)練2已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)(1)求年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題解(1)當(dāng)0<x10時(shí)，WxR(x)(102.7x)8.1x10；當(dāng)x>10時(shí)，WxR(x)(102.7x)982.7x.所以W(2)當(dāng)0<x10時(shí)，由W8.10，得x9，當(dāng)x(0,9)時(shí)，W>0，當(dāng)x(9,10)時(shí)，W<0，所以當(dāng)x9時(shí)，W取得最大值，且Wmax8.1×9×931038.6，當(dāng)x>10時(shí)，W9898238，當(dāng)且僅當(dāng)2.7 x，即x時(shí)，Wmax38，綜上可得，當(dāng)x9時(shí)，W取得最大值38.6.故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元例3某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2)x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)用料、費(fèi)用最少問題解(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)m(512)令f(x)0，得512，所以x64.當(dāng)0<x<64時(shí)，f(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)上為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時(shí)，f(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)上為增函數(shù)，所以f(x)在x64處取得最小值此時(shí)n119.反思與感悟(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對(duì)象正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答(2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f(x)0時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小)值跟蹤訓(xùn)練3為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)用料、費(fèi)用最少問題解(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造費(fèi)用為C1(x)6x.因此得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20C(x)C1(x)20×6x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)當(dāng)0<x<5時(shí)，f(x)<0；當(dāng)5<x<10時(shí)，f(x)>0，故當(dāng)x5時(shí)，f(x)取到最小值，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)6×570.答當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元.1煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度(單位：)為f(x)x3x28(0x5)，那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是()A8 B.C1 D8考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的其他最值問題答案C解析原油溫度的瞬時(shí)變化率為f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以當(dāng)x1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值1.2要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為()A. cm B. cmC. cm D. cm考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題答案B解析設(shè)圓錐的高為h cm,0<h<20，V圓錐(202h2)×h(400h2)hV(4003h2)，令V(h)0得h，當(dāng)h時(shí)，V>0，當(dāng)h時(shí)，V<0，故當(dāng)h時(shí)，體積最大3某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一批商品若該商品零售價(jià)定為P元，銷售量為Q件，且銷量Q與零售價(jià)P有如下關(guān)系：Q8 300170PP2，則最大毛利潤為(毛利潤銷售收入進(jìn)貨支出)()A30元 B60元C28 000元 D23 000元考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題答案D解析毛利潤為(P20)Q，即f(P)(P20)(8 300170PP2)，f(P)3P2300P11 7003(P130)(P30)令f(P)0，得P30或P130(舍去)又P20，)，故f(P)maxf(P)極大值，故當(dāng)P30時(shí)，毛利潤最大，所以f(P)maxf(30)23 000(元)4要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器，已知底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_元考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)用料、費(fèi)用最少問題答案160解析設(shè)底面長為x，由題意得底面寬為.設(shè)總造價(jià)為y，則y20x×10×1×，即y20x80，y20，令y0，得x2.當(dāng)x2時(shí)，ymin160(元)5某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0x21)的平方成正比已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期多賣出24件(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題解(1)設(shè)商品降價(jià)x元，則多賣出的商品件數(shù)為kx2.若記商品一個(gè)星期的獲利為f(x)，則有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)由已知條件，得24k×22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)由(1)得，f(x)18x2252x43218(x2)(x12)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)極小值極大值故當(dāng)x12時(shí)，f(x)取得極大值因?yàn)閒(0)9 072，f(12)11 664.所以定價(jià)為301218(元)，才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大1利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值2正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問題的主要思路另外需要特別注意(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實(shí)際問題相聯(lián)系；(3)必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用一、選擇題1若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則當(dāng)其表面積最小時(shí)底面邊長為()A. B.C. D2考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題答案C解析設(shè)底面邊長為x，則表面積Sx2V(x>0)，S(x34V)令S0，得x，可判斷當(dāng)x時(shí)，S取得最小值2如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為()A.3 B.3C.3 D.3考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題答案A解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r2hl，h.Vr2hr22r3，則Vlr6r2.令V0，得r0或r，而r>0，r是其唯一的極值點(diǎn)當(dāng)r時(shí)，V取得最大值，最大值為3.3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品， 固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)則當(dāng)總利潤P(x)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A150 B200C250 D300考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題答案D解析由題意得，總利潤P(x)當(dāng)0x390時(shí)，令P(x)0，得x300，又當(dāng)x>390時(shí)，P(x)70 090100x為減函數(shù)，所以當(dāng)每年生產(chǎn)300單位的產(chǎn)品時(shí)，總利潤最大，故選D.4若方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時(shí)，它的高為()A4 B6C4.5 D8考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)用料、費(fèi)用最少問題答案A解析設(shè)底面邊長為x，高為h，則V(x)x2·h256，h.S(x)x24xhx24x·x2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，當(dāng)x8時(shí)，S(x)取得最小值h4.5某超市中秋前30天，月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(0<t30，tZ)的關(guān)系大致滿足f(t)t210t12，則該超市前t天平均售出的月餅最少為()A14個(gè) B15個(gè)C16個(gè) D17個(gè)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的其他最值問題答案D解析記g(t)t10，令g(t)10，得t2(負(fù)值舍去)，則g(t)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2，30上單調(diào)遞增，由于tZ，且g(3)g(4)17，g(t)min17.6某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)已知貸款的利率為0.048 6，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去設(shè)存款利率為x，x(0,0.048 6)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 6考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題答案B解析依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以銀行的收益是y0.048 6kx2kx3(0<x<0.048 6)，則y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)當(dāng)0<x<0.032 4時(shí)，y>0；當(dāng)0.032 4<x<0.048 6時(shí)，y<0.