22.1綜合法和分析法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解綜合法、分析法的意義，掌握綜合法、分析法的思維特點.2.會用綜合法、分析法解決問題知識點一綜合法思考閱讀下列證明過程，總結(jié)此證明方法有何特點？已知a，b>0，求證：a(b2c2)b(c2a2)4abc.證明：因為b2c22bc，a>0，所以a(b2c2)2abc.又因為c2a22ac，b>0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.答案利用已知條件a>0，b>0和重要不等式，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論梳理(1)定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法(2)綜合法的框圖表示(P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論)知識點二分析法思考閱讀證明基本不等式的過程，試分析證明過程有何特點？已知a，b>0，求證：.證明：要證，只需證ab2，只需證ab20，只需證()20，因為()20顯然成立，所以原不等式成立答案從結(jié)論出發(fā)開始證明，尋找使證明結(jié)論成立的充分條件，最終把要證明的結(jié)論變成一個明顯成立的條件梳理(1)定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法(2)分析法的框圖表示1綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法(×)2分析法就是從結(jié)論推向已知(×)3分析法與綜合法證明同一問題時，一般思路恰好相反，過程相逆()類型一綜合法的應(yīng)用例1在ABC中，三邊a，b，c成等比數(shù)列求證：acos2ccos2b.考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題證明因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac.因為左邊(ac)(acos Cccos A)(ac)(ac)bbb右邊，所以acos2ccos2b.反思與感悟綜合法證明問題的步驟跟蹤訓(xùn)練1已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)求證：>3.考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題證明因為3，又a，b，c為不全相等的正實數(shù)，而2，2，2，且上述三式等號不能同時成立，所以3>633，即>3.類型二分析法的應(yīng)用例2設(shè)a，b為實數(shù)，求證：(ab)考點分析法及應(yīng)用題點分析法解決不等式問題證明當(dāng)ab0時，0，(ab)成立當(dāng)ab>0時，用分析法證明如下：要證(ab)，只需證()22，即證a2b2(a2b22ab)，即證a2b22ab.a2b22ab對一切實數(shù)恒成立，(ab)成立綜上所述，不等式得證反思與感悟分析法格式與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件、已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等)這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的它的常見書寫表達式是“要證只需”或“”跟蹤訓(xùn)練2已知非零向量a，b，且ab，求證：.考點分析法及應(yīng)用題點分析法解決不等式問題證明aba·b0，要證，只需證|a|b|ab|，只需證|a|22|a|b|b|22(a22a·bb2)，只需證|a|22|a|b|b|22a22b2，只需證|a|2|b|22|a|b|0，即證(|a|b|)20，上式顯然成立，故原不等式得證類型三分析法與綜合法的綜合應(yīng)用例3ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對邊分別為a，b，c.求證：(ab)1(bc)13(abc)1.考點分析法和綜合法的綜合應(yīng)用題點分析法和綜合法的綜合應(yīng)用證明要證(ab)1(bc)13(abc)1，即證，即證3，即證1.即證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即證c2a2acb2.因為ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60°.由余弦定理，得b2c2a22cacos 60°，即b2c2a2ac.所以c2a2acb2成立，命題得證引申探究本例改為求證>.證明要證>，只需證ab(ab)c>(1ab)c，即證ab>c.而ab>c顯然成立，所以>.反思與感悟綜合法由因?qū)Ч治龇▓?zhí)果索因，因此在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程跟蹤訓(xùn)練3已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1.求證：logxlogxlogx<logxalogxblogxc.考點分析法和綜合法的綜合應(yīng)用題點分析法和綜合法的綜合應(yīng)用證明要證logxlogxlogx<logxalogxblogxc，只需證logx<logx(abc)，由已知0<x<1，只需證··>abc，由公式>0，>0，>0.又a，b，c是不全相等的正數(shù)，··>abc.即··>abc成立logxlogxlogx<logxalogxblogxc成立.1命題“對于任意角，cos4sin4cos 2”的證明過程為：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”，其應(yīng)用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用D類比法考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決三角形問題答案B2設(shè)0<x<1，則a，bx1，c中最大的是()Aa BbCc D隨x取值不同而不同考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題答案C解析0<x<1，bx1>2>a，(x1)>0，c>b>a.3要證<成立，只需證()A()2<()2B()2<()2C()2<()2D()2<()2考點分析法及應(yīng)用題點尋找結(jié)論成立的充分條件答案C解析根據(jù)不等式性質(zhì)，當(dāng)a>b>0時，才有a2>b2，只需證<，即證()2<()2.4已知a，b，c分別是ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且a2b2c2ab，則角C的值為_考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決三角形問題答案解析cos C，0<C<，C.5已知a，b，c都為正實數(shù)，求證：.