2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 課堂達(dá)標(biāo)54 幾何概型 文 新人教版1(2016·全國卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.B.C.D.解析由題至少等15秒遇綠燈的概率為P.故選B.答案B2(2018·貴陽市監(jiān)測考試)在4,4上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)m，能使函數(shù)f(x)x3mx23x在R上單調(diào)遞增的概率為()A. B. C. D.解析由題意，得f(x)3x22mx3，要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則3x22mx30在R上恒成立，即4m2360，解得3m3，所以所求概率為，故選D.答案D3在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，則sin xcos x1，的概率是()A. B. C. D.解析因?yàn)閤，所以x，由sin xcos xsin1，得sin1，所以x，故要求的概率為.答案B4(2018·石家莊模擬)已知O、A、B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2 km處，B地在O地正北方向2 km處，某測繪隊員在A、B之間的直線公路上任選一點(diǎn)C作為測繪點(diǎn)，用測繪儀進(jìn)行測繪O地為一磁場，距離其不超過 km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不準(zhǔn)確則該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是()A. B.C1 D1解析由題意知在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|2，故該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是11.答案D5(2018·山西四校聯(lián)考)在面積為S的ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P，則PBC的面積大于的概率為()A. B. C. D.解析設(shè)AB，AC上分別有點(diǎn)D，E滿足ADAB且AEAC，則ADEABC，DEBC且DEBC. 點(diǎn)A到DE的距離等于點(diǎn)A到BC的距離的，DE到BC的距離等于ABC高的.當(dāng)動點(diǎn)P在ADE內(nèi)時，P到BC的距離大于DE到BC的距離，當(dāng)P在ADE內(nèi)部運(yùn)動時，PBC的面積大于，所求概率為2.答案D6(2018·佛山二模)已知函數(shù)f(x)x2bxc，其中0b4,0c4.記函數(shù)f(x)滿足條件為事件A，則事件A發(fā)生的概率為()A. B. C. D.解析由題意，得即表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，可知陰影部分的面積為8，所以所求概率為，故選C.答案C7如圖，正四棱錐S­ABCD的頂點(diǎn)都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)取自正四棱錐內(nèi)的概率為_解析設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P.答案8如圖，四邊形ABCD為矩形，AB，BC1，在DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為_解析當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，AP與BC有公共點(diǎn)，此時AP掃過ABC，所以P.答案9在體積為V的三棱錐S­ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐S­APC的體積大于的概率是_解析由題意可知>，三棱錐S­ABC的高與三棱錐S­APC的高相同作PMAC于M，BNAC于N，則PM，BN分別為APC與ABC的高，所以>，又，所以>，故所求的概率為(即為長度之比)答案10已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M.(1)求四棱錐M­ABCD的體積小于的概率；(2)求M落在三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)的概率解(1)正方體ABCD­A1B1C1D1中，設(shè)M­ABCD的高為h，令×S四邊形ABCD×h，S四邊形ABCD1，h.若體積小于，則h<，即點(diǎn)M在正方體的下半部分，P.(2)V三棱柱×12×1，所求概率P1.B能力提升練1(2018·重慶適應(yīng)性測試)在區(qū)間1,4上任取兩個實(shí)數(shù)，則所取兩個實(shí)數(shù)之和大于3的概率為()A. B. C. D.解析依題意，記從區(qū)間1,4上取出的兩個實(shí)數(shù)為x，y，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(41)29，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(41)2×12，因此所求的概率為，選D.答案D2(2018·昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)已知P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，2 0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是()A. B. C. D.解析以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則，因?yàn)? 0，所以2 ，得2，由此可得，P是ABC邊BC上的中線AO的中點(diǎn)，點(diǎn)P到BC的距離等于A到BC距離的，所以SPBCSABC，所以將一粒黃豆隨機(jī)撒在ABC內(nèi)，黃豆落在PBC內(nèi)的概率為，故選D.答案D3如圖所示，圖2中實(shí)線圍成的部分是長方體(圖1)的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，則此長方體的體積是_解析設(shè)長方體的高為h，由幾何概型的概率計算公式可知，質(zhì)點(diǎn)落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率P，解得h3或h(舍去)，故長方體的體積為1×1×33.答案34在區(qū)間1,5和2,4上分別各取一個數(shù)，記為m和n，則方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是_解析方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，所求的概率為P.答案5甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時刻是等可能的如果甲船停泊時間為1 h，乙船停泊時間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率解設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0x24,0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1 h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件構(gòu)成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合為邊長是24的正方形及其內(nèi)部所求概率為P(A).C尖子生專練已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)b2x2(a1)x1.(1)若a，b分別表示將一質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求yf(x)恰有一個零點(diǎn)的概率(2)若a，b1,6，求滿足yf(x)有零點(diǎn)的概率解(1)設(shè)(a，b)表示一個基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,5)，(6,6)，共36個用A表示事件“yf(x)恰有一個零點(diǎn)”，即|(a1)|24b20，則a12b.則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個，所以P(A).即事件“yf(x)恰有一個零點(diǎn)”的概率為.(2)用B表示事件“yf(x)有零點(diǎn)”，即a12b.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a，b)|1a6,1b6，構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)?a，b)|1a6,1b6，a2b10，如圖所示：所以所求的概率為P(B).即事件“yf(x)有零點(diǎn)”的概率為.