第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考定位三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，主要從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考查：1.三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問(wèn)題以及由圖象確定解析式問(wèn)題，主要以選擇題、填空題的形式考查；2.利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查.真 題 感 悟 1.(2016·浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)sin2xbsin xc，則f(x)的最小正周期()A.與b有關(guān)，且與c有關(guān) B.與b有關(guān)，但與c無(wú)關(guān)C.與b無(wú)關(guān)，且與c無(wú)關(guān) D.與b無(wú)關(guān)，但與c有關(guān)解析因?yàn)閒(x)sin2xbsin xcbsin xc，其中當(dāng)b0時(shí)，f(x)c，f(x)的周期為；b0時(shí)，f(x)的周期為2，即f(x)的周期與b有關(guān)但與c無(wú)關(guān)，故選B.答案B2.(2017·全國(guó)卷)函數(shù)f(x)sincos的最大值為()A. B.1 C. D.解析cos cossin，則f(x)sinsinsin，函數(shù)的最大值為.答案A3.(2018·天津卷)將函數(shù)ysin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)()A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上單調(diào)遞減解析把函數(shù)ysin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)g(x)sinsin 2x的圖象，由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，令k1，得x，即函數(shù)g(x)sin 2x的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，故選A.答案A4.(2016·浙江卷)已知2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，則A_，b_.解析2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x1sin1Asin(x)b(A0)，A，b1.答案1考 點(diǎn) 整 合1.常見(jiàn)三種三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)(下表中kZ)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象遞增區(qū)間2k，2k遞減區(qū)間2k，2k奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心(k，0)對(duì)稱(chēng)軸xkxk周期性222.三角函數(shù)的常用結(jié)論(1)yAsin(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱(chēng)軸方程可由xk(kZ)求得.(2)yAcos(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱(chēng)軸方程可由xk(kZ)求得.(3)yAtan(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù).3.三角函數(shù)的兩種常見(jiàn)變換熱點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象【例1】 函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0，0)的圖象如圖所示，則f 的值為_(kāi).解析根據(jù)圖象可知，A2，所以周期T，2.又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以有sin1，而0，所以，則f(x)2sin，因此f 2sin1.答案1探究提高已知圖象求函數(shù)yAsin(A0，0)的解析式時(shí)，常用的方法是待定系數(shù)法.由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.【訓(xùn)練1】 (2018·寧波適應(yīng)考試)已知函數(shù)f(x)2sinsin2sin(x)cos(x).(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸；(2)先將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求h(x)g(x)2g(x)1在上的值域.解(1)f(x)2cossinsin 2xsinsin 2xcos 2xsin 2x2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ).由2xk(kZ)，得x(kZ)，故f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin，將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y2sin2sin 2x的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)2sin x的圖象.所以h(x)g(x)2g(x)14sin2x2sin x14(sin x)2.當(dāng)x時(shí)，sin x.故函數(shù)h(x)在上的值域?yàn)?熱點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)考法1三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例21】 已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)yf(x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為.(1)求f的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(0)2sin0，又0|，可得，所以f(x)2sin x，由題意得2·，所以2.故f(x)2sin 2x.因此f2sin .(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到f 的圖象，所以g(x)f2sin2sin.當(dāng)2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，因此g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).探究提高對(duì)于函數(shù)yAsin(x)(A0，0)單調(diào)區(qū)間的求解，其基本方法是將x作為一個(gè)整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為yAsin(x)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當(dāng)A0，0時(shí)，需先利用誘導(dǎo)公式變形為yAsin(x)，則yAsin(x)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間.考法2由三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)【例22】 (1)(2018·全國(guó)卷)若f(x)cos xsin x在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是()A. B. C. D.(2)已知>0，在函數(shù)y2sin x與y2cos x 的圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2，則_.解析(1)法一f(x)cos xsin xcos，且函數(shù)ycos x在區(qū)間0，上單調(diào)遞減，則由0x，得x.因?yàn)閒(x)在a，a上是減函數(shù)，所以解得a，所以0<a，所以a的最大值是，故選A.法二因?yàn)閒(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，則由題意，知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即sin0在a，a上恒成立，結(jié)合函數(shù)ysin的圖象可知有解得a，所以0<a，所以a的最大值是，故選A.(2)由得sin xcos x，tan x1，xk (kZ).>0，x (kZ).設(shè)距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1，x2，則|x2x1|.又結(jié)合圖形知|y2y1|2，且(x1，y1)與(x2，y2)間的距離為2，(x2x1)2(y2y1)2(2)2，(2)212，.答案(1)A(2)探究提高此類(lèi)題屬于三角函數(shù)性質(zhì)的逆用，解題的關(guān)鍵是借助于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出含參數(shù)的不等式，再根據(jù)參數(shù)范圍求解.或者，也可以取選項(xiàng)中的特殊值驗(yàn)證.考法3三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例23】 (2018·北京海淀區(qū)期末)設(shè)函數(shù)f(x)sin2x2sin x·cos xcos2x(xR)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)，其中，為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在x上的值域.解(1)因?yàn)閒(x)sin2x2sin x·cos xcos2xcos 2xsin 2x2sin，由直線x是yf(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ).