13.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)(一)學習目標1.理解導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系.2.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用導數(shù)求不超過三次多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知識點一函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的關系思考觀察圖中函數(shù)f(x)，填寫下表導數(shù)值切線的斜率傾斜角曲線的變化趨勢函數(shù)的單調(diào)性f(x)>0k>0銳角上升遞增f(x)<0k<0鈍角下降遞減梳理一般地，設函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，(1)如果f(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)如果f(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減知識點二利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導數(shù)yf(x)；(3)解不等式f(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(4)解不等式f(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間1函數(shù)f(x)在定義域上都有f(x)<0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減(×)2函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f(x)>0.(×)類型一函數(shù)圖象與導數(shù)圖象的應用例1已知函數(shù)yf(x)的定義域為1,5，部分對應值如下表f(x)的導函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示.x1045f(x)1221給出下列關于函數(shù)f(x)的說法：函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)；函數(shù)f(x)在0,2上是減函數(shù)；如果當x1，t時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；當1<a<2時，函數(shù)yf(x)a有4個零點其中正確說法的個數(shù)是()A4 B3C2 D1考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點根據(jù)導函數(shù)的圖象確定原函數(shù)圖象答案D解析依題意得，函數(shù)f(x)不可能是周期函數(shù)，因此不正確；當x(0,2)時，f(x)<0，因此函數(shù)f(x)在0,2上是減函數(shù)，正確；當x1，t時，若f(x)的最大值是2，則結合函數(shù)f(x)的可能圖象分析可知，此時t的最大值是5，因此不正確；注意到f(2)的值不明確，結合函數(shù)f(x)的可能圖象分析可知，將函數(shù)f(x)的圖象向下平移a(1<a<2)個單位長度后相應曲線與x軸的交點個數(shù)不確定，因此不正確故選D.反思與感悟(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負的關系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f(x)>0，則yf(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；如果f(x)<0，則yf(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有f(x)0，則yf(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性(2)函數(shù)圖象變化得越快，f(x)的絕對值越大，不是f(x)的值越大跟蹤訓練1已知yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，則所給四個圖象中，yf(x)的圖象大致是()考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點根據(jù)導函數(shù)圖象確定原函數(shù)圖象答案C解析當0<x<1時，xf(x)<0，f(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當x>1時，xf(x)>0，f(x)>0，故yf(x)在(1，)上為增函數(shù)故選C.類型二利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)yx2ln x；(2)yx(b>0)考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1)函數(shù)yx2ln x的定義域為(0，)，又y.若y>0，即解得x>1；若y<0，即解得0<x<1.故函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)(2)函數(shù)f(x)的定義域為(，0)(0，)，f(x)1，令f(x)>0，則(x)(x)>0，所以x>或x<.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，(，)令f(x)<0，則(x)(x)<0，所以<x<且x0.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)，(0，)反思與感悟求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域(2)求導數(shù)yf(x)(3)解不等式f(x)>0，函數(shù)在解集所表示的定義域內(nèi)為增函數(shù)(4)解不等式f(x)<0，函數(shù)在解集所表示的定義域內(nèi)為減函數(shù)跟蹤訓練2函數(shù)f(x)(x22x)ex(xR)的單調(diào)遞減區(qū)間為_考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案(2，2)解析由f(x)(x24x2)ex<0，即x24x2<0，解得2<x<2.所以f(x)(x22x)ex的單調(diào)遞減區(qū)間為(2，2)例3討論函數(shù)f(x)ax2x(a1)ln x(a0)的單調(diào)性考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)ax1.(1)當a0時，f(x)，由f(x)>0，得x>1，由f(x)<0，得0<x<1.f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，)內(nèi)為增函數(shù)(2)當a>0時，f(x)，a>0，>0.由f(x)>0，得x>1，由f(x)<0，得0<x<1.f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，)內(nèi)為增函數(shù)綜上所述，當a0時，f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，)內(nèi)為增函數(shù)反思與感悟(1)討論參數(shù)要全面，做到不重不漏(2)解不等式時若涉及分式不等式要注意結合定義域化簡，也可轉化為二次不等式求解跟蹤訓練3設函數(shù)f(x)exax2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解f(x)的定義域為(，)，f(x)exa.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增若a>0，則當x(，ln a)時，f(x)<0；當x(ln a，)時，f(x)>0.所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增綜上所述，當a0時，函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當a>0時，f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增.1函數(shù)f(x)xln x()A在(0,6)上是增函數(shù)B在(0,6)上是減函數(shù)C在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)D在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點利用導數(shù)值的正負號判定函數(shù)的單調(diào)性答案A2若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)f(x)的圖象可能為()考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點根據(jù)原函數(shù)圖象確定導函數(shù)圖象答案C解析由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,4)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)和(4，)，因此，當x(1,4)時，f(x)>0，當x(，1)或x(4，)時，f(x)<0，結合選項知選C.3函數(shù)f(x)3x·ln x的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B(e，)C. D.考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案C解析f(x)ln x1，令f(x)>0，即ln x1>0，得x>.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.4若函數(shù)f(x)x3bx2cxd的單調(diào)遞減區(qū)間為1,2，則b_，c_.考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值答案6解析f(x)3x22bxc，由題意知，f(x)0即3x22bxc0的兩根為1和2.由得5試求函數(shù)f(x)kxln x的單調(diào)區(qū)間考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解函數(shù)f(x)kxln x的定義域為(0，)，f(x)k.當k0時，kx1<0，f(x)<0，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當k>0時，由f(x)<0，即<0，解得0<x<；由f(x)>0，即>0，解得x>.