2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 概率 第三節(jié) 幾何概型課時作業(yè)1在區(qū)間0,1上隨機(jī)取一個數(shù)x，則事件“l(fā)og0.5(4x3)0”發(fā)生的概率為()A.B.C. D解析：因為log0.5(4x3)0，所以0<4x31，即<x1，所以所求概率P，故選D.答案：D2小明每天上學(xué)都需要經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口已知十字路口的交通信號燈綠燈亮的時間為40秒，黃燈5秒，紅燈45秒如果小明每天到路口的時間是隨機(jī)的，則小明上學(xué)時到十字路口需要等待的時間不少于20秒的概率是()A. BC. D解析：設(shè)“小明上學(xué)時到十字路口需要等待的時間不少于20秒”為事件A，則P(A)，選D.答案：D3在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到正方體各面的距離都不小于1的概率為()A. BC. D解析：正方體中到各面的距離都不小于1的點(diǎn)的集合是一個中心與原正方體中心重合，且棱長為1的正方體，該正方體的體積是V1131，而原正方體的體積為V3327，故所求的概率P.答案：A4已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則()A. BC. D解析：由已知，點(diǎn)P的分界點(diǎn)恰好是邊CD的四等分點(diǎn)，由勾股定理可得AB2(AB)2AD2，解得()2，即，故選D.答案：D5(2018·武漢市調(diào)研)在長為16 cm的線段MN上任取一點(diǎn)P，以MP，NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60 cm2的概率為()A. BC. D解析：設(shè)MPx，則NP16x，由Sx(16x)>60x216x60<0，(x6)(x10)<06<x<10，所以P.答案：A6在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，則cos x的值介于與之間的概率為()A. BC. D解析：區(qū)間的長度為1，滿足cos x的值介于與之間的x，區(qū)間長度為，由幾何概型概率公式得P.答案：D7為了測量某陰影部分的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個點(diǎn)，已知恰有200個點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此可以估計陰影部分的面積是()A4 B3C2 D1解析：由投擲的點(diǎn)落在陰影部分的個數(shù)與投擲的點(diǎn)的個數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為，所以陰影部分的面積約為9×3.答案：B8.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖像上若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A. BC. D解析：因為f(x)B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，故矩形ABCD的面積為2×36，陰影部分的面積為×3×1，故P.答案：B9(2017·商丘模擬)已知P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，20，現(xiàn)將一粒豆隨機(jī)撒在ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是()A. BC. D解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，因為20，所以點(diǎn)P是中線AM的中點(diǎn)，所以黃豆落在PBC內(nèi)的概率P，故選C.答案：C10設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. BC. D解析：復(fù)數(shù)|z|1對應(yīng)的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足yx的區(qū)域，該區(qū)域的面積為×1×1，故滿足yx的概率為，故選D.答案：D11(2017·鄭州模擬)若不等式x2y22所表示的平面區(qū)域為M，不等式組表示的平面區(qū)域為N，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域N內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為_解析：作出不等式組與不等式表示的可行域如圖所示，平面區(qū)域N的面積為×3×(62)12，區(qū)域M在區(qū)域N內(nèi)的面積為()2，故所求概率P.答案：12在區(qū)間2,4上隨機(jī)地取一個數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.解析：由幾何概型知，解得m3.答案：313利用計算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a1>0”發(fā)生的概率為_解析：由題意知0a1，事件“3a1>0”發(fā)生時，a>且a1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P.答案：14若在區(qū)間4,4內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)m，在區(qū)間2,3內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)n，則使得方程x22mxn240有兩個不相等的實數(shù)根的概率為_解析：方程x22mxn240有兩個不相等的實數(shù)根，>0，即(2m)24(n24)>0，m2n2>4，總的事件的集合(m，n)|4m4，2n3，所表示的平面區(qū)域(如圖中矩形)的面積S8×540，而滿足條件的事件的集合是(m，n)|m2n2>4，4m4，2n3，圖中陰影部分的面積S40×22404，由幾何概型的概率計算公式得所求事件的概率P1.答案：1B組能力提升練1在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)(a，b)，則函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率為()A. BC. D解析：不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則SAOB×4×48.函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足a>0且x1，即，可得對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC，BC，不包括邊界OB)，由，解得a，b，所以SCOB×4×，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可知所求的概率為，故選B.