2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 第60課 橢圓要點導學求橢圓的方程已知點F1(-1,0),F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過點F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點,且AB=3,求橢圓C的方程.思維引導利用待定系數(shù)法求橢圓的方程,將直線x=1與橢圓方程聯(lián)立解出A,B的縱坐標,然后用a,b表示出AB,解出a,b,即可求出橢圓C的方程.解答設橢圓C的方程為+=1(a>b>0),與直線x=1聯(lián)立得y=±(c=1),所以AB=3,即2b2=3a.由題意得b2=a2-1,所以2(a2-1)=3a,即2a2-3a-2=0,又a>0,解得a=2,所以b2=3,故橢圓C的方程為+=1.【題組強化·重點突破】1. (xx·冀州中學模擬)已知橢圓C1:+y2=1,橢圓C2以橢圓C1的長軸為短軸,橢圓且與橢圓C1有相同的離心率,求橢圓C2的方程.解答由已知可設橢圓C2的方程為+=1(a>2),其離心率為,故=,則a=4,所以橢圓C2的方程為+=1.2. (xx·濟南外國語學校)已知橢圓C:+=1(a>b>0)過點,且離心率e=,求橢圓C的標準方程.解答因為橢圓C的離心率e=,所以=,a=2c,b2=a2-c2=3c2.故可設橢圓C的方程為+=1.又因為點在橢圓上,所以+=1,所以c2=1,所以橢圓C的標準方程為+=1.3. 已知橢圓的中心在原點O,短半軸的端點到其右焦點F(2,0)的距離為,那么此橢圓的標準方程是.答案+=1解析由已知,可設橢圓的方程為+=1(a>b>0),則a=,c=2,所以b=,所以橢圓的方程為+=1.4. 已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率為,那么橢圓C的方程是.答案+=1解析設橢圓C的方程為+=1(a>b>0),則c=1,e=,所以a=2,c=1,所以b=.故橢圓C的方程為+=1.5. 若橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3,則橢圓C的方程為.答案+y2=1解析因為e=,所以a=c,b=c,代入a+b=3,得c=,a=2,b=1,故橢圓C的方程為+y2=1.橢圓定義的應用已知ABC的三邊的長a,b,c(a>b>c)成等差數(shù)列,A,C兩點的坐標分別為(-1,0),(1,0),求頂點B的軌跡.思維引導由a,b,c(a>b>c)成等差數(shù)列,得BC+BA=2AC為定值,從而動點B在以點C,A為焦點的橢圓上,可用定義法求出橢圓方程,再結合其他條件刪除多余的點.解答設點B的坐標為(x,y),因為a,b,c(a>b>c)成等差數(shù)列,所以a+c=2b,即BC+BA=4.由橢圓定義知,點B的軌跡方程為+=1.又因為a>b>c,所以BC>AB,所以(x-1)2+y2>(x+1)2+y2,所以x<0.所以點B的軌跡是橢圓的一半,其方程為+=1(x<0).又當x=-2時,點B,A,C在同一直線上,不能構成ABC,所以x-2.所以頂點B的軌跡方程為+=1(-2<x<0),軌跡是兩段橢圓弧.精要點評(1) 求軌跡要先求出方程,再考慮剔除不合條件的點;(2) 要考慮ABC的三點A,B,C不能在一條直線上.(xx·惠州二調)已知左焦點為F(-1,0)的橢圓過點E,求橢圓的標準方程.解答設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),由題意知c=1,設右焦點F'(1,0),因為2a=EF+EF'=+=2,所以a=,b2=a2-c2=2.所以橢圓的方程為+=1.橢圓性質的應用在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的左頂點為A,左焦點為F,上頂點為B.若BAO+BFO=90°,則橢圓的離心率是.思維引導根據(jù)所給幾何條件,建立關于a,b,c的方程.答案解析方法一:因為BAO+BFO=90°,所以sinBFO=cosBAO=cosBAF.在ABF中,由正弦定理得=,即=,所以=,所以a2=b,即a4=(a2-c2)(2a2-c2),化簡得e4-3e2+1=0,解得e2=,故e=(負根舍去).方法二:易知BAF=FBO,所以RtBFORtABO,則=,即=,所以ac=b2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,解得e=(負根舍去).方法三:設橢圓右頂點為C,連接BC,則BCO=BAF,所以BCO+BFC=90°,則BF2+BC2=CF2,即a2+a2+b2=(a+c)2,所以2a2-c2=2ac+c2,即c2+ac-a2=0,所以e2+e-1=0,解得e=(負根舍去).精要點評橢圓離心率的求解主要是將所給幾何條件進行轉化,建立關于a,b,c的方程.本題對于所給條件BAO+BFO=90°采取了三種轉化,分別是正弦定理、余弦定理以及相似三角形,但目的都是一致的.