又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由(1)知f(x)2sin，由yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，得f 0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin.x，x，sin，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，2.探究提高求三角函數(shù)最值的兩條思路：(1)將問(wèn)題化為yAsin(x)B的形式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解；(2)將問(wèn)題化為關(guān)于sin x或cos x的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解.訓(xùn)練2(2017·浙江卷)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，則f 2sin2.(2)f(x)的最小正周期為.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.1.已知函數(shù)yAsin(x)B(A0，0)的圖象求解析式(1)A，B.(2)由函數(shù)的周期T求，.(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.2.運(yùn)用整體換元法求解單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱(chēng)性類(lèi)比ysin x的性質(zhì)，只需將yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整體代入求解.(1)令xk(kZ)，可求得對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)令xk(kZ)，可求得對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)；(3)將x看作整體，可求得yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間，注意的符號(hào).3.函數(shù)yAsin(x)B的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B(一角一函數(shù))的形式；第二步：把“x”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱(chēng)性等問(wèn)題一、選擇題1.(2018·全國(guó)卷)函數(shù)f(x)的最小正周期為()A. B. C. D.2解析f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期T.故選C.答案C2.已知曲線C1：ycos x，C2：ysin，則下面結(jié)論正確的是()A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2解析易知C1：ycos xsin，把曲線C1上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)ysin的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)ysinsin的圖象，即曲線C2，因此D項(xiàng)正確.答案D3.(2018·金華一中調(diào)研)已知f(x)asin xbcos x，若f f ，則直線axbyc0的傾斜角為()A. B.C. D.解析在ff中，令x.得f(0)f，即ba，直線axbyc0的斜率k1.因此直線的傾斜角為.答案D4.(2018·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2，則()A.f(x)的最小正周期為，最大值為3B.f(x)的最小正周期為，最大值為4C.f(x)的最小正周期為2，最大值為3D.f(x)的最小正周期為2，最大值為4解析易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，則f(x)的最小正周期為，當(dāng)xk(kZ)時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為4.故選B.答案B5.(2018·北京卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)cos(>0).若f(x)f對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為()A. B. C. D.解析由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有f(x)f成立，故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)，8k(kZ)，又>0，min.答案A6.設(shè)函數(shù)f(x)2sin(x)，xR，其中>0，|<.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，則()A.， B.，C.， D.，解析f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期為43，f(x)2sin.2sin2，得2k，kZ，又|<，取k0，得.答案A7.若將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為()A.x(kZ) B.x(kZ)C.x(kZ) D.x(kZ)解析由題意將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為y2sin，由2xk(kZ)得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x(kZ).答案B二、填空題8.(2018·麗水調(diào)研)已知函數(shù)f(x)tan，則f(x)的最小正周期為_(kāi)，f _.解析函數(shù)f(x)tan的最小正周期為T(mén)，ftan2.答案29.(2018·江蘇卷)已知函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)，則的值是_.解析由函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)，得sin±1，因?yàn)?lt;<，所以<<，則，.答案10.(2018·全國(guó)卷)函數(shù)f(x)cos在0，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi).解析由題意知，cos0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，當(dāng)k0時(shí)，x；當(dāng)k1時(shí)，x；當(dāng)k2時(shí)，x，均滿足題意，所以函數(shù)f(x)在0，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.答案311.函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x)_，f(x1x2)_.解析觀察圖象可知，A1，T，則2.又點(diǎn)是“五點(diǎn)法”中的始點(diǎn)，2×0，則f(x)sin.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x.又x1，x2，且f(x1)f(x2)，所以，則x1x2，因此f(x1x2)sin.答案sin三、解答題12.(2018·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)4sin3xcos x2sin xcos xcos 4x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解f(x)2sin xcos xcos 4xsin 2xcos 2xcos 4xsin 4xcos 4xsin.(1)函數(shù)f(x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)因?yàn)?x，所以4x.此時(shí)sin1，所以sin，即f(x).所以f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，.13.(2018·北京卷)已知函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值.解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所以f(x)的最小正周期為T(mén).(2)由(1)知f(x)sin.由題意知xm，所以2x2m.要使得f(x)在上的最大值為，即sin在上的最大值為1.所以2m，即m.所以m的最小值為.14.(2018·浙江五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)cossin2xcos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)2f(x)，求g(x)的值域.解(1)f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.則f(x)的最小正周期為，由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x(kZ).(2)g(x)f(x)2f(x)sin2sin.當(dāng)sin時(shí)，g(x)取得最小值，當(dāng)sin1時(shí)，g(x)取得最大值2，所以g(x)的值域?yàn)?15.(2018·寧波調(diào)研)已知函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解為x1，x2，求cos(x1x2)的值.解(1)f(x)cos xsin x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin.當(dāng)2x2k(kZ)，即xk(kZ)時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1.(2)由(1)知，函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為xk，kZ，當(dāng)x(0，)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為x.又方程f(x)在(0，)上的解為x1，x2.x1x2，則x1x2，cos(x1x2)cossin，又f(x2)sin，故cos(x1x2).16