第2講函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì) 2019考向?qū)Ш娇键c(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)測2019201820171函數(shù)及其表示第4題江蘇高考對函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考查以基礎(chǔ)知識為主，難度中等偏下對圖象的考查主要有兩個(gè)方面：一是識圖，二是用圖，通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題對函數(shù)性質(zhì)的考查，則主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考查，常以填空題的形式考查，難度較大分段函數(shù)往往是試題的載體2函數(shù)的圖象3函數(shù)的性質(zhì)第14題第9題4分段函數(shù)第14題第14題1必記的概念與定理(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)(2)單調(diào)性：利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號、下結(jié)論由幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則(3)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性(4)周期性：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)若函數(shù)滿足f(xT)f(x)(T0)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個(gè)周期；應(yīng)注意nT(nZ且n0)也是函數(shù)的周期2記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論圖象變換規(guī)則(1)水平平移：yf(x±a)(a>0)的圖象，可由yf(x)的圖象向左()或向右()平移a個(gè)單位而得到(2)豎直平移：yf(x)±b(b>0)的圖象，可由yf(x)的圖象向上()或向下()平移b個(gè)單位而得到(3)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱(4)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于x軸對稱(5)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(6)要得到y(tǒng)|f(x)|的圖象，可將yf(x)的圖象在x軸下方的部分以 x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分不變(7)要得到y(tǒng)f(|x|)的圖象，可將yf(x)，x0的部分作出，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸的對稱性，作出x0時(shí)的圖象(8)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0(9)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；反之亦然；利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可知，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱可知，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反3需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn)(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值集合的并集(2)從定義上看，函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的性質(zhì)，是局部的特征在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號“”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)(4)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件函數(shù)及其表示典型例題 (1)(2019·高考江蘇卷)函數(shù)y的定義域是_(2)函數(shù)f(x)的值域?yàn)開【解析】(1)要使函數(shù)有意義，則76xx20，解得1x7，則函數(shù)的定義域是1，7(2)當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)2x單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，1；當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)x21單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，1)故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，1【答案】(1)1，7(2)(，1函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的組成部分，研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時(shí)可借助于數(shù)軸對點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·高考江蘇卷)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開解析 要使函數(shù)f(x)有意義，則log2x10，即x2，則函數(shù)f(x)的定義域是2，)答案 2，)2(2019·南京四校第一學(xué)期聯(lián)考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開解析 要使f(x)有意義，必須，所以，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)答案 3，)函數(shù)的圖象及應(yīng)用典型例題 (1)函數(shù)f(x)的圖象大致為_(2)(2019·鎮(zhèn)江市高三調(diào)研考試)已知函數(shù)y與函數(shù)y的圖象共有k(kN*)個(gè)公共點(diǎn)：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，Ak(xk，yk)，則(xiyi)_【解析】(1)由f(x)，可得f(x)，則當(dāng)x(，0)和x(0，1)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，故正確(2)函數(shù)yf(x)滿足f(x)f(x)2，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對稱，且f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)(0，2)又函數(shù)y的圖象也關(guān)于點(diǎn)(0，1)對稱，且在(0，)和(，0)上單調(diào)遞減，畫出兩函數(shù)的大致圖象如圖所示，所以兩個(gè)函數(shù)的圖象共有2個(gè)公共點(diǎn)，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(0，1)對稱，則(xiyi)x1x2y1y22【答案】(1)(2)2(1)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，一定要注意其對應(yīng)關(guān)系，如：圖象的左右范圍對應(yīng)定義域；上下范圍對應(yīng)值域；上升、下降趨勢對應(yīng)單調(diào)性；對稱性對應(yīng)奇偶性(2)有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；利用此法也可由解的個(gè)數(shù)求參數(shù)值 對點(diǎn)訓(xùn)練3如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則f的值等于_解析 因?yàn)橛蓤D象知f(3)1，所以1所以ff(1)2答案 2函數(shù)的性質(zhì)典型例題 (1)已知函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，則Mm等于_(2)(2019·泰州模擬)設(shè)函數(shù)yf(x)在(，)內(nèi)有定義對于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)fk(x)取函數(shù)f(x)2|x|當(dāng)k時(shí)，函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_【解析】(1)f(x)2，設(shè)g(x)，因?yàn)間(x)g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)maxg(x)min0因?yàn)镸f(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，所以Mm2g(x)max2g(x)min4(2)由f(x)>，得1<x<1由f(x)，得x1或x1所以f(x)故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)【答案】(1)4(2)(，1)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法利用已知初等函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義求解圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性分別是函數(shù)整體與局部的性質(zhì)，它們往往在研究函數(shù)中“并駕”而行，解題時(shí)往往先通過函數(shù)奇偶性進(jìn)行變形，再利用單調(diào)性求解對點(diǎn)訓(xùn)練4已知偶函數(shù)f(x)在0，)單調(diào)遞減，f(2)0若f(x1)>0，則x的取值范圍是_解析 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱又f(2)0，且f(x)在0，)單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示，由f(x1)>0，得2<x1<2，即1<x<3答案 (1，3)分段函數(shù)典型例題 (2018·高考江蘇卷)函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)(xR)，且在區(qū)間(2，2上，f(x)則f(f(15)的值為_【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x4)f(x)(xR)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4因?yàn)樵趨^(qū)間(2，2上，f(x)所以f(f(15)f(f(1)fcos【答案】求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解，有時(shí)每段交替使用求值若給出函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍對點(diǎn)訓(xùn)練5 (2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(三)已知函數(shù)f(x)當(dāng)x時(shí)，恒有f(xa)f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析 顯然a0，故考慮a0和a0兩種情形當(dāng)a0時(shí)，畫圖知，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故f(xa)f(x)，不符合題意；當(dāng)a0時(shí)，此時(shí)f(x)的圖象如圖所示，由于不等式f(xa)f(x)中兩個(gè)函數(shù)值對應(yīng)的自變量相差為a，因此用弦長為a的線段“削峰填谷”，可得，即，即2a2a20，解得a0答案 6設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1，1)上，f(x)其中aR若ff，則f(5a)的值是_解析 由題意可得ffa，ff，則a，a，故f(5a)f(3)f(1)1答案 1已知函數(shù)f(x)若ff(0)4a，則實(shí)數(shù)a_解析 由題意知，f(0)2012，則ff(0)f(2)42a，即42a4a，所以a2答案 22(2019·江蘇省六市高三調(diào)研)函數(shù)f(x)的定義域是_解析 由題意得解得2x2，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?，2答案 2，23已知f(x)ax2bx是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，那么ab 的值是_解析 因?yàn)閒(x)ax2bx是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，所以a12a0，所以a又f(x)f(x)，所以b0，所以ab答案 4若f(x)對于任意實(shí)數(shù)x恒有2f(x)f(x)3x1，則f(x)_解析 由題意知2f(x)f(x)3x1將中x換為x，則有2f(x)f(x)3x1×2得3f(x)3x3，即f(x)x1答案 x15(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考信息(八)已知aR，函數(shù)f(x)a的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則關(guān)于x的不等式f(x2x)f(x8)<0的解集為_解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)a的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(，)，所以f()a，解得a1，所以f(x)1，易知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)又f(x)f(x)，所以f(x)是R上的奇函數(shù)，所以關(guān)于x的不等式f(x2x)f(x8)<0可轉(zhuǎn)化為f(x2x)<f(8x)，所以x2x<8x，即x22x8<0，解得4<x<2答案 