2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第八節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用課時(shí)作業(yè)1一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A50 mB100 mC120 m D150 m解析：設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，BAC60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：A2如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東80° D南偏西80°解析：由條件及圖可知，ACBA40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.答案：D3如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 mC25 m D m解析：由正弦定理得，AB50，故A，B兩點(diǎn)的距離為50 m.答案：A4(2018·昆明市檢測(cè))在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，則BC邊上的高等于()A1 BC. D2解析：因?yàn)閠anBAC3，所以sinBAC，cosBAC.由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC522×××()9，所以BC3，所以SABCAB·ACsinBAC×××，所以BC邊上的高h(yuǎn)1，故選A.答案：A5(2018·西安模擬)游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處經(jīng)測(cè)量，AB1 040 m，BC500 m，則sinBAC等于_解析：依題意，設(shè)乙的速度為x m/s，則甲的速度為x m/s，因?yàn)锳B1 040，BC500，所以，解得：AC1 260，在ABC中由余弦定理可知cosBAC，所以sinBAC.答案：6如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角，在山坡的A處測(cè)得DAC15°，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測(cè)得 DBC45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos _.解析：由DAC15°，DBC45°可得BDA30°，DBA135°，BDC90°(15°)30°45°，由內(nèi)角和定理可得DCB180°(45°)45°90°，根據(jù)正弦定理可得，即DB100sin 15°100×sin(45°30°)25(1)，又，即，得到cos 1.答案：17已知在島A南偏西38°方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？解析：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC0.5x，AC5海里，依題意，BAC180°38°22°120°，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·ACcos 120°，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38°，又BAD38°，所以BCAD，故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船8如圖，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90°.(1)若PB，求PA；(2)若APB150°，求tanPBA.解析：(1)由已知得PBC60°，所以PBA30°.在PBA中，由余弦定理得PA232××cos 30°.故PA.(2)設(shè)PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得cos 4sin .所以tan ，即tanPBA.B組能力提升練1一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析：如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)答案：A2如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角15°的斜坡向上走a米到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角60°，則山高h(yuǎn)()A.a米 B米C.a米 Da米解析：在PAB中，PAB15°，BPA(90°)(90°)30°，所以，所以PBa，所以PQPCCQPB·sin asin a×sin 60°asin 15°a(米)答案：A3如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1 km，參考數(shù)據(jù)：1.732)()A8.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km解析：因?yàn)锳B1 000× km，所以BC·sin 30°(km)所以航線離山頂?shù)母叨萮×sin 75°×sin(45°30°)11.4 km.所以山高為1811.46.6(km)答案：B4如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C，然后給出了三種測(cè)量方案：(ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)測(cè)量A，C，b測(cè)量a，b，C測(cè)量A，B，a則一定能確定A，B間距離的所有方案的個(gè)數(shù)為()A3 B2C1 D0解析：對(duì)于，利用內(nèi)角和定理先求出BAC，再利用正弦定理解出c，對(duì)于，直接利用余弦定理cos C即可解出c，對(duì)于，先利用內(nèi)角和定理求出CAB，再利用正弦定理解出c.答案：A5(2018·福州市質(zhì)檢)在距離塔底分別為80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C處，依次測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，.若90°，則塔高為_解析：設(shè)塔高為h m依題意得，tan ，tan ，tan .因?yàn)?0°，所以tan()tan tan(90°)tan 1，所以·tan 1，所以·1，解得h80，所以塔高為80 m.答案：80 m6(2018·遂寧模擬)海輪“和諧號(hào)”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號(hào)”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時(shí)9海里的速度行駛，則海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為_小時(shí)解析：設(shè)海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為x小時(shí)，如圖，則由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120°，由余弦定理得：(21x)2100(9x)22×10×9x×cos 120°，整理，得36x29x100，解得x或x(舍)所以海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為小時(shí)答案：7如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1 m，圓心角為的扇形白鐵片AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ，使點(diǎn)P在弧AB上，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)BOP，平行四邊形MNPQ的面積為S.(1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(2)求S的最大值及相應(yīng)的角解析：(1)分別過P，Q作PDOB于點(diǎn)D，QEOB于點(diǎn)E，則四邊形QEDP為矩形由扇形半徑為1 m，得PDsin ，ODcos .在RtOEQ中，OEQEPD，MNQPDEODOEcos sin ，SMN·PD·sin sin cos sin2，.(2)Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin，因?yàn)椋?，sin.當(dāng)時(shí)，Smax(m2)8(2018·宜賓模擬)一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(22)n mile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4 n mile到達(dá)海島C.(1)求AC的長(zhǎng)；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求CAB的大小解析：(1)由題意，在ABC中，ABC180°75°15°120°，AB22，BC4，根據(jù)余弦定理得AC2AB2BC22AB×BC×cosABC(22)242(22)×424，所以AC2. (2)根據(jù)正弦定理得，sinBAC，所以CAB45°.