2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案【教學(xué)目標(biāo)】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：；2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真: 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.真題再現(xiàn);1(xx·全國(guó)卷)過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|()A2 B8 C4 D10【解析】設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則解得圓的方程為x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故選C.【答案】C2(xx·湖南高考)若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m()A21 B19 C9 D11【解析】圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y4)225m.又圓C1：x2y21，|C1C2|5.又兩圓外切，51，解得m9.【答案】C3(xx·廣東高考)平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0【解析】所求直線與直線2xy10平行，設(shè)所求的直線方程為2xym0.所求直線與圓x2y25相切，m±5.即所求的直線方程為2xy50或2xy50.【答案】A4(xx·安徽高考)過點(diǎn)P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】法一如圖，過點(diǎn)P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.由題意知|OP|2，OA1，則sin ，所以30°，BPA60°.故直線l的傾斜角的取值范圍是.選D.法二設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為yk(x)1，則由直線和圓有公共點(diǎn)知1.解得0k.故直線l的傾斜角的取值范圍是.【答案】D知識(shí)梳理：知識(shí)點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系與判斷方法方法過程依據(jù)結(jié)論代數(shù)法聯(lián)立方程組消去x(或y)得一元二次方程，計(jì)算b24ac>0相交0相切<0相離幾何法計(jì)算圓心到直線的距離d，比較d與半徑r的關(guān)系相交時(shí)弦長(zhǎng)為2d<r相交dr相切d>r相離知識(shí)點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法 位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離dr1r2無解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1r2|dr1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d|r1r2|(r1r2)無解1必會(huì)結(jié)論;(1)兩圓公切線的條數(shù)位置關(guān)系內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離公切線條數(shù)01234(2)圓的切線方程常用結(jié)論過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.過圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.過圓x2y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0xy0yr2.(3)兩圓相交時(shí)公共弦的方程圓C1：x2y2D1xE1yF10與圓C2：x2y2D2xE2yF20相交時(shí)，公共弦所在的直線方程為(D2D1)x(E2E1)y(F2F1)0.2必清誤區(qū)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解考點(diǎn)分項(xiàng)突破考點(diǎn)一：直線與圓的位置1(xx·浙江高考)已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是()A2 B4 C6 D8【解析】由圓的方程x2y22x2ya0可得，圓心為(1,1)，半徑r.圓心到直線xy0的距離為d.由r2d22得2a24，所以a4.【答案】B2(xx·山東高考)一條光線從點(diǎn)(2，3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A或 B或C或 D或【解析】由已知，得點(diǎn)(2，3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，3)，由入射光線與反射光線的對(duì)稱性，知反射光線一定過點(diǎn)(2，3)設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光線與圓相切，則有d1，解得k或k，故選D.【答案】D3(xx·湖南高考)若直線3x4y50與圓x2y2r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且AOB120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則r_.【解析】如圖，過點(diǎn)O作ODAB于點(diǎn)D，則|OD|1.AOB120°，OAOB，OBD30°，|OB|2|OD|2，即r2.【答案】2歸納；1圓的切線方程的求法(1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式0進(jìn)而求得k.(2)幾何法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令dr，進(jìn)而求出k.提醒：若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y2r2上，則過M點(diǎn)的圓的切線方程為x0xy0yr2.2弦長(zhǎng)的求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程在判別式>0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l2.考點(diǎn)二: 圓與圓的位置關(guān)系(1)與圓x2y24x4y70和x2y24x10y130都相切的直線共有()A1條B2條C3條D4條(2)圓O1的方程為：x2(y1)24，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程；若圓O1與圓O2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2，求圓O2的方程【解析】(1)方程x2y24x4y70可化為(x2)2(y2)21，此圓圓心為(2,2)，半徑r11，方程x2y24x10y130可化為(x2)2(y5)216，此圓圓心為(2,5)，半徑r24.兩圓圓心距d5r1r2，則兩圓外切，與兩圓都相切的直線共有3條，故選C.【答案】C(2)圓O1的圓心坐標(biāo)為(0，1)，半徑r12，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1)，圓心距為|O1O2|2，由兩圓外切知，所求圓的半徑為r222，圓O2的方程為(x2)2(y1)2128.由題意知，圓心O1到AB的距離為，當(dāng)圓心O2到AB的距離為2時(shí)，圓O2的半徑r22，此時(shí)圓O2的方程為(x2)2(y1)24.當(dāng)圓心O2到AB的距離為23時(shí)圓O2的半徑r22，此時(shí)圓O2的方程為(x2)2(y1)220.綜上知，圓O2的方程為(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.跟蹤訓(xùn)練：1已知圓C1：x2y24ax4a240和圓C2：x2y22byb210只有一條公切線，若a，bR且ab0，則的最小值為()A2 B4 C8 D9【解析】圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2a)2y24，其圓心為(2a,0)，半徑為2；圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(yb)21，其圓心為(0，b)，半徑為1.因?yàn)閳AC1和圓C2只有一條公切線，所以圓C1與圓C2相內(nèi)切，所以21，得4a2b21，所以(4a2b2)5529，當(dāng)且僅當(dāng)，且4a2b21，即a2，b2時(shí)等號(hào)成立，故選D.【答案】D2若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是_【解析】由題意O1與O在A處的切線互相垂直，則兩切線分別過另一圓的圓心，所以O(shè)1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5，又A、B關(guān)于OO1對(duì)稱，所以AB為RtOAO1斜邊上高的2倍，|AB|2×4.【答案】4歸納：兩圓位置關(guān)系的判斷及兩圓相交的有關(guān)結(jié)論1圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個(gè)半徑的和與差的大小關(guān)系2若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到3若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦考點(diǎn)三: 直線與圓的綜合問題1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍【解】(1)由題意知，圓心C是直線y2x4和yx1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意得，1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因?yàn)閳A心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2MO，所以2，化簡(jiǎn)得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點(diǎn)M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則21CD21，即13.由5a212a80，得aR.由5a212a0，得0a.所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.跟蹤訓(xùn)練：1.已知點(diǎn)A(3,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|.(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；(2)若點(diǎn)Q在直線l1：xy30上，直線l2經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求|QM|的最小值【解】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則2.化簡(jiǎn)可得(x5)2y216，則此曲線的方程為(x5)2y216.(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示由直線l2是此圓的切線，連接CQ，則|QM|，當(dāng)CQl1時(shí)，|CQ|取最小值，此時(shí)|CQ|4，則|QM|的最小值為4.歸納：1解決直線與圓綜合問題的常用結(jié)論(1)圓與直線l相切的情形：圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點(diǎn)的連線垂直于l.(2)圓與直線l相交的情形：圓心到l的距離小于半徑，過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦；連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦；過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，最短的是垂直于過這點(diǎn)的直徑的那條弦，最長(zhǎng)的是過這點(diǎn)的直徑2解決直線與圓綜合問題的一般思路分析題意，根據(jù)直線與圓位置關(guān)系列出相應(yīng)關(guān)系式，然后求解。學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想學(xué)生回顧，總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè)學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。