3、
A.1 B. C. D.3
【解析】選C.設(shè)△ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.在△ABC中, tan(A+B)===1,即tan C=-1,所以C=135°,所以c=,因?yàn)?
tan B>tan A,則角A所對(duì)的邊最小.由tan A=可知sin A=,由正弦定理=,得a=sin A·=×=.
5.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面積S=c,則ab的最小值為 ( )
A. B. C. D.3
【解析】選B.由題意得2sin Ccos B=2sin A+sin B?
2sin Ccos
4、 B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin B?cos C=-,
所以S=absin C=ab=c?c=3ab.
因?yàn)閏os C=,所以-=≥,解得ab≥,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí),等號(hào)成立,即ab的最小值為.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.已知tan α=4,則=____________.?
【解析】===.
答案:
7.若tan α,tan β是方程x2+5x+6=0的兩個(gè)根,且α,β∈,則α+β=____________.?
【解析】因?yàn)閠an α,tan β是方程x2+5x+6=0的兩個(gè)根,所以tan α+tan β=-5,tan α·tan
5、 β=6,所以tan α<0,tan β<0,所以tan(α+β)= ==1,
又因?yàn)棣?β∈,所以α+β=-π.
答案:-π
8.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積,若c=2acos B, S=a2-c2,則C的大小為_(kāi)___________.?
【解析】因?yàn)閏=2acos B,所以sin C=2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,所
以tan A=tan B,所以A=B,又因?yàn)镾=a2-c2,所以sin C=-,由正弦定理得
sin C=1-,因?yàn)锳=B,所以sin A=cos,所以sin C=cos C,所以C
6、=.
答案:
三、解答題(每小題10分,共30分)
9.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,已知a=2,b2+c2-4=4S,B>A,2sin Bsin C=cos A.
(1)求A的值.
(2)判斷△ABC的形狀并求△ABC的面積.
【解析】(1)因?yàn)閎2+c2-4=4S,所以b2+c2-a2=4·bcsin A,由余弦定理得,
cos A=sin A,所以tan A=,因?yàn)锳∈(0,π),所以A=.
(2)因?yàn)?sin Bsin C=cos A,A+B+C=π,
所以2sin Bsin C=-cos(B+C)
=sin Bsin C-c
7、os Bcos C,
即sin Bsin C+cos Bcos C=0,
cos(B-C)=0,所以B-C=或C-B=.
(ⅰ)當(dāng)B-C=時(shí),由第(1)問(wèn)知A=,所以B=,C=,所以△ABC是等腰三角形, S=acsin B=;
(ⅱ)當(dāng)C-B=時(shí),由第(1)問(wèn)知A=,所以C=,B=,又因?yàn)锽>A,矛盾,舍去.綜上,△ABC是等腰三角形,其面積為.
10.已知在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.
(1)求.
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長(zhǎng).
【解析】(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=AC·ADs
8、in∠CAD,
因?yàn)镾△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC,
在△ABC中,由正弦定理得:=,所以==.
(2)設(shè)∠ADB=θ,則∠ADC=π-θ.
由(1)知==,所以c=2b①,
因?yàn)镃D=,所以BD=,
在△ACD中,由余弦定理得,
b2=1+-2×1×cos(π-θ),
即b2=+cos θ②,
在△ABD中,由余弦定理,c2=1+2-2×1×cos θ,即c2=3-2×cos θ③,
由①②③得b=1,故AC=1.
11.在銳角△ABC中,2sincos+2cos Bsin C=.
(1)求角A.
(2)若BC=,AC=2,求△ABC
9、的面積.
【解析】(1)因?yàn)?sincos+2cos Bsin C=,
所以sin(B-C)+2cos Bsin C=,
則sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)=,即sin A=,
由△ABC為銳角三角形得A=.
(2)在△ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-2×2c×,化簡(jiǎn)得c2-2c-3=0,解得c=3(負(fù)根舍去),
所以S△ABC=bcsin A=.
【提分備選】
1.如圖所示,某鎮(zhèn)有一塊空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°.當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地
10、改造成一個(gè)旅游景點(diǎn),擬在中間挖一個(gè)人工湖△OMN,其中M,N都在邊AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM地帶上形成假山,剩下的△OBN地帶開(kāi)設(shè)兒童游樂(lè)場(chǎng). 為安全起見(jiàn),需在△OAN的周?chē)惭b防護(hù)網(wǎng).
