2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)43 橢圓 文 新人教版1(2018·廣東深圳4月調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且PF1F2的周長(zhǎng)為12，那么C的方程為()A.y21B.1C.1 D.1解析由題設(shè)可得a2c，又橢圓的定義可得2a2c12ac6，即3c6c2，a4，所以b216412，則橢圓方程為1，應(yīng)選答案D.答案D2(2018·鄭州第三次質(zhì)檢)橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xa與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)FMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，F(xiàn)MN的面積是()A. B.C. D.解析設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F，則|MF|NF|MN|，當(dāng)M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以FMN的周長(zhǎng)|MF|NF|MN|MF|NF|MF|NF|4a4，此時(shí)|MN|，所以此時(shí)FMN的面積為S××2，故選擇C.答案C3(2018·邯鄲一模)橢圓1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF2的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF2|是|PF1|的()A7倍B5倍 C4倍D3倍解析設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為D，則|OD|PF1|，ODPF1，ODx軸，PF1x軸|PF1|.又|PF1|PF2|4，|PF2|4.|PF2|是|PF1|的7倍答案A4(2018·青島月考)已知A1，A2分別為橢圓C：1(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，若直線PA1，PA2的斜率的乘積為，則橢圓C的離心率為()A.B. C.D.解析設(shè)P(x0，y0)，則×，化簡(jiǎn)得1，則，e，故選D.答案D5(2018·廣州二模)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，PF1F230°，則橢圓的離心率為()A.B. C.D.解析如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為PF1F2的中位線所以O(shè)MPF2，所以PF2F1MOF190°.因?yàn)镻F1F230°，所以|PF1|2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|PF2|，由橢圓定義得2a|PF1|PF2|3|PF2|a，2c|F1F2|PF2|c，則e·.故選A.答案A6(2018·東北師大附中三模)已知F是橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF與圓2y2相切于點(diǎn)Q，且PQ2QF，則橢圓C的離心率等于()A.B. C.D.解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，連接F1，設(shè)圓心為C，則2y2，則圓心坐標(biāo)為，半徑為r，|F1F|3|FC|PQ2QF，PF1QC，|PF1|b|PF|2ab線段PF與圓1(a>b>0)(其中c2a2b2)相切于點(diǎn)Q，CQPF，PF1PF，b2(2ab)24c2，b2(2ab)24(a2b2)ab，則，e，故選A.答案A7(2018·保定一模)與圓C1：(x3)2y21外切，且與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為_(kāi)解析設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，得點(diǎn)P的軌跡方程為1.答案18(2018·北京東城模擬)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(2,0)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2，則橢圓C的方程是_解析設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)由題意知解得a216，b212.所以橢圓C的方程為1.答案19(2018·河北武邑中學(xué)二模)如圖，已知橢圓C1：y21，曲線C2：yx21與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于A，B兩點(diǎn)，直線MA，MB分別與C1相交于D，E兩點(diǎn)，則·的值是()A正數(shù) B0C負(fù)數(shù) D皆有可能解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，1)，(x1，y11)，(x2，y21)設(shè)直線l的方程為ykx與拋物線方程聯(lián)立，整理為：x2kx10，所以x1x2k，x1x21，··x1x2(y11)(y21)x1x2y1y2(y1y2)1x1x2k2x1x2k(x1x2)11k2k210，故選B.答案B10(2016·北京卷)已知橢圓C：1過(guò)點(diǎn)A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解(1)由題意得，a2，b1.所以橢圓C的方程為y21.又c，所以離心率e.(2)設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)，則x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以，直線PA的方程為y(x2)令x0，得yM，從而|BM|1yM1.直線PB的方程為yx1.令y0，得xN，從而|AN|2xN2.所以四邊形ABNM的面積S|AN|·|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值B能力提升練1(2018·石家莊質(zhì)檢)已知兩定點(diǎn)A(2,0)和B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：yx3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為()A. B.C. D.解析設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1(x1，y1)，則有解得x13，y11，易知|PA|PB|的最小值等于|A1B|，因此橢圓C的離心率e的最大值為.答案B22016年1月14日，國(guó)防科工局宣布，嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過(guò)了探月工程重大專(zhuān)項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過(guò)，正式開(kāi)始實(shí)施如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；<；c1a2>a1c2.其中正確式子的序號(hào)是()A BC D解析觀察圖形可知a1c1>a2c2，即式不正確；a1c1a2c2|PF|，即式正確；由a1c1a2c2>0，c1>c2>0，知<，即<，從而c1a2>a1c2，>，即式正確，式不正確故選D.答案D3(2018·石家莊質(zhì)檢)橢圓y21的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_解析設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(x，y)F1PF2為鈍角，·<0，即x23y2<0，y21，代入得x231<0，x2<2，x2<.解得<x<，x.答案4(高考浙江卷)橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線yx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是_解析設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1(c,0)，如圖，連接QF1，QF，設(shè)QF與直線yx交于點(diǎn)M.由題意知M為線段QF的中點(diǎn)，且OMFQ.又O為線段F1F的中點(diǎn)，F(xiàn)1QOM，F(xiàn)1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由橢圓的定義得|QF|QF1|2a，整理得bc，ac，故e.答案5(2017·天津)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為.已知A是拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程；(2)設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于點(diǎn)A)，直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若APD的面積為，求直線AP的方程解(1)設(shè)F的坐標(biāo)為(c,0)依題意，a，ac，解得a1，c，p2，于是b2a2c2.所以，橢圓的方程為x21，拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)直線AP的方程為xmy1(m0)，與直線l的方程x1聯(lián)立，可得點(diǎn)P，故A.將xmy1與x21聯(lián)立，消去x，整理得(3m24)y26my0，解得y0，或y.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A，可得點(diǎn)B.由Q，可得直線BQ的方程為(x1)0，令y0，解得x，故D.所以|AD|1.又因?yàn)锳PD的面積為，故××，整理得3m22|m|20，解得|m|，所以m±.所以，直線AP的方程為3xy30，或3xy30.C尖子生專(zhuān)練(2016·四川卷)已知橢圓E：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l：yx3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)，使得|PT|2|PA|·|PB|，并求的值解(1)由已知，ab，則橢圓E的方程為1.由方程組得3x212x(182b2)0.方程的判別式為24(b23)，由0，得b23，此時(shí)方程的解為x2，所以橢圓E的方程為1.點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1)(2)由已知可設(shè)直線l的方程為yxm(m0)，有方程組可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，|PT|2m2.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程組可得3x24mx(4m212)0.方程的判別式16(92m2)，由0，解得m.由得x1x2，x1x2.所以|PA|，同理|PB|，所以|PB|·|PB|m2.故存在常數(shù)，使得|PT|2|PA|·|PB|.