第8節(jié)曲線與方程最新考綱1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系；2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究曲線的簡單性質(zhì)；3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程.知 識 梳 理1.曲線與方程的定義一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立如下的對應(yīng)關(guān)系：那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.2.求動點的軌跡方程的基本步驟常用結(jié)論與微點提醒1.“曲線C是方程f(x，y)0的曲線”是“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要條件.2.曲線的交點與方程組的關(guān)系：(1)兩條曲線交點的坐標是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)f(x0，y0)0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件.()(2)方程x2xyx的曲線是一個點和一條直線.()(3)動點的軌跡方程和動點的軌跡是一樣的.()(4)方程y與xy2表示同一曲線.()解析對于(2)，由方程得x(xy1)0，即x0或xy10，所以方程表示兩條直線，錯誤；對于(3)，前者表示方程，后者表示曲線，錯誤；對于(4)，曲線y是曲線xy2的一部分，錯誤.答案(1)(2)×(3)×(4)×2.已知M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，則動點P的軌跡是()A.雙曲線 B.雙曲線左支C.一條射線 D.雙曲線右支解析由于|PM|PN|MN|，所以D不正確，應(yīng)為以N為端點，沿x軸正向的一條射線.答案C3.(2018·廣州調(diào)研)方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()A.兩條直線 B.兩條射線C.兩條線段 D.一條直線和一條射線解析原方程可化為或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線.答案D4.已知A(2，0)，B(1，0)兩點，動點P不在x軸上，且滿足APOBPO，其中O為原點，則P點的軌跡方程是()A.(x2)2y24(y0) B.(x1)2y21(y0)C.(x2)2y24(y0) D.(x1)2y21(y0)解析由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|2|PB|，設(shè)P(x，y)，則2，整理得(x2)2y24(y0)，故選C.答案C5.過橢圓1(a>b>0)上任意一點M作x軸的垂線，垂足為N，則線段MN中點的軌跡方程是_.解析設(shè)MN的中點為P(x，y)，則點M(x，2y)在橢圓上，1，即1(a>b>0).答案1(a>b>0)考點一直接法求軌跡方程【例1】 (1)(2018·豫北名校聯(lián)考)已知ABC的頂點B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點A的軌跡方程為_.(2)(2018·大同模擬)與y軸相切并與圓C：x2y26x0也外切的圓的圓心的軌跡方程為_.解析(1)設(shè)A(x，y)，由題意可知D.又|CD|3，9，即(x10)2y236，由于A，B，C三點不共線，點A不能落在x軸上，即y0，點A的軌跡方程為(x10)2y236(y0).(2)若動圓在y軸右側(cè)，設(shè)與y軸相切，且與圓x2y26x0外切的圓的圓心為P(x，y)(x>0)，則半徑長為|x|，因為圓x2y26x0的圓心為(3，0)，所以|x|3，則y212x(x>0)，若動圓在y軸左側(cè)，則y0，即圓心的軌跡方程為y212x(x>0)或y0(x<0).答案(1)(x10)2y236(y0)(2)y212x(x>0)或y0(x<0)規(guī)律方法直接法求曲線方程的關(guān)鍵點和注意點(1)關(guān)鍵點：直接法求曲線方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯成代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性，通常將步驟簡記為建系、設(shè)點、列式、代換、化簡、證明這幾個步驟，但最后的證明可以省略.(2)注意點：求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性.【訓練1】 (2018·聊城模擬)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A(1，0)，B(2，2)，若點C滿足t()，其中tR，則點C的軌跡方程是_.解析設(shè)C(x，y)，則由t()得t()，所以t，即(x1，y)t(1，2)，故消去t得y2(x1)，即2xy20.答案2xy20考點二相關(guān)點(代入)法求軌跡方程【例2】 (1)(2017·銀川模擬)動點A在圓x2y21上移動時，它與定點B(3，0)連線的中點的軌跡方程是_.(2)(2018·武威模擬)設(shè)F(1，0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且2，當點P在y軸上運動時，點N的軌跡方程為_.解析(1)設(shè)中點的坐標為(x，y)，則圓上的動點A的坐標為(2x3，2y)，所以(2x3)2(2y)21，即x2y23x20.