所以當(dāng)x0.032 4時(shí)，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.032 4時(shí)，銀行獲得最大收益7圓柱形金屬飲料罐的體積一定，要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省，則它的高與底面半徑的比為()A21 B12C14 D41考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)用料、費(fèi)用最少問題答案A解析設(shè)其體積為V，高與底面半徑分別為h，r，則Vr2h，即h.由題意知，當(dāng)表面積S最小時(shí)所用材料最省S2r22rh2r22r2r2.令S4r0，得r，當(dāng)r時(shí)，h.則hr21時(shí)，表面積S最小二、填空題8.如圖，內(nèi)接于拋物線y1x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題答案解析設(shè)CDx，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，矩形ABCD的面積Sf(x)x·x，x(0,2)令f(x)x210，得x1(舍)，x2，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)是單調(diào)遞增的，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)是單調(diào)遞減的，當(dāng)x時(shí)，f(x)取最大值.9統(tǒng)計(jì)表明：某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為yx3x8，x(0,120，且甲、乙兩地相距100千米，則當(dāng)汽車以_千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地的耗油量最少考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)用料、費(fèi)用最少問題答案80解析當(dāng)速度為x千米/時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為y升，依題意得，y·x2(0<x120)則y(0<x120)令y0，得x80，當(dāng)x(0,80)時(shí)，y<0，該函數(shù)遞減；當(dāng)x(80,120時(shí)，y>0，該函數(shù)遞增，所以當(dāng)x80時(shí)，y取得最小值10某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x_噸考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)用料、費(fèi)用最少問題答案20解析設(shè)該公司一年內(nèi)總共購買n次貨物，則n，總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函數(shù)f(x)的最小值點(diǎn)，故當(dāng)x20時(shí)，f(x)最小11某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本為C(x)1 200x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，則產(chǎn)量定為_件時(shí)總利潤最大考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題答案25解析由題意知502，解得k25×104.產(chǎn)品的單價(jià)P.總利潤L(x)x1 200x35001 200x3，L(x)250xx2，令L(x)0，得x25，當(dāng)x25時(shí)，總利潤最大12.一個(gè)帳篷，它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐(如圖所示)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為_ m時(shí)，帳篷的體積最大考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題答案2解析設(shè)OO1x，則1<x<4.由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為.于是底面正六邊形的面積為6··()2(82xx2)帳篷的體積為V(x)(82xx2)(1612xx3)則V(x)(123x2)令V(x)0，解得x2(不合題意，舍去)或x2.當(dāng)1<x<2時(shí)，V(x)>0，V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時(shí)，V(x)<0，V(x)為減函數(shù)綜上，當(dāng)x2時(shí)，V(x)最大三、解答題13.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱體部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球體部分每平方米建造費(fèi)用為4千元設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y千元(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；(2)確定r和l為何值時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最小，并求出最小建造費(fèi)用考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)用料、費(fèi)用最少問題解(1)因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米，所以r2l，解得lr，所以圓柱的側(cè)面積為2rl2r，兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4r2，所以y×34r2×48r2.又lr>0，即r<，所以定義域?yàn)?0, )(2)因?yàn)閥16r，令y>0得2<r<2；令y<0得0<r<2，所以當(dāng)r2時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最小為96千元，此時(shí)l.四、探究與拓展14某民營企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和市場調(diào)查，甲產(chǎn)品的利潤與投入資金成正比，乙產(chǎn)品的利潤與投入資金的算術(shù)平方根成正比，已知甲、乙產(chǎn)品分別投入資金4萬元時(shí)，所獲得利潤(萬元)情況如下：投入資金甲產(chǎn)品利潤乙產(chǎn)品利潤412.5該企業(yè)計(jì)劃投入資金10萬元生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，那么可獲得的最大利潤(萬元)是()A. B.C. D.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題答案B解析甲產(chǎn)品的利潤與投入資金成正比，設(shè)y1k1x，當(dāng)投入4萬時(shí)，利潤為1萬，即4k11，得k1，即y1.乙產(chǎn)品的利潤與投入資金的算術(shù)平方根成正比，設(shè)y2k2，當(dāng)投入4萬時(shí)，利潤為2.5萬，即k2，得2k2，即k2，即y2.設(shè)乙產(chǎn)品投入資金為x，則甲產(chǎn)品投入資金為10x,0x10，則銷售甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤為y(10x)，則y，由y>0，得52>0，即0x<，由y<0，得52<0，即<x10，即當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得極大值同時(shí)也是最大值，此時(shí)y·.15某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為13萬元/輛本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車的投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷售量也相應(yīng)增加，年銷售量y關(guān)于x的函數(shù)為y3 240，則當(dāng)x為何值時(shí)，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？(年利潤(每輛車的出廠價(jià)每輛車的投入成本)×年銷售量)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題解由題意得，本年度每輛車的投入成本為10(1x)，每輛車的出廠價(jià)為13(10.7x)，年利潤為f(x)13(10.7x)10(1x)·y(30.9x)×3 240×3 240(0.9x34.8x24.5x5)，則f(x)3 240(2.7x29.6x4.5)972(9x5)(x3)，由f(x)0，解得x或x3(舍去)，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)所以當(dāng)x時(shí)，f(x)取極大值，f 20 000.因?yàn)閒(x)在(0,1)內(nèi)只有一個(gè)極大值，所以它是最大值所以當(dāng)x時(shí)，本年度的年利潤最大，最大利潤為20 000萬元18