考點分析法及應(yīng)用題點分析法解決不等式問題證明要證，只需證2，只需證3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需證2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需證(ab)2(bc)2(ca)20，而這是顯然成立的，所以成立1綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч环治龇ㄊ菑慕Y(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因2分析法證題時，一定要恰當(dāng)?shù)剡\用“要證”、“只需證”、“即證”等詞語3在解題時，往往把綜合法和分析法結(jié)合起來使用一、選擇題1若實數(shù)x，y滿足不等式xy>1，xy0，則()Ax>0，y>0 Bx<0，y<0Cx>0，y<0 Dx<0，y>0考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題答案A解析由得2要證a2b21a2b20，只需證()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0考點分析法及應(yīng)用題點尋找結(jié)論成立的充分條件答案D解析要證a2b21a2b20，只需證a2b2(a2b2)10，即證(a21)(b21)0.3在非等邊三角形ABC中，A為鈍角，則三邊a，b，c滿足的條件是()Ab2c2a2 Bb2c2>a2Cb2c2a2 Db2c2<a2考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決三角形問題答案D解析由余弦定理的推論，得cos A，A為鈍角，cos A<0，則b2c2<a2.4A，B為ABC的內(nèi)角，A>B是sin A>sin B的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決三角形問題答案C解析由正弦定理得2R(R為ABC的外接圓半徑)，又A，B為三角形的內(nèi)角，sin A>0，sin B>0，sin A>sin B2Rsin A>2Rsin Ba>bA>B.5設(shè)a，b>0，且ab，ab2，則必有()A1ab Bab<1<Cab<<1 D.<ab<1考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題答案B解析因為ab，故>ab，又因為ab2>2，故ab<1，2ab>1，即>1>ab.6若a，b，c，則()Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<a<c考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決函數(shù)問題答案C解析利用函數(shù)單調(diào)性設(shè)f(x)，則f(x)，當(dāng)0<x<e時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減又a，b>a>c.7設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)單調(diào)遞減若x1x2>0，則f(x1)f(x2)的值()A恒為負 B恒等于零C恒為正 D無法確定正負考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決函數(shù)問題答案A解析由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的減函數(shù)由x1x2>0，可知x1>x2，所以f(x1)<f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)<0.二、填空題8命題“函數(shù)f(x)xxln x在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程為“對函數(shù)f(x)xxln x取導(dǎo)得f(x)ln x，當(dāng)x(0,1)時，f(x)ln x>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了_的證明方法考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決函數(shù)問題答案綜合法9如果ab>ab，則正數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_考點分析法及應(yīng)用題點尋找結(jié)論成立的充分條件答案ab解析ab(ab)a()b()()(ab)()2()只要ab，就有ab>ab.10設(shè)a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為_考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題答案a>c>b解析a2c22(84)46>0，a>0，c>0，a>c.c>0，b>0，>1，c>b.a>c>b.11比較大?。涸O(shè)a>0，b>0，則lg(1)_lg(1a)lg(1b)考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題答案解析(1)2(1a)(1b)2(ab)0，(1)2(1a)(1b)，則lg(1)2lg(1a)(1b)，即lg(1)lg(1a)lg(1b)12.如圖所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時，有A1CB1D1(注：填上你認為正確的一個條件即可，不必考慮所有可能的情形)考點分析法及應(yīng)用題點尋找結(jié)論成立的充分條件答案對角線互相垂直(答案不唯一)解析要證A1CB1D1，只需證B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因為該四棱柱為直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需證B1D1A1C1即可三、解答題13已知a>0，求證：a2.考點分析法及應(yīng)用題點利用分析法解決不等式問題證明要證a2，只需證2a.因為a>0，所以只需證22，即a244a2222，從而只需證2 ，只需要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立四、探究與拓展14若不等式(1)na<2對任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題答案解析當(dāng)n為偶數(shù)時，a<2，而22，所以a<；當(dāng)n為奇數(shù)時，a>2，而2<2，所以a2.綜上可得，2a<.15在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：ABC為等邊三角形考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題證明由A，B，C成等差數(shù)列，得2BAC.由于A，B，C為ABC的三個內(nèi)角，所以ABC.由，得B.由a，b，c成等比數(shù)列，得b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，從而ac，所以AC.由，得ABC，所以ABC為等邊三角形13