第4講不等式 2019考向?qū)Ш娇键c(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)測(cè)2019201820171不等式的解法第4題不等式在江蘇高考中主要考查一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題基本不等式是考查重點(diǎn)試題多與集合、函數(shù)等知識(shí)交匯命題，以填空題的形式呈現(xiàn)，屬中高檔題不等式成立問題會(huì)在壓軸題中出現(xiàn)，難度較大，不等式的實(shí)際應(yīng)用有時(shí)也會(huì)在實(shí)際應(yīng)用題中出現(xiàn)，主要利用基本不等式求最值2基本不等式第10題第13題第10題3不等式成立問題4線性規(guī)劃5不等式的實(shí)際應(yīng)用1必記的概念與定理已知x>0，y>0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是(簡記：和定積最大)確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時(shí)，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法直線定界，即若不等式不含等號(hào)，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號(hào)，把直線畫成實(shí)線；特殊點(diǎn)定域，即在直線AxByC0的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)代入不等式檢驗(yàn)，若滿足不等式，則表示的就是包括該點(diǎn)的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)特別地，當(dāng)C 0時(shí)，常把原點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn)；當(dāng)C0時(shí)，常選點(diǎn)(1，0)或者(0，1)作為測(cè)試點(diǎn)2記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論(1)幾個(gè)重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同號(hào))ab(a，bR)；(a，bR)(2)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(3)簡單分式不等式的解法變形>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)且g(x)0；變形0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0(4)兩個(gè)常用結(jié)論ax2bxc>0(a0)恒成立的條件是ax2bxc<0(a0)恒成立的條件是3需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn)(1)利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍(2)在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤不等式的解法典型例題 (1)(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(八)已知函數(shù)f(x)4x22axb(a，bR)的值域?yàn)?，0，若關(guān)于x的不等式f(x)m的解集為c，c8，則實(shí)數(shù)m的值為_(2)(2019·蘇州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)若不等式f(x)5mx恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)4x22axb(a，bR)的值域?yàn)?，0，所以函數(shù)的最大值為0令f(x)0，可得4a24×(4)×(b)4a216b0，即b關(guān)于x的不等式f(x)m可化簡為4x22axbm0，即4x22axm0又關(guān)于x的不等式f(x)m的解集為c，c8，所以方程4x22axm0的兩個(gè)根為x1c，x2c8，則，又|x1x2|2(x1x2)24x1x264，即()24()64，解得m64(2)作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，令g(x)5mx，則g(x)恒過點(diǎn)(0，5)，由f(x)g(x)恒成立，并數(shù)形結(jié)合得m0，解得0m【答案】(1)64(2)二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)，也是高考的熱點(diǎn)本題(1)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法突出考查將二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的能力和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(六)已知函數(shù)f(x)若f(a)f(f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析 由題意知，f(2)()231，f(1)1，所以不等式化為f(a)>1當(dāng)a0時(shí)，f(a)()a3>1，解得a<2；當(dāng)a>0時(shí)，f(a)>1，解得a>1因而a的取值范圍為(，2)(1，)答案 (，2)(1，)2已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，2A，則a的取值范圍是_解析 因?yàn)?A，所以44aa21<0，即a24a3<0，解得1<a<3答案 1<a<3基本不等式典型例題 (1)(2019·南通市高三調(diào)研)若正實(shí)數(shù)x，y滿足xy1，則的最小值是_(2)(2019·高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線yx(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線xy0的距離的最小值是_【解析】(1)因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足xy1，所以4248，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時(shí)，取“”，所以的最小值是8(2)設(shè)P，x>0，則點(diǎn)P到直線xy0的距離d4，當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時(shí)取等號(hào)，故點(diǎn)P到直線xy0的距離的最小值是4【答案】(1)8(2)4用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用基本不等式求出最值在求條件最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)若正數(shù)x，y滿足15xy22，則x3y3x2y2的最小值為_解析 x3y3x2y2x3xy3yx2y2xy3x2y2x2y2xy2x2xy2x2xy6xxy1，當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)取等號(hào)，故x3y3x2y2的最小值為1答案 14(2018·高考江蘇卷)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，ABC120°，ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD1，則4ac的最小值為_解析 因?yàn)锳BC120°，ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，所以ABDCBD60°，由三角形的面積公式可得acsin 120°asin 60°csin 60°，化簡得acac，又a>0，c>0，所以1，則4ac(4ac)·5529，當(dāng)且僅當(dāng)c2a時(shí)取等號(hào)，故4ac的最小值為9答案 9線性規(guī)劃典型例題 (1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則x2y2的取值范圍是_(2)設(shè)zkxy，其中實(shí)數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k_【解析】(1)不等式組所表示的平面區(qū)域是以點(diǎn)(0，2)，(1，0)，(2，3)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，如圖所示因?yàn)樵c(diǎn)到直線2xy20的距離為，所以(x2y2)min，又當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(2，3)時(shí)，x2y2取得最大值13，故x2y2的取值范圍是(2)作出可行域，如圖中陰影部分所示，由圖可知當(dāng)0k<時(shí)，直線ykxz經(jīng)過點(diǎn)M(4，4)時(shí)z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；當(dāng)k時(shí)，直線ykxz經(jīng)過點(diǎn)(0，2)時(shí)z最大，此時(shí)z的最大值為2，不合題意；當(dāng)k<0時(shí)，直線ykxz經(jīng)過點(diǎn)M(4，4)時(shí)z最大，所以4k412，解得k2，符合題意綜上可知k2【答案】(1)(2)2確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法(1)“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，即先作直線，再取特殊點(diǎn)并代入不等式組若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對(duì)應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域(2)當(dāng)不等式中帶等號(hào)時(shí)，邊界畫為實(shí)線，不帶等號(hào)時(shí)，邊界應(yīng)畫為虛線，特殊點(diǎn)常取原點(diǎn)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)若變量x，y滿足不等式組，則的最小值為_解析 作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中OAB(含邊界)所示，作直線l：xy0，若向上平移直線l，則xy的值增大，當(dāng)平移至過點(diǎn)B(2，4)時(shí)，xy取得最大值6，此時(shí)取得最小值答案 6(2019·江蘇省名校高三入學(xué)摸底卷)設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a>0，b>0)的最大值為M，且M的取值范圍是1，2，則點(diǎn)P(a，b)所組成的平面區(qū)域的面積是_解析 作出約束條件表示的平面區(qū)域如圖1中陰影部分所示(三角形OAB及其內(nèi)部)將目標(biāo)函數(shù)zaxby(a>0，b>0)化為直線方程的形式為yx，若2，當(dāng)直線yx經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)時(shí)，zaxby(a>0，b>0)取得最大值Ma1，2，由得點(diǎn)P(a，b)所組成的平面區(qū)域如圖2中陰影部分所示，此時(shí)點(diǎn)P(a，b)所組成的平面區(qū)域的面積為若>2，當(dāng)直線yx經(jīng)過點(diǎn)B(0，2)時(shí)，zaxby(a>0，b>0)取得最大值M2b1，2，由得點(diǎn)P(a，b)所組成的平面區(qū)域如圖3中陰影部分所示，此時(shí)點(diǎn)P(a，b)所組成的平面區(qū)域的面積為綜上，點(diǎn)P(a，b)所組成的平面區(qū)域的面積為答案 不等式的實(shí)際應(yīng)用典型例題 “第五屆上海智能家居展覽會(huì)”于2017年7月5日7月7日在上海新國際博覽中心舉行，全面展示當(dāng)前最新的智能家居某智能家居企業(yè)可以向社會(huì)提供智能家居套餐的生產(chǎn)和銷售一條龍服務(wù)，由于2016年沒有進(jìn)行促銷活動(dòng)，該企業(yè)的某品牌套餐全年的銷量只有125萬套，如果延續(xù)2016年的經(jīng)營策略，預(yù)計(jì)2017年的銷量只有2016年的80%為了不斷拓展市場(chǎng)，提高經(jīng)營效益，擬在2017年借“第五屆上海智能家居展覽會(huì)”的東風(fēng)對(duì)該品牌套餐進(jìn)行促銷活動(dòng)經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，該品牌套餐的年銷量x萬套與年促銷費(fèi)用t萬元之間滿足關(guān)系：x(t0)預(yù)計(jì)2017年生產(chǎn)設(shè)備的固定成本為4萬元，每生產(chǎn)1萬套該品牌套餐需再投入27萬元的可變成本，若將每套該品牌套餐的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的160%與平均每套促銷費(fèi)用的40%的和，則當(dāng)年生產(chǎn)的該品牌套餐正好能銷售完(1)將該企業(yè)2017年的利潤y萬元表示為關(guān)于年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)；(2)該企業(yè)2017年的促銷費(fèi)用為多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大？