(2)設(shè)M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)·(1，y0)0，x0y0，由2，得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x，故點N的軌跡方程為y24x.答案(1)x2y23x20(2)y24x規(guī)律方法“相關(guān)點法”的基本步驟(1)設(shè)點：設(shè)被動點坐標為(x，y)，主動點坐標為(x0，y0).(2)求關(guān)系式：求出兩個動點坐標之間的關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入主動點滿足的曲線方程，便可得到所求被動點的軌跡方程.【訓練2】 已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1的左、右焦點，點P為橢圓C上的動點，則PF1F2的重心G的軌跡方程為()A.1(y0) B.y21(y0)C.3y21(y0) D.x21(y0)解析依題意知F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)P(x0，y0)，G(x，y)，則由三角形重心坐標關(guān)系可得即代入1，得重心G的軌跡方程為3y21(y0).答案C考點三定義法求軌跡方程(典例遷移)【例3】 (經(jīng)典母題)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程.解由已知得圓M的圓心為M(1，0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為1(x2).【遷移探究1】 將本例的條件“動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動圓P與圓M、圓N都外切”，則圓心P的軌跡方程為_.解析由已知得圓M的圓心為M(1，0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R，因為圓P與圓M，N都外切，所以|PM|PN|(Rr1)(Rr2)r1r22，即|PN|PM|2，又|MN|2，所以點P的軌跡方程為y0(x<2).答案y0(x<2)【遷移探究2】 把本例中圓M的方程換為：(x3)2y21，圓N的方程換為：(x3)2y21，則圓心P的軌跡方程為_.解析由已知條件可知圓M和N外離，所以|PM|1R，|PN|R1，故|PM|PN|(1R)(R1)2<|MN|6，由雙曲線的定義知點P的軌跡是雙曲線的右支，其方程為x21(x>1).答案x21(x>1)【遷移探究3】 在本例中，若動圓P過圓N的圓心，并且與直線x1相切，則圓心P的軌跡方程為_.解析由于點P到定點N(1，0)和定直線x1的距離相等，所以根據(jù)拋物線的定義可知，點P的軌跡是以N(1，0)為焦點，以x軸為對稱軸、開口向右的拋物線，故其方程為y24x.答案y24x規(guī)律方法定義法求曲線方程的兩種策略(1)運用圓錐曲線的定義求軌跡方程，可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出方程.(2)定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型，利用條件把待定系數(shù)求出來，使問題得解.【訓練3】 ABC的頂點A(5，0)，B(5，0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是_.解析如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826，|AB|10.根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3).答案1(x>3)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.(2018·長沙月考)若方程x21(a是常數(shù))，則下列結(jié)論正確的是()A.任意實數(shù)a方程表示橢圓B.存在實數(shù)a方程表示橢圓C.任意實數(shù)a方程表示雙曲線D.存在實數(shù)a方程表示拋物線解析當a>0且a1時，方程表示橢圓，故選B.答案B2.若M，N為兩個定點，且|MN|6，動點P滿足·0，則P點的軌跡是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線解析以線段MN的中點為原點(0，0)，以MN所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則M(3，0)，N(3，0).設(shè)P(x，y)，則·(3x，y)·(3x，y)x2y290，即x2y29，則P點的軌跡是以(0，0)為圓心，以3為半徑的圓.答案A3.已知點P在曲線2x2y0上移動，則點A(0，1)與點P連線的中點的軌跡方程是()A.y22x B.y28x2C.y4x2 D.y4x2解析設(shè)AP的中點坐標為(x，y)，則P(2x，2y1)，由點P在曲線上，得2·(2x)2(2y1)0，即y4x2.答案C4.設(shè)點A為圓(x1)2y21上的動點，PA是圓的切線，且|PA|1，則P點的軌跡方程為()A.y22x B.(x1)2y24C.y22x D.(x1)2y22解析如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1，0).連接MA，PM，則MAPA，且|MA|1，又因為|PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以(x1)2y22.