高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第8章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理（含解析）新人教版1如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，這條斜線與平面所成的角是()A.B.C.D.解析：選Dcosa，b且a，b(0，)，a，b. 2在正方形ABCD­A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則 sin，的值為()A.B.C.D.解析：選B設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.故選B. 3(xx·汕頭調(diào)研)如圖，在四面體ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，則二面角A­BC­D的大小為()A.B.C.D.解析：選B依題意可知，二面角A­BC­D的大小等于與所成角的大小，2|·|·cos，即121492×2 cos，cos，與所成的角為，所以二面角A­BC­D的大小為.故選B. 4如圖所示，已知正方體ABCD­A1B1C1D1，E、F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角是()A60°B45°C30°D90°解析：選B以D為原點(diǎn)，分別以射線DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，(0,1,0)，cos，135°，異面直線EF和CD所成的角是45°.故選B. 5(xx·西安模擬)已知三棱錐S­ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，SA底面ABC，SA3，那么直線AB與平面SBC所成的角的正弦值為()A.B.C.D.解析：選D建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(2,0,0)，A(0,0,0)，S(0,0,3)，C(1，0)設(shè)平面SBC的法向量為n(x，y，z)，由得，令x3，則n(3，2)又(2,0,0)設(shè)直線AB與平面SBC所成角為，則 sin |cos，n|.故選D. 6(xx·金華十校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ACB90°，2ACAA1BC2.若二面角B1­DC­C1的大小為60°，則AD的長(zhǎng)為()A.B.C2D.解析：選A如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0，0,2)設(shè)ADa，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)設(shè)平面B1CD的法向量為m(x，y，z)由，得，令z1，則m(a,1，1)又平面C1DC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，則由 cos 60°，得，解得a，所以AD.故選A. 7設(shè)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是_解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)則由得，令x1，則n(1，1，1)又(0,0,2)所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d. 8(xx·福州質(zhì)檢)在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱AA1底面ABC，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD1，若AD與平面AA1C1C的夾角為，則 sin 的值為_(kāi)解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，易知點(diǎn)D，平面AA1C1C的一個(gè)法向量是n(1,0,0)，所以cosn，所以sin . 9(xx·昆明模擬)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為_(kāi)解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1，由已知條件得，A(1,0,0)，E，F(xiàn)，.設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，平面AEF與平面ABC所成的二面角為，由，得.令y1，則n(1,1，3)又平面ABC的一個(gè)法向量為m(0,0，1)，則 cos |cosn，m|，所以tan . 10(xx·湖南高考)如圖，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，ACBD，BC1，ADAA13.(1)求證：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值(1)證明：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因?yàn)锳CBD，所以·t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因?yàn)?#183;3300，所以，即ACB1D.(2)解：由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，由得，令x1，則n(1，)設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|.所以直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. 11(xx·東營(yíng)模擬)如圖，四邊形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，AB2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且E為BC的中點(diǎn)，EFAB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使二面角A­EF­D等于60.(1)設(shè)P為AD的中點(diǎn)，求證：CP平面ABEF；(2)求直線AF與平面ACD所成角的正弦值(1)證明：取AF的中點(diǎn)Q，連QE，QP，則QP綊DF.又DF4，EC2，且DFEC，所以PQ綊EC，所以四邊形PQEC為平行四邊形，所以CPQE.又QE平面ABEF，CP平面ABEF，所以CP平面ABEF.(2)解：由題知折疊后仍有EFAF，EFFD，則EF平面AFD.AFD為二面角A­EF­D的平面角，所以AFD60.