已知橢圓+=1(a>b>0)的右焦點F,其右準線與x軸的交點為A,在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F,則橢圓離心率的取值范圍是.思維引導將是否存在問題等價轉換為方程有解問題,找出a,b,c的關系式,從而求出橢圓離心率的取值范圍.答案解析由題意,橢圓上存在點P,使得線段AP的垂直平分線過點F,即點F到點P與點A的距離相等.而FA=-c=,PFa-c,a+c,于是a-c,a+c,所以ac-c2b2ac+c2,即解得所以1.又e(0,1),故e.精要點評一般地,求離心率的值或取值范圍的問題,關鍵是將幾何條件轉化為關于a,b,c的方程或不等式,然后再解方程或不等式,要注意的是建立的方程或不等式應該為奇次式.對于橢圓上或直線上存在一點,應該利用該點建立方程,轉化為與該點有關變量的方程的有解問題,這里要注意橢圓等圖形本身離心率的范圍限制.橢圓的綜合問題(xx·全國卷)已知點A(0,-2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標原點.(1) 求橢圓E的方程;(2) 設過點A的動直線l與橢圓E相交于P,Q兩點,當OPQ的面積最大時,求l的直線方程.解答(1) 設右焦點F(c,0),由條件知=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1,故橢圓E的方程為+y2=1.(2) 當lx軸時,不合題意,故可設直線l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.當=16(4k2-3)>0,即k2>時,x1=,x2=,從而PQ=·|x1-x2|=.又點O到直線PQ的距離d=,所以OPQ的面積SOPQ=d·PQ=.設=t,則t>0,SOPQ=.因為t+4,當且僅當t=2,k=±時取等號,且滿足>0.所以當OPQ的面積最大時,直線l的方程為y=x-2或y=-x-2.設點A1,A2與B分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右頂點與上頂點,直線A2B與圓C:x2+y2=1相切.(1) 求證:+=1;(2) 若P是橢圓E上異于A1,A2的一點,直線PA1,PA2的斜率之積為-,求橢圓E的方程;(3) 若直線l與橢圓E交于M,N兩點,且·=0,試判斷直線l與圓C的位置關系,并說明理由.規(guī)范答題(1) 已知橢圓E:+=1(a>b>0),A1,A2與B分別為橢圓E的左、右頂點與上頂點,所以A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),直線A2B的方程是+=1.因為直線A2B與圓C:x2+y2=1相切,所以=1,即+=1. (5分)(2) 設P(x0,y0),則直線PA1,PA2的斜率之積為·=·=-,即+=1,而+=1,所以b2=a2.結合+=1,得a2=4,b2=.所以橢圓E的方程為+=1. (10分)(3) 設點M(x1,y1),N(x2,y2).若直線l的斜率存在,設直線l:y=kx+m,將y=kx+m代入+=1,得+=1,化簡,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0(>0).則x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-km+m2=. (12分)因為·=0,所以x1x2+y1y2=0.所以(a2+b2)m2-a2b2(1+k2)=0.結合(1)中+=1,得m2=1+k2.圓心到直線l的距離為d=1,所以直線l與圓C相切.(14分)若直線l的斜率不存在,設直線l:x=n,代入+=1,得y=±.則有|n|=b,即a2n2=b2(a2-n2),解得n=±1,所以直線l與圓C相切.(16分)1. 在平面直角坐標系xOy中,動點P到兩點(-,0),(,0)的距離之和等于4,設點P的軌跡為曲線C,則曲線C的軌跡方程為.答案+y2=12. 已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,離心率為,則橢圓C的方程為.答案+y2=1解析設橢圓C的方程為+=1(a>b>0),由題意知解得a=,b=1,因此橢圓C的方程為+y2=1.3. (xx·天津卷)設橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,右頂點為A,上頂點為B.若AB=F1F2,則橢圓的離心率為.答案解析由AB=F1F2,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,則=,所以橢圓的離心率e=.4. (xx·佳木斯一中三調)如圖,已知橢圓+=1(a>b>0),以O為圓心、短半軸長為半徑作圓O,過橢圓的長軸的一端點P作圓O的兩條切線,切點為A,B,若四邊形PAOB為正方形,則橢圓的離心率為.(第4題)答案解析由題意知OA=AP=b,OP=a,OAAP,所以2b2=a2,即=,故e=.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習(第119-120頁).