4<x<26(2019·江蘇省名校高三入學(xué)摸底卷)已知定義在0，)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x2)，且當(dāng)x0，2)時(shí)，f(x)x21，則log2 f(8)_解析 由題意得f(x2)2f(x)，所以f(8)2f(6)4f(4)8f(2)16f(0)16，所以log2f(8)log2164答案 47定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)a<b時(shí)，abb2，則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于_解析 由已知得當(dāng)2x1時(shí)，f(x)x2，當(dāng)1<x2時(shí)，f(x)x32因?yàn)閒(x)x2，f(x)x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù)所以f(x)的最大值為f(2)2326答案 68(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(一)已知函數(shù)f(x)則不等式f(x21)f(x25x)的解集為_解析 因?yàn)閤2110，所以f(x21)2，當(dāng)x25x0時(shí)，f(x21)f(x25x)2，原不等式成立，此時(shí)，x5或x0；當(dāng)x25x0時(shí)，則需f(x25x)2，即(x25x)2(x25x)22，x25x4，得1x4故原不等式的解集為(，01，45，)答案 (，01，45，)9(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(五)已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2mx(mR)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2，1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的最小值為_解析 當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2mx，所以當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2，1)上不可能單調(diào)遞減，所以不滿足條件；當(dāng)m0時(shí)，根據(jù)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)yf(x)在上單調(diào)遞減，所以即m4，所以實(shí)數(shù)m的最小值為4答案 410如圖，長方形ABCD的邊AB2，BC1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動，記BOPx將動點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大致為_(填序號)解析 當(dāng)x0，時(shí)，f(x)tan x，圖象不會是直線段，從而排除，當(dāng)x，時(shí)，f()f()1，f()2因?yàn)?1，所以f()f()f()，從而排除答案 11若函數(shù)f(x)(a0)，f(2)1，又方程f(x)x有唯一解，求f(x)的解析式解 由f(2)1得1，即2ab2；由f(x)x得x，變形得x0，解此方程得x0或x，又因方程有唯一解，故0，解得b1，代入2ab2得a，所以f(x)12已知函數(shù)f(x)axb(a>0，a1)(1)若f(x)的圖象如圖(1)所示，求a，b的值；(2)若f(x)的圖象如圖(2)所示，求a、b的取值范圍；(3)在(1)中，若|f(x)|m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求出m的范圍解 (1)f(x)的圖象過點(diǎn)(2，0)，(0，2)，所以a2b0，a0b2，解得a，b3(2)由題圖(2)知，f(x)單調(diào)遞減，所以0<a<1，又f(0)<0，即a0b<0，所以b<1(3)畫出y|f(x)|的草圖，如圖所示，知當(dāng)m0或m3時(shí)，|f(x)|m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解13已知函數(shù)f(x)exex(xR且e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性；(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(xt)f(x2t2)0對一切xR都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由解 (1)因?yàn)閒(x)exex，且yex是增函數(shù)，yex是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)由于f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)exexf(x)，所以f(x)是奇函數(shù)(2)由(1)知f(x)是增函數(shù)且是奇函數(shù)，所以f(xt)f(x2t2)0對一切xR恒成立，f(x2t2)f(tx)對一切xR恒成立，x2t2tx對一切xR恒成立，t2tx2x對一切xR恒成立，t2t(x2x)min對一切xR恒成立，即t2t，(2t1)20，所以t即存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(xt)f(x2t2)0對一切xR都成立14(2019·揚(yáng)州模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)(1)求f(2 016)的值；(2)求證：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱；(3)若f(x)在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，試比較f(25)，f(11)，f(80)的大小解 (1)因?yàn)閒(x4)f(x)，所以f(x)f(x4)f(x4)4f(x8)，知函數(shù)f(x)的周期為T8所以f(2 016)f(252×8)f(0)又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)所以f(0)0，故f(2 016)0(2)證明：因?yàn)閒(x)f(x4)，所以f(x2)f(x2)4f(x2)f(2x)，即f(2x)f(2x)成立故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱(3)由(1)知f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，所以f(25)f(3)×81f(1)，f(11)f(83)f(3)f(1)f(1)，f(80)f(10×80)f(0)又f(x)在0，2上是增函數(shù)，且f(x)在R上為奇函數(shù)，所以f(x)在2，2上為增函數(shù)，則有f(1)<f(0)<f(1)，即f(25)<f(80)<f(11)- 12 -