2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題四 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列限時(shí)訓(xùn)練 文 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 1,3,4,5,7,8 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) 2,10 等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明 11,12 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合 6,9,11,12 一、選擇題 1.(2018·吉林省百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若2a11=a9+7,則S25等于(　D　) (A) (B)145 (C) (D)175 解析:由題意可得2a11=a9+a13,所以a13=7, 所以S25=×25=×25=25a13=25×7=175.選D. 2.(2018·湖南省永州市一模)在等比數(shù)列{an}中,已知a1=1,a4=8,若a3,a5分別為等差數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)和第6項(xiàng),則數(shù)列{bn}的前7項(xiàng)和為(　B　) (A)49 (B)70 (C)98 (D)140 解析:在等比數(shù)列{an}中, 因?yàn)閍4=a1·q3,即8=1×q3,所以q=2, 所以a3=4,a5=16, 根據(jù)題意,等差數(shù)列{bn}中, b2=4,b6=16, 因?yàn)閎6=b2+4d, 所以16=4+4d,所以d=3, 所以b1=1,b7=19, {bn}前7項(xiàng)和S7==70, 故選B. 3.(2018·廣東廣州市一模)已知等差數(shù)列{an}的公差為2,若a1,a3,a4成等比數(shù)列,則{an}前6項(xiàng)的和為(　B　) (A)-20 (B)-18 (C)-16 (D)-14 解析:因?yàn)閍1,a3,a4成等比數(shù)列, 所以=a1·a4, 所以(a1+4)2=a1(a1+6), 所以a1=-8, 所以S6=6×(-8)+×2=-18, 選B. 4.(2018·遼寧大連八中模擬)若記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,S3=6,則S4等于(　C　) (A)10或8 (B)-10 (C)-10或8 (D)-10或-8 解析:由等比數(shù)列求和公式,當(dāng)q≠1時(shí)得 S3===6, 所以q2+q-2=0, 所以q=-2或q=1(舍去), 當(dāng)q=-2時(shí),S4==-10, 當(dāng)q=1時(shí),S4=4a1=8.故選C. 5.(2018·云南玉溪高三適應(yīng)性訓(xùn)練)程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉,贈(zèng)分八子做盤纏.次第每人多十七,要將第八數(shù)來言.務(wù)要分明依次弟,孝和休惹外人傳.”意為:996斤棉花,分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi),從第一個(gè)開始,以后每人依次多17斤,直到第八個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要等級(jí)分明,使孝順子女的美德外傳,則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為(　B　) (A)65斤 (B)184斤 (C)183斤 (D)176斤 解析:由題意可得,8個(gè)孩子所得的棉花構(gòu)成公差為17的等差數(shù)列,且前8項(xiàng)和為996, 設(shè)首項(xiàng)為a1,結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有 S8=8a1+d=8a1+28×17=996. 解得a1=65,則a8=a1+7d=65+7×17=184(斤). 即第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為184斤.故選B. 6.(2018·安徽江南十校二模)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,=a2+a2 017且=d,則S2 018等于(　B　) (A)0 (B)1 009 (C)2 017 (D)2 018 解析:因?yàn)?d, 所以-=d(-), 即=(1+d)-d, 又=a2+a2 017, 所以 所以 所以S2 018==1 009(1+1+2 017d)=1 009.故選B. 7.(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是“現(xiàn)有一根金杖,長5尺,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺,重2斤.問依次每一尺各重多少斤?”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的,其重量為M,現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段,記第i段的重量為ai(i=1,2,…,10),且a1<a2<…<a10,若48aj=5M,則j等于(　C　) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 解析:由題意知,由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列, 記為{an},設(shè)公差為d,則 解得a1=,d=, 所以該金杖的總重量M=10×+×=15, 因?yàn)?8aj=5M, 所以48[+(j-1)×]=75, 即39+6j=75,解得j=6. 二、填空題 8.(2018·陜西西工大附中八模)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+a,則a的值為　　　　.  解析:因?yàn)镾n=3n+a, 所以a1=S1=3+a, a2=S2-S1=(9+a)-(3+a)=6, a3=S3-S2=(27+a)-(9+a)=18, 因?yàn)?, 所以a=-1. 答案:-1 9.(2018·遼寧葫蘆島二模)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù),a8=-2, a13=4,前12項(xiàng)依次成等差數(shù)列,從第11項(xiàng)起依次成等比數(shù)列,則a15=　　　　.  解析:設(shè)公差為d,則a11=a8+3d=-2+3d,a12=a8+4d=-2+4d, 因?yàn)榈?1項(xiàng),第12項(xiàng),第13項(xiàng)成等比數(shù)列, 所以=a11a13, 所以(-2+4d)2=4(-2+3d), 所以4d2-7d+3=0, 因?yàn)閐為整數(shù), 所以d=1, 所以a12=-2+4=2,q==2, 所以a15=a13q2=4×22=16. 答案:16 10.(2018·福建廈門二檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,|an-an-1|=n(n∈N,n≥3),{a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,則a2 018=　　　　.  解析:因?yàn)閧a2n-1}是遞增數(shù)列, 所以a2n+1-a2n-1>0, 所以(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0, 因?yàn)?n+1>2n, 所以|a2n+1-a2n|>|a2n-a2n-1|, 所以a2n+1-a2n>0(n≥2), 又a3-a1=5>0, 所以a2n+1-a2n>0(n≥1)成立, 由{a2n}是遞減數(shù)列, 所以a2n+2-a2n<0,同理可得a2n+2-a2n+1<0(n≥1), 所以 所以a2n+2-a2n=-1, 所以{a2n}是首項(xiàng)為3,公差為-1的等差數(shù)列. 故a2 018=3+(1 009-1)×(-1)=-1 005. 答案:-1 005 三、解答題 11.(2018·安徽馬鞍山一檢)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1,且(an+1)·an+1=an,n∈N*. (1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. (1)證明:an+1=?==+1?-=1, 故數(shù)列是以=1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列. (2)解:由(1)可知,=n,an=, bn= = = =-, Tn=b1+b2+b3+…+bn =(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=1-. 12.(2018·青海西寧二模)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an=2an-1+2n(n≥2). (1)證明:數(shù)列{}為等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=log2,記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn,設(shè)角B是 △ABC的內(nèi)角,若2sin B>Tn對(duì)于任意的n∈N*恒成立,求角B的取值 范圍. 解:(1)因?yàn)閍n=2an-1+2n,兩邊同時(shí)除以2n,可得=+1, 所以-=1, 又=1, 所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列; 所以=1+(n-1)×1=n, 所以an=n·2n. (2)由(1)知,an=n·2n,則bn=log2=n, 所以==-, 所以Tn=1-+-+-+…+-=1-<1, 又因?yàn)?sin B>Tn對(duì)于任意n∈N*恒成立, 所以2sin B≥1, 即sin B≥, 又B∈(0,π), 所以≤B≤, 所以B∈[,].