2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積課時作業(yè)1(2018·合肥市質(zhì)檢)已知一個圓錐底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為()AB.C2 D3解析：依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2，因此，解得r，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4×()22，故選C.答案：C2平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A. B4C4 D6解析：設(shè)球的半徑為R，由球的截面性質(zhì)得R，所以球的體積VR34.答案：B3已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. BC. D解析：該幾何體由一個三棱錐和一個三棱柱組合而成，直觀圖如圖所示，VV柱V錐×(11)×1×2××(11)×1×2，故選C.答案：C4如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線(實線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的體積為()A24 B29C48 D58解析：如圖，在3×2×4的長方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三棱錐ABCD)，其外接球即為長方體的外接球，表面積為4R2(322242)29.答案：B5(2018·合肥市質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為()A3 B3C9 D9解析：由題中的三視圖，可得該幾何體是一個以俯視圖中的梯形為底面的四棱錐，其底面面積S×(24)×13，高h(yuǎn)3，故其體積VSh3，故選A.答案：A6若三棱錐PABC的最長的棱PA2，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是_解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補成長方體，則該三棱錐的外接球即該長方體的外接球，易得外接球的半徑RPA1，所以該三棱錐的外接球的體積V××13.答案：7已知矩形ABCD的頂點都在半徑為2的球O的球面上，且AB3，BC，過點D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，則棱錐EABCD的體積為_解析：如圖所示，BE過球心O，DE2，VEABCD×3××22.答案：28已知H是球O的直徑AB上一點，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_解析：如圖，設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因為AHHB12，所以O(shè)HR.由勾股定理，有R2r2OH2，又由題意得r2，則r1，故R21(R)2，即R2.由球的表面積公式，得S4R2.答案：9如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐D­ABCFE的體積解析：(1)證明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.由此得EFHD，EFHD，所以ACHD.(2)由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4.所以O(shè)H1，DHDH3.于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知，ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.五邊形ABCFE的面積S×6×8××3.所以五棱錐D­ABCFE的體積V××2.10(2018·莆田質(zhì)檢)如圖，在四棱錐SABCD中，四邊形ABCD為矩形，E為SA的中點，SASB2，AB2，BC3.(1)證明：SC平面BDE；(2)若BCSB，求三棱錐CBDE的體積解析：(1)證明：連接AC，設(shè)ACBDO，四邊形ABCD為矩形，則O為AC的中點在ASC中，E為AS的中點，SCOE，又OE平面BDE，SC平面BDE，SC平面BDE.(2)BCAB，BCSB，ABSBB，BC平面SAB，又BCAD，AD平面SAB.SC平面BDE，點C與點S到平面BDE的距離相等，VCBDEVSBDEVDSBE，在ABS中，SASB2，AB2，SABS×2×1.又E為AS的中點，SBESSABS.又點D到平面BES的距離為AD，VDBESSBES·AD××3，VCBDE，即三棱錐CBDE的體積為.B組能力提升練1(2018·湖北七市聯(lián)考)一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為()A36 BC32 D28解析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為4的正方形，高是2.將該四棱錐補形成一個三棱柱，如圖所示，則其底面是邊長為4的正三角形，高是4，該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，底面三角形的中心到該三角形三個頂點的距離為×2，外接球的半徑R ，外接球的表面積S4R24×，故選B.答案：B2(2018·廣州模擬)九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑若三棱錐PABC為鱉臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱錐PABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為()A8 B12C20 D24解析：如圖，因為四個面都是直角三角形，所以PC的中點到每一個頂點的距離都相等，即PC的中點為球心O，易得2RPC，所以R，球O的表面積為4R220，選C.答案：C3在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4B.C6D.解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑R，該球的體積最大，VmaxR3×.答案：B4四棱錐SABCD的所有頂點都在同一個球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時，其表面積等于88，則球O的體積等于()A. B C16 D解析：依題意，設(shè)球O的半徑為R，四棱錐SABCD的底面邊長為a、高為h，則有hR，即h的最大值是R，又AC2R，則四棱錐SABCD的體積VSABCD×2R2h.因此，當(dāng)四棱錐SABCD的體積最大，即hR時，其表面積等于(R)24××R× 88，解得R2，因此球O的體積等于，選A.答案：A5(2017·河北質(zhì)量監(jiān)測)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為_cm3.解析：由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，在三棱錐DABC中，底面ABC是等腰三角形，設(shè)底邊AB的中點為E，則底邊AB及底邊上的高CE均為4，側(cè)棱AD平面ABC，且AD4，所以三棱錐DABC的體積VSABC·AD××4×4×4(cm3)答案：6已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_解析：過O作底面ABCD的垂線段OE(圖略)，則E為正方形ABCD的中心由題意可知×()2×OE，所以O(shè)E，故球的半徑ROA，則球的表面積S4R224.答案：247如圖，已知正三棱錐P­ABC的側(cè)面是直角三角形，PA6.頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G.(1)證明：G是AB的中點；(2)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積解析：(1)證明：因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以ABPD.因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以ABDE.因為PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知，可得PAPB，所以G是AB的中點(2)在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于點F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC.因此EF平面PAC，即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影連接CG，因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心由(1)知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CDCG.由題設(shè)可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，所以四面體PDEF的體積V××2×2×2.