答案：B2在區(qū)間，內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)x22axb2有零點(diǎn)的概率為()A. BC. D解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為正方形ABCD及其內(nèi)部要使函數(shù)f(x)x22axb2有零點(diǎn)，則必須有4a24(b2)0，即a2b2，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分故所求概率P.答案：B3如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A.B.C1 D解析：設(shè)OAOBr，則兩個以為半徑的半圓的公共部分面積為2·()2×()2，兩個半圓外部的陰影部分的面積為r2()2×2，所以所求概率為1.答案：C4在區(qū)間0,1上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“xy”的概率，p2為事件“xy”的概率，則()Ap1<p2< Bp2<<p1C.<p2<p1 Dp1<<p2解析：如圖，滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“xy”對應(yīng)的圖形為陰影ODE，其面積為××，故p1<，事件“xy”對應(yīng)的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于，故p2>，則p1<<p2，故選D.答案：D5.在底和高等長的銳角三角形中有一個內(nèi)接矩形，矩形的一邊在三角形的底邊上，如圖，在三角形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入矩形內(nèi)的最大概率為()A. BC. D解析：設(shè)矩形長為x，寬為y，則，yax，S矩形xyx(ax)2，其概率的最大值為.故選A.答案：A6.把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為 ()A.1 BC. D解析：星形弧半徑為2，所以點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為P1，故選A.答案：A7已知A(2,1)，B(1，2)，C，動點(diǎn)P(a，b)滿足0·2，且0·2，則動點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離大于的概率為()A1 BC1 D解析：依題意有目標(biāo)函數(shù)>表示以C為圓心，半徑為的圓外畫出可行域如圖所示，可行域的面積為，可行域內(nèi)的圓外面積為，故概率為1.故選A.答案：A8運(yùn)行如圖所示的程序框圖，如果在區(qū)間0，e內(nèi)任意輸入一個x的值，則輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是()A. B1C1 D解析：由題意得f(x)如圖所示，當(dāng)1<xe時，f(x)>e，故輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是1，故選B.答案：B9. 在區(qū)間1,5和2,4分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為()A. BC. D解析：1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于，a>b>0，a<2b.它對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示：則方程1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為P1，故選B.答案：B10已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的區(qū)域為M，曲線y與x軸圍成的區(qū)域為N，若向區(qū)域N內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M內(nèi)的概率為()A. BC. D解析：由已知條件，作出區(qū)域M為如圖所示的OAB及其內(nèi)部，而曲線y可化為(x)2y2，其中y0，因而曲線y與x軸圍成的區(qū)域N為圖中的半圓部分，可求得A(，)，因而OAB的面積SM，半圓的面積SN××，由幾何概型的概率計算公式，得所求概率P，故選D.答案：D11已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2 km處，B地在O地正北方向2 km處，某測繪隊員在A，B之間的直線公路上任選一點(diǎn)C作為測繪點(diǎn)，用測繪儀進(jìn)行測繪，O地為一磁場，距離其不超過 km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不準(zhǔn)確，則該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是()A. BC1 D1解析：在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|2，故該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是11，故選D.答案：D12一只昆蟲在邊長分別為5,12,13的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其到三角形頂點(diǎn)的距離小于2的地方的概率為_解析：如圖所示，該三角形為直角三角形，其面積為×5×1230，陰影部分的面積為××222，所以其概率為.答案：13(2018·南昌質(zhì)檢)在邊長為2的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，用隨機(jī)模擬方法來估計不規(guī)則圖形的面積若在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10 000個點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2 000個，則在這次模擬中，不規(guī)則圖形M的面積的估計值為_解析：由題意，因為在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10 000個點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2 000個，所以概率P.邊長為2的正方形ABCD的面積為4，不規(guī)則圖形M的面積的估計值為×4.答案：14已知正方形ABCD的邊長為2，H是邊DA的中點(diǎn)在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，則滿足|PH|<的概率為_解析：如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，則滿足|PH|<的點(diǎn)P在AEH，扇形HEF及DFH內(nèi)，由幾何概型的概率計算公式知，所求概率為.答案：15若m(0,3)，則直線(m2)x(3m)y30與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為_解析：對于直線方程(m2)x(3m)y30，令x0，得y；令y0，得x，由題意可得·|·|<，因為m(0,3)，所以解得0<m<2，由幾何概型的概率計算公式可得，所求事件的概率是.答案：