4.1.3球坐標系與柱坐標系1球坐標系、柱坐標系的理解2球坐標、柱坐標與直角坐標的互化基礎(chǔ)·初探1球坐標系與球坐標(1)在空間任取一點O作為極點，從O點引兩條互相垂直的射線Ox和Oz作為極軸，再規(guī)定一個長度單位和射線Ox繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所成的角的正方向，這樣就建立了一個球坐標系圖4­1­5(2)設(shè)P是空間一點，用r表示OP的長度，表示以O(shè)z為始邊，OP為終邊的角，表示半平面xOz到半平面POz的角，則有序數(shù)組(r，)就叫做點P的球坐標，其中r0,0，02.2直角坐標與球坐標間的關(guān)系圖4­1­6若空間直角坐標系的原點O，Ox軸及Oz軸，分別與球坐標系的極點、Ox軸及Oz軸重合，就可以得到空間中同一點P的直角坐標(x，y，z)與球坐標(r，)之間的關(guān)系，如圖4­1­6所示x2y2z2r2，xrsin_cos_，yrsin_sin_，zrcos_.3柱坐標系建立了空間直角坐標系O­xyz后，設(shè)P為空間中任意一點，它在xOy平面上的射影為Q，用極坐標(，)(0,02)表示點Q在平面xOy上的極坐標，這時點P的位置可以用有序數(shù)組(，z)(zR)表示，把建立上述對應關(guān)系的坐標系叫柱坐標系，有序數(shù)組(，z)叫做點P的柱坐標，記作P(，z)，其中0,02，zR.圖4­1­74直角坐標與柱坐標之間的關(guān)系思考·探究1空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系有何聯(lián)系和區(qū)別？【提示】柱坐標系和球坐標系都是以空間直角坐標系為背景，柱坐標系中一點在平面xOy內(nèi)的坐標是極坐標，豎坐標和空間直角坐標系的豎坐標相同；球坐標系中，則以一點到原點的距離和兩個角(高低角、極角)刻畫點的位置空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系都是空間坐標系，空間點的坐標都是由三個數(shù)值的有序數(shù)組組成2在空間的柱坐標系中，方程0(0為不等于0的常數(shù))，0，zz0分別表示什么圖形？【提示】在極坐標中，方程0(0為不等于0的常數(shù))表示圓心在極點，半徑為0的圓，方程0(0為常數(shù))表示與極軸成0角的射線而在空間的柱坐標系中，方程0表示中心軸為z軸，底半徑為0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動而成的方程0表示與zOx坐標面成0角的半平面方程zz0表示平行于xOy坐標面的平面，如圖所示常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標系的三族坐標面質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_將點的柱坐標或球坐標化為直角坐標(1)已知點M的球坐標為，則點M的直角坐標為_(2)設(shè)點M的柱坐標為，則點M的直角坐標為_【自主解答】(1)設(shè)M(x，y，z)，則x2sin ·cos 1，y2×sin ×sin 1，z2×cos .即M點坐標為(1,1，)(2)設(shè)M(x，y，z)，則x2×cos ，y2×sin 1，z7.即M點坐標為(，1,7)【答案】(1)(1,1，)(2)(，1,7)再練一題1(1)已知點P的柱坐標為，則它的直角坐標為_(2)已知點P的球坐標為，則它的直角坐標為_【解析】(1)由變換公式得：x4cos 2，y4sin 2，z8.點P的直角坐標為(2,2，8)(2)由變換公式得：xrsin cos 4sin cos 2，yrsin sin 4sin sin 2，zrcos 4cos 2.它的直角坐標為(2,2，2)【答案】(1)(2,2，8)(2)(2,2，2)將點的直角坐標化為柱坐標或球坐標已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，如圖4­1­8建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，Ax為極軸，求點C1的直角坐標、柱坐標以及球坐標圖4­1­8【思路探究】解答本題根據(jù)空間直角坐標系、柱坐標系以及球坐標系的意義和聯(lián)系計算即可【自主解答】點C1的直角坐標為(1,1,1)，設(shè)點C1的柱坐標為(，z)，球坐標為(r，)，其中0，r0,0，02，由公式及得及得及結(jié)合圖形得，由cos 得tan .點C1的直角坐標為(1,1,1)，柱坐標為(，1)，球坐標為(，)，其中tan ，0.化點M的直角坐標(x，y，z)為柱坐標(，z)或球坐標(r，)，需要對公式以及進行逆向變換，得到以及提醒在由三角函數(shù)值求角時，要先結(jié)合圖形確定角的范圍再求值再練一題2(1)設(shè)點M的直角坐標為(1,1,1)，求它在柱坐標系中的坐標(2)設(shè)點M的直角坐標為(1,1，)，求它的球坐標【導學號：98990006】【解】(1)設(shè)M的柱坐標為(，z)，則有解之得，.因此，點M的柱坐標為.(2)由坐標變換公式，可得r2.由rcos z，得cos ，.又tan 1，(M在第一象限)，從而知M點的球坐標為.真題鏈接賞析(教材第17頁習題4.1第16題)建立適當?shù)那蜃鴺讼祷蛑鴺讼当硎纠忾L為3的正四面體的四個頂點結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖4­1­9(1)是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體)圖形中的點代表鈉原子，如圖4­1­9(2)，建立空間直角坐標系O­xyz后，試寫出下層鈉原子所在位置的球坐標、柱坐標(1)(2)圖4­1­9【命題意圖】本題以食鹽晶胞為載體，主要考查柱坐標系及球坐標系在確定空間點的位置中的應用【解】下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的豎坐標全是0，所以這五個鈉原子所在位置的球坐標分別為(0,0,0)，；它們的柱坐標分別為(0,0,0)，(1,0,0)，.1已知點A的柱坐標為(1,0,1)，則點A的直角坐標為_【解析】由點A的柱坐標為(1,0,1)知，1，0，z1，故xcos 1，ysin 0，z1，所以直角坐標為(1,0,1)【答案】(1,0,1)2設(shè)點M的直角坐標為(1，1，)，則它的球坐標為_【解析】由坐標變換公式，r2.cos ，.tan 1，.故M的球坐標為.【答案】3已知點P的柱坐標為，點B的球坐標為，這兩個點在空間直角坐標系中點的坐標分別為_【導學號：98990007】【解析】設(shè)P(x，y，z)，則xcos1，ysin1，z5，P(1,1,5)設(shè)B(x，y，z)，則xsin cos ××，ysinsin××，z·cos ×.故B(，)【答案】P(1,1,5)，B(，)4把A(4，2)、B(3，2)兩點的柱坐標化為直角坐標，則兩點間的距離為_【解析】點A化為直角坐標為A(2，2,2)，點B化為直角坐標為B.AB222(22)21264616416()所以AB.【答案】我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_7