當k>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上所述，當k0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)；當k>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.1導數(shù)的符號反映了函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，導數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度2利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)>0和f(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.一、選擇題1如圖是函數(shù)yf(x)的導函數(shù)f(x)的圖象，則下列判斷正確的是()A在區(qū)間(2,1)上，f(x)是增函數(shù)B在(1,3)上，f(x)是減函數(shù)C在(4,5)上，f(x)是增函數(shù)D在(3，2)上，f(x)是增函數(shù)考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點利用導數(shù)值的正負號判定函數(shù)的單調(diào)性答案C解析由圖知當x(4,5)時，f(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函數(shù)2函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)yf(x)的圖象可能是()考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點根據(jù)原函數(shù)圖象確定導函數(shù)圖象答案D解析函數(shù)f(x)在(0，)，(，0)上都是減函數(shù)，當x>0時，f(x)<0，當x<0時，f(x)<0，故選D.3已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象只可能是所給選項中的()考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點根據(jù)導函數(shù)的圖象確定原函數(shù)的圖象答案C解析導數(shù)的正負確定了函數(shù)的單調(diào)性，從函數(shù)f(x)的圖象可知，令f(x)0，得x0或xa(a>0)，函數(shù)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減，故選C.4函數(shù)f(x)xex的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()A1,0 B2,8C1,2 D0,2考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案A解析因為f(x)(1x)·ex>0，又因為ex>0，所以x<1.5下列函數(shù)中，在(0，)內(nèi)為增函數(shù)的是()Aysin x ByxexCyx3x Dyln xx考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點利用導數(shù)值的正負號判定函數(shù)的單調(diào)性答案B解析B項中，yxex，yexxexex(1x)，當x(0，)時，y>0，yxex在(0，)內(nèi)為增函數(shù)6.函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，若ABC為銳角三角形，則下列不等式一定成立的是()Af(cos A)<f(cos B)Bf(sin A)<f(cos B)Cf(sin A)>f(sin B)Df(sin A)>f(cos B)考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點比較函數(shù)值的大小答案D解析根據(jù)圖象知，當0<x<1時，f(x)>0，f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)ABC為銳角三角形，A，B都是銳角且AB>，則0<B<A<，則sin<sin A，0<cos B<sin A<1，f(sin A)>f(cos B)7定義在R上的函數(shù)f(x)，若(x1)·f(x)<0，則下列各項正確的是()Af(0)f(2)>2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)<2f(1)Df(0)f(2)與2f(1)大小不定考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點比較函數(shù)值的大小答案C解析(x1)f(x)<0，當x>1時，f(x)<0，x<1時，f(x)>0，則f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，在(，1)上單調(diào)遞增，f(0)<f(1)，f(2)<f(1)，則f(0)f(2)<2f(1)二、填空題8若函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)x24x3，則函數(shù)f(x1)的單調(diào)遞減區(qū)間是_考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案(0,2)解析由f(x)x24x3，f(x1)(x1)24(x1)3x22x，令f(x1)<0，解得0<x<2，所以f(x1)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)9.在R上可導的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則關于x的不等式xf(x)<0的解集為_考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點利用單調(diào)性確定導數(shù)值的正負號答案(，1)(0,1)解析由xf(x)<0可得，或由題圖可知當1<x<1時，f(x)<0，當x<1或x>1時，f(x)>0，則或解得0<x<1或x<1，xf(x)<0的解集為(0,1)(，1)10已知函數(shù)f(x)kex1xx2(k為常數(shù))，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線與x軸平行，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案(0，)解析f(x)kex11x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線與x軸平行，f(0)k·e110，解得ke，故f(x)exx1.令f(x)>0，解得x>0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)11已知函數(shù)f(x)2x3ax21(a為常數(shù))在區(qū)間(，0)，(2，)上單調(diào)遞增，且在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，則a的值為_考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值答案6解析由題意得f(x)6x22ax0的兩根為0和2，可得a6.12定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)1，f(x)<2，則滿足f(x)>2x1的x的取值范圍是_考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點構造法的應用答案(，1)解析令g(x)f(x)2x1，則g(x)f(x)2<0，又g(1)f(1)2×110，當g(x)>g(1)0時，x<1，f(x)2x1>0，即f(x)>2x1的解集為(，1)三、解答題13已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd的圖象經(jīng)過點P(0,2)，且在點M(1，f(1)處的切線方程為6xy70.(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1)由yf(x)的圖象經(jīng)過點P(0,2)，知d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在點M(1，f(1)處的切線方程為6xy70，知6f(1)70，即f(1)1.又f(1)6，即解得bc3，故所求函數(shù)解析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令f(x)>0，得x<1或x>1；令f(x)<0，得1<x<1.故f(x)x33x23x2的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)，(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，1)四、探究與拓展14已知函數(shù)f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的導函數(shù)，則函數(shù)f(x)的大致圖象是()考點函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系題點根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的圖象答案A解析設g(x)f(x)2x2sin x，則g(x)22cos x0，所以函數(shù)g(x)f(x)在R上單調(diào)遞增，故選A.15已知函數(shù)f(x)xa(2ln x)，a>0，試討論f(x)的單調(diào)性考點利用導函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.令g(x)x2ax2，其判別式a28.(1)當<0，即0<a<2時，對一切x>0，都有f(x)>0，此時f(x)是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)；(2)當0，即a2時，當且僅當x時，有f(x)0，對定義域內(nèi)其余的x都有f(x)>0，此時f(x)也是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)；(3)當>0，即a>2時，方程g(x)0有兩個不同的實根：x1，x2，0<x1<x2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)即f(x)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.14