(注：利潤銷售收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi)用，生產(chǎn)成本固定成本可變成本)【解】(1)由題意可知在x(t0)中，當(dāng)t0時(shí)，x125×081，代入上式得m1，所以x(t0)當(dāng)年生產(chǎn)x萬套時(shí)，年生產(chǎn)成本為27x427×4當(dāng)年銷售x萬套時(shí)，年銷售收入為160%×40%×t由題意，生產(chǎn)x萬套該品牌套餐正好銷售完，由利潤銷售收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi)用，得y160%×40%×tt所以y(t0)(2)y×(11318)57，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即t8時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)該企業(yè)2017年的促銷費(fèi)用為8萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大，且最大值為57萬元利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)此類型的題目往往較長，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7(2019·蘇州調(diào)研)如圖，GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線，某公司準(zhǔn)備在GH上的一點(diǎn)B的正北方向的A處建一倉庫，設(shè)ABy km，并在公路同側(cè)建造邊長為x km的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF(其中邊EF在GH上)，現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB，AC，已知ABAC1，且ABC60°(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)如果中轉(zhuǎn)站四周圍墻造價(jià)為1萬元/km，兩條道路造價(jià)為3萬元/km，問：x取何值時(shí)，該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價(jià)M最低？解 (1)因?yàn)锳By，ABAC1，所以ACy1在直角三角形BCF中，因?yàn)镃Fx，ABC60°，所以CBF30°，BC2x由于2xy1 >y，得x>在ABC中，因?yàn)锳C2AB2BC22AB·BCcos 60°，所以(y1)2y24x22xy則y由y 0，及x>，得x 1即y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y(x 1)(2)M3(2y1)4x34x令x1t，則M34(t1)16t2549，在t，即x，y時(shí)，總造價(jià)M最低所以x時(shí)，該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價(jià)M最低1函數(shù)f(x)lg(2xx2)的定義域?yàn)開解析 1<x<0或0<x<2，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，0)(0，2)答案 (1，0)(0，2)2已知t>0，則函數(shù)y的最小值為_解析 因?yàn)閠>0，所以yt4242，且在t1時(shí)取等號(hào)答案 23(2019·高三第一次調(diào)研測(cè)試)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy2x3，則xy的最小值為_解析 作出可行域如圖中陰影部分所示，令zxy，數(shù)形結(jié)合易知當(dāng)直線zxy過點(diǎn)A(3，3)時(shí)，z取得最小值，zmin6答案 64(2019·蘇北四市高三質(zhì)量檢測(cè))設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x3，則不等式f(x)5 的解集為_解析 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)2x3，所以當(dāng)x0，即x0時(shí)，f(x)2x3，因?yàn)楹瘮?shù)f(x) 是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)2x3f(x)，所以f(x)2x3當(dāng)x0時(shí)，不等式f(x)5等價(jià)為2x35，即2x2，無解，故x0時(shí)，不等式不成立；當(dāng)x0時(shí)，不等式f(x)5等價(jià)為2x35，即2x8，得x3；當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，不等式f(x)5不成立綜上，不等式f(x)5的解集為(，3答案 (，35某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是_解析 一年購買次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為×64x48240，當(dāng)且僅當(dāng)x30時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30答案 306(2019·蘇北三市高三模擬)已知對(duì)于任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析 