答案D5.(2018·長春模擬)設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1，0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點.線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析M為AQ的垂直平分線上一點，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡是以定點C，A為焦點的橢圓.a，c1，則b2a2c2，M的軌跡方程為1.答案D二、填空題6.已知點O(0，0)，A(1，2)，動點P滿足|2，則點P的軌跡方程為_.解析設(shè)點P的坐標為(x，y)，則(x，y)，(x1，y2)，(2x1，2y2)，所以(2x1)2(2y2)24，整理可得4x24y24x8y10.答案4x24y24x8y107.直線1與x，y軸交點的連線的中點的軌跡方程是_.解析設(shè)直線1與x，y軸的交點分別為A(a，0)，B(0，2a)，AB中點為M(x，y)，則x，y1，消去a，得xy1，因為a0，a2，所以x0，x1.答案xy1(x0，x1)8.在ABC中，|4，ABC的內(nèi)切圓切BC于D點，且|2，則頂點A的軌跡方程為_.解析以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系，E，F(xiàn)分別為兩個切點.則|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.|AB|AC|2|BC|4，點A的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線的右支(y0)且a，c2，b，軌跡方程為1(x).答案1(x)三、解答題9.如圖所示，動圓C1：x2y2t2，1<t<3，與橢圓C2：y21相交于A，B，C，D四點，點A1，A2分別為C2的左、右頂點.求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程.解由橢圓C2：y21，知A1(3，0)，A2(3，0)，由曲線的對稱性及A(x0，y0)，得B(x0，y0)，設(shè)點M的坐標為(x，y)，直線AA1的方程為y(x3).直線A2B的方程為y(x3).由得y2(x29).又點A(x0，y0)在橢圓C2上，故y1.將代入得y21(x<3，y<0).因此點M的軌跡方程為y21(x<3，y<0).10.(2018·廣州模擬)已知點C(1，0)，點A，B是O：x2y29上任意兩個不同的點，且滿足·0，設(shè)P為弦AB的中點.(1)求點P的軌跡T的方程；(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點：它到直線x1的距離恰好等于到點C的距離？若存在，求出這樣的點的坐標；若不存在，說明理由.解(1)連接CP，OP，由·0，知ACBC，|CP|AP|BP|AB|，由垂徑定理知|OP|2|AP|2|OA|2，即|OP|2|CP|29，設(shè)點P(x，y)，有(x2y2)(x1)2y29，化簡，得x2xy24.(2)存在.根據(jù)拋物線的定義，到直線x1的距離等于到點C(1，0)的距離的點都在拋物線y22px(p0)上，其中1.p2，故拋物線方程為y24x，由方程組得x23x40，解得x11，x24，由x0，故取x1，此時y±2.故滿足條件的點存在，其坐標為(1，2)和(1，2).能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2018·葫蘆島調(diào)研)在ABC中，已知A(2，0)，B(2，0)，G，M為平面上的兩點且滿足0，|，則頂點C的軌跡為()A.焦點在x軸上的橢圓(長軸端點除外)B.焦點在y軸上的橢圓(短軸端點除外)C.焦點在x軸上的雙曲線(實軸端點除外)D.焦點在x軸上的拋物線(頂點除外)解析設(shè)C(x，y)(y0)，則由0，即G為ABC的重心，得G.又|，即M為ABC的外心，所以點M在y軸上，又，則有M.所以x24，化簡得1，y0.所以頂點C的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(除去短軸端點).答案B12.如圖，P是橢圓1(a>b>0)上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標原點，且，則動點Q的軌跡方程是_.解析由于，又22.設(shè)Q(x，y)，則，即P點坐標為，又P在橢圓上，則有1，即1.答案113.(2018·安慶模擬)已知拋物線x22py(p>0)，F(xiàn)為其焦點，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，過點B作x軸的垂線，交直線OA于點C，如圖所示.(1)求點C的軌跡M的方程；(2)直線n是拋物線不與x軸重合的切線，切點為P，軌跡M與直線n交于點Q，求證：以線段PQ為直徑的圓過點F.(1)解依題意可得，直線l的斜率存在，故設(shè)其方程為ykx，又設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，由x22pkxp20x1·x2p2.易知直線OA：yxx，直線BC：xx2，由得y，即點C的軌跡M的方程為y.(2)證明由題意知直線n的斜率存在.設(shè)直線n的方程為yk1xm，由x22pk1x2pm04p2k8pm.直線n與拋物線相切，0pk2m0，可得P(pk1，m).又由Q，F(xiàn)，··mppm0，F(xiàn)PFQ，以PQ為直徑的圓過點F.12