過(guò)A作AOFD于O，又AOEF，AO平面CDFE.作OGEF交EC于G，則OGFD，AOOG，分別以O(shè)G，OD，OA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，在RtAOF中，AF2，AFO60，則FO1，OA，F(xiàn)(0，1,0)，A (0,0，)，D(0,3,0)，C(2,1,0)，(0，1，)，(0,3，)，(2,2,0)，設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由得，令z，則n(1,1，)設(shè)直線AF與平面ACD所成的角為，則sin |cosn，|，即直線AF與平面ACD所成角的正弦值為.12(xx·北京高考)如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5，(1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值；(3)求證：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得ADA1B，并求的值(1)證明：因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1AC.因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1C1C，且AA1AC，所以AA1平面ABC.(2)解：由(1)知AA1AC，AA1AB.由題知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，則得，令z3，則x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得平面B1BC1的法向量為m(3,4,0)所以 cosn，m.由圖形知二面角A1­BC1­B1為銳角，所以二面角A1­BC1­B1的余弦值為.(3)證明：設(shè)D(x，y，z)是直線BC1上一點(diǎn)，且，所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由·0，得9250，解得.因?yàn)?,1，所以在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得ADA1B，此時(shí)，. 1(xx·唐山調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，AB3，BC4，沿對(duì)角線BD將ABD折起，使A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影O落在BC邊上，若二面角C­AB­D的大小為，則 sin ()A.B.C.D.解析：選A由可求得BO，OC，AO，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則C，B，A，D，故(4,3,0)，.設(shè)m(x，y，z)是平面ABD的法向量，則，令z3，則m.又(0,3,0)是平面ABC的一個(gè)法向量，cosm，.sin .故選A. 2如圖，三棱錐A­BCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB4，DC2，BDDC，ABAD2，AE平面BCD，二面角A­BD­C的大小為60.則直線AC與平面ABD所成角的正弦值為_(kāi)解析：取BD的中點(diǎn)M，連接ME，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Mxyz，則A(0,1，)，B(2,0,0)，D(2,0,0)，C(2，2,0)，故(2，1，)，(2，1，)，(2,1，)設(shè)平面ABD的法向量為n(x，y，z)，則，令 z1，得n(0，1)，設(shè)直線AC與平面ABD所成的角為，則 sin ，所以直線AC與平面ABD所成角的正弦值為. 3(xx·東北三校聯(lián)考)如圖，三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱AA1底面ABC，ACB90，E是棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AC1，BC2，AA14.(1)當(dāng)E是棱CC1的中點(diǎn)時(shí)，求證：CF平面AEB1；(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A­EB1­B的余弦值是？若存在，求CE的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)取AB1的中點(diǎn)G，連EG、FG.F，G分別是棱AB，AB1的中點(diǎn)，F(xiàn)GBB1，F(xiàn)GBB1，又ECBB1，ECCC1BB1，F(xiàn)GEC，F(xiàn)GEC，四邊形FGEC是平行四邊形，CFEG.CF平面AEB1，EG平面AEB1，CF平面AEB1.(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,4)設(shè)E(0,0，m)(0m4)，平面AEB1的法向量n1(x，y，z)(1,2,4)，(1,0，m)由n1，n1，得解得.令z2，則n1(2m，m4,2)CA平面C1CBB1，是平面EBB1的一個(gè)法向量，令n2(1,0,0)，二面角A­EB1­B的余弦值為，cosn1，n2，解得m1滿足0m4.在棱CC1上存在點(diǎn)E，符合題意，此時(shí)CE1.4(xx·衡水一中模擬)如圖，在三棱錐P­ABC中，PAPBPCAC4，ABBC2.(1)求證：平面ABC平面APC；(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；(3)若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上，二面角M­PA­C的余弦值為，求B點(diǎn)到AM的最小值(1)證明：取AC中點(diǎn)O，因?yàn)锳PCP，所以O(shè)POC.由已知易得三角形ABC為直角三角形，OAOBOC，POAPOBPOC，OPOB，OP平面ABC，又OP平面PAC，平面ABC平面APC.(2)解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2)，(2,2,0)，(2,0，2)，(0,2,2)設(shè)平面PBC的法向量n1(x，y，z)，由得，令x，則n1(，1)，cos，n1.直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.(3)解：由題意平面PAC的法向量n2(2,0,0)，設(shè)平面PAM的法向量為n3(x，y，z)，M(m，n,0)(0,2,2)，(m，n2,0)，由得.令z1，則n3，cosn2，n3，整理得3232，(n2)4m，點(diǎn)M所在的直線方程為4mn20.B點(diǎn)到AM的距離的最小值為d.