記f(x)x22(a2)xa，令f(x)0，由題意得，4(a2)24a0或所以1a4或4a5，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，5答案 (1，57(2019·揚(yáng)州市第一學(xué)期期末檢測(cè))已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x4yxy0，若xym恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_解析 x4yxy0，即x4yxy，等式兩邊同時(shí)除以xy，得1，由基本不等式可得xy(xy)·5259，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y6時(shí)，等號(hào)成立，所以xy的最小值為9，因?yàn)閙9答案 m98在R上定義運(yùn)算：x*yx(1y)，若不等式(xa)*(xa)1對(duì)任意的x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析 由于(xa)*(xa)(xa)(1xa)，則不等式(xa)*(xa)1對(duì)任意的x恒成立，即x2xa2a10恒成立，所以a2a1x2x恒成立，又x2x，則a2a1，解得a答案 9記mina，b為a，b兩數(shù)的最小值當(dāng)正數(shù)x，y變化時(shí)，令tmin，則t的最大值為_解析 因?yàn)閤0，y0，所以問題轉(zhuǎn)化為t2(2xy)·2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立，所以0t，所以t的最大值為答案 10(2019·寧波統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)loga(x2a|x|3)(a>0，a1)若對(duì)于1x1<x2的任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f(x1)f(x2)<0成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是_解析 易知已知函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)x時(shí)為減函數(shù)對(duì)于x時(shí)， f(x)loga(x2ax3)(a>0，a1)設(shè)g(x)x2ax3，由題意得：或則2a<4或0<a<1答案 (0，1)2，4)11已知x0，a為大于2x的常數(shù)，(1)求函數(shù)yx(a2x)的最大值；(2)求yx的最小值解 (1)因?yàn)閤0，a2x，所以yx(a2x)×2x(a2x)，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為(2)y2 當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)故yx的最小值為12已知關(guān)于x的不等式>0(1)當(dāng)a2時(shí)，求此不等式的解集；(2)當(dāng)a>2時(shí)，求此不等式的解集解 (1)當(dāng)a2時(shí)，不等式可化為>0，所以不等式的解集為x|2<x<1或x>2(2)當(dāng)a>2時(shí)，不等式可化為>0，當(dāng)2<a<1時(shí)，解集為x|2<x<a或x>1；當(dāng)a1時(shí)，解集為x|x>2且x1；當(dāng)a>1時(shí)，解集為x|2<x<1或x>a13(2019·鹽城市高三第三次模擬考試)如圖，某人承包了一塊矩形土地ABCD用來種植草莓，其中AB99 m，AD495 m現(xiàn)計(jì)劃建造如圖所示的半圓柱型塑料薄膜大棚n(nN*)個(gè)，每個(gè)半圓柱型大棚的兩半圓形底面與側(cè)面都需蒙上塑料薄膜(接頭處忽略不計(jì))，塑料薄膜的價(jià)格為每平方米10元；另外，還需在每兩個(gè)大棚之間留下1 m寬的空地用于建造排水溝與行走小路(如圖中EF1 m)，這部分的建設(shè)造價(jià)為每平方米314元(1)當(dāng)n20時(shí)，求蒙一個(gè)大棚所需塑料薄膜的面積；(結(jié)果保留)(2)試確定大棚的個(gè)數(shù)，使得上述兩項(xiàng)費(fèi)用的和最低(計(jì)算中取314)解 (1)設(shè)每個(gè)半圓柱型大棚的底面半徑為r當(dāng)n20時(shí)，共有19塊空地，所以r2(m)，所以每個(gè)大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為r2r×AD×222×495103(m2)，即蒙一個(gè)大棚所需塑料薄膜的面積為103 m2(2)設(shè)兩項(xiàng)費(fèi)用的和為f(n)因?yàn)閞，所以每個(gè)大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為Sr2r×AD××495×，則f(n)10nS314×1×495(n1)10n××495×314×1×495(n1)314×495×495(n1)×99(100n)198(n1)×(100n9 502)×100×9 502，因?yàn)閚220，當(dāng)且僅當(dāng)n10時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)n10時(shí)，f(n)取得最小值，即當(dāng)大棚的個(gè)數(shù)為10個(gè)時(shí)，上述兩項(xiàng)費(fèi)用的和最低14設(shè)m是常數(shù)，集合Mm|m>1，f(x)log3(x24mx4m2m)(1)證明：當(dāng)mM時(shí)，f(x)對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都有意義；(2)當(dāng)mM時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(3)求證：對(duì)每個(gè)mM，函數(shù)f(x)的最小值都不小于1解 (1)證明：f(x)log3，當(dāng)mM，即m>1時(shí)，(x2m)2m>0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)镽(2)令g(x)x24mx4m2m，因?yàn)閥log3g(x)是增函數(shù)，所以當(dāng)g(x)最小時(shí)f(x)最小，而g(x)(x2m)2m，顯然當(dāng)x2m時(shí)，g(x)的最小值為m此時(shí)f(x)minlog3(3)證明：mM時(shí)，mm11213，所以log3log331，結(jié)論成立- 15 -