(1)當(dāng)AM=km時(shí),求防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度.
(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面積是堆假山用地△OAM的面積的倍,試確定∠AOM的大小.
(3)為節(jié)省投入資金,人工湖△OMN的面積要盡可能小,問(wèn)如何設(shè)計(jì)施工方案,可使△OMN的面積最小?最小面積是多少?
【解析】(1)因?yàn)樵凇鱋AB中,OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°,
在△AOM中,OA=3,A
11、M=,∠OAM=60°,
由余弦定理,得OM=,
所以O(shè)M2+AM2=OA2,即OM⊥AN,所以∠AOM=30°,
所以△OAN為正三角形,所以△OAN的周長(zhǎng)為9,
即防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度為9 km.
(2)設(shè)∠AOM=θ(0°<θ<60°),
因?yàn)镾△OMN=S△OAM,
所以O(shè)N·OMsin 30°=×OA·OMsin θ,即ON=6sin θ,
在△OAN中,由==,
得ON=,
從而6sin θ=,所以sin 2θ=,
所以θ=15°,即∠AOM=15°.
(3)設(shè)∠AOM=α(0°<α<60°),由(2)知ON=,又在△AOM中,由=,得OM=,
所以S△OMN=
12、OM·ON·sin 30°=
=
=,
所以當(dāng)且僅當(dāng)2α+60°=90°,即α=15°時(shí),
△OMN的面積取最小值為 km2.
2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿(mǎn)足(2a-c)cos B=bcos C.
(1)求B的大小.
(2)如圖,AB=AC,在直線AC的右側(cè)取點(diǎn)D,使得AD=2CD=4.當(dāng)角D為何值時(shí),四邊形ABCD的面積最大?
【解析】(1)因?yàn)?2a-c)cos B=bcos C,
所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
所以2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,
所以2sin
13、 Acos B=sin(B+C)=sin A,
因?yàn)閟in A≠0,
所以cos B=,
所以B=.
(2)因?yàn)锳B=AC,B=,
所以△ABC為等邊三角形,
若四邊形ABCD面積最大,
則△ADC的面積最大,
設(shè)AC=x,在△ADC中,由余弦定理可得x2=AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos D=4+16-2×
2×4cos D,
所以cos D=,
所以sin D=,當(dāng)x2=20,即x=2時(shí),-(20-x2)2+162最大,即sin D最大,最大為1,
因?yàn)镾△ADC=CD·AD·sin D=4sin D,
所以當(dāng)D=時(shí),S△ADC最大,
所以當(dāng)D=時(shí),
14、四邊形ABCD的面積最大.
3.已知△ABC為銳角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)與向量q=
(sin A-cos A,1+sin A)是共線向量.
(1)求角A.
(2)求函數(shù)y=2sin2B+cos的最大值.
【解析】(1)因?yàn)閜,q共線,所以(2-2sin A)(1+sin A)
=(cos A+sin A)(sin A-cos A),
則sin2A=.
又A為銳角,所以sin A=,則A=.
(2)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos=1-cos 2B +cos 2B+sin 2B
=sin 2B-cos
15、 2B+1=sin+1.
因?yàn)锽∈,所以2B-∈,所以當(dāng)2B-=即B=時(shí),
函數(shù)y取得最大值,ymax=2.
(20分鐘 20分)
1.(10分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知tan=2.
(1)求的值.
(2)若B=,a=3,求△ABC的面積.
【解析】(1)由tan=2,得tan A=.
所以==.
(2)由tan A=,A∈(0,π),
得sin A=,cos A=.
又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.
由sin C=sin(A+B)=sin,得sin C=,
設(shè)△ABC的面積為S,則S=absin C=9.
2.(10分)在
16、△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且+=.
(1)證明:sin AsinB=sin C.
(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.
【解析】(1)由正弦定理==,可知原式可以化解為+==1,因?yàn)锳和B為三角形內(nèi)角,所以sin Asin B≠0,
則兩邊同時(shí)乘以sin Asin B,可得sin Bcos A+sin Acos B=sin Asin B,
由和角公式可知,sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,原式得證.
(2)由題b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理可知,cos A==.
因?yàn)锳為三角形內(nèi)角,A∈(0,π),sin A>0,則sin A==,即=,由(1)可知+==1,所以==,
所以tan B=4.
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