2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)46 圓錐曲線的綜合問題 文 新人教版1已知點(diǎn)A(0,2)和雙曲線x21，過點(diǎn)A與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)為()A1B2C3D4解析設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線為ykx2.由得(4k2)x24kx80.當(dāng)k24即k±2時(shí)，方程只有一解，即只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)k24，方程有一解時(shí)(4k)24×(4k2)×(8)0，k28，k±2，為切線斜率，共有4條直線故選D.答案D2(2018·嘉定模擬)過點(diǎn)P(1,1)作直線與雙曲線x21交于A，B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，則這樣的直線()A存在一條，且方程為2xy10B存在無數(shù)條C存在兩條，方程為2x±(y1)0D不存在解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y22，則xy1，xy1，兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以x1x2(y1y2)，即kAB2，故所求直線方程為y12(x1)，即2xy10.聯(lián)立可得2x24x30，但此方程沒有實(shí)數(shù)解，故這樣的直線不存在故選D.答案D3若直線ykx2與雙曲線x2y26的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是()A. B.C. D.解析由得(1k2)x24kx100.設(shè)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則解得<k<1.答案D4(2018·山西太原五中模擬)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,5)的橢圓，截直線y3x2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析由已知c5，設(shè)橢圓的方程為1，聯(lián)立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，設(shè)直線y3x2與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由根與系數(shù)關(guān)系得x1x2，由題意知x1x21，即1，解得a275，所以該橢圓方程為1.答案C5已知F為拋物線y28x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則|FA|FB|的值為()A4 B8C8 D16解析依題意知F(2,0)，所以直線l的方程為yx2，聯(lián)立方程，得消去y得x212x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，x1x212，則|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8.答案C6經(jīng)過橢圓y21的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·等于()A3 BC或3 D±解析依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，其方程為y0tan 45°(x1)，即yx1，代入橢圓方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，1)，·，同理，直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得·.答案B7已知雙曲線x21上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線yxm對(duì)稱，且MN的中點(diǎn)在拋物線y218x上，則實(shí)數(shù)m的值為_解析設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，則由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，顯然x1x2.·3，即kMN·3，M，N關(guān)于直線yxm對(duì)稱，kMN1，y03x0，又y0x0m，P，代入拋物線方程得m218·，解得m0或8，經(jīng)檢驗(yàn)都符合答案0或88(2018·東北三省聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2.則橢圓C的方程為_解析由題意得解得橢圓C的方程為1.答案19(2018·蘭州、張掖聯(lián)考)如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程是_解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線AE，BD，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，則|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30°，又|AE|AF|3，|AC|6，即點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，根據(jù)題意得p，拋物線的方程是y23x.答案y23x10已知橢圓C：1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值解(1)由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN|·d，由，解得k±1.B能力提升練1(2018·河南洛陽統(tǒng)考)已知雙曲線C：1(a0，b0)斜率為1的直線過雙曲線C的左焦點(diǎn)且與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若與向量n(3，1)共線，則雙曲線C的離心率為()A. B.C. D3解析由題意得直線方程為yxc，代入雙曲線的方程并整理可得(b2a2)x22a2cxa2c2a2b20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2x1x22c，又與向量n(3，1)共線，3·，a23b2，又c2a2b2，e.答案B2(2018·麗水一模)斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A2 B.C. D.解析設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|···，當(dāng)t0時(shí)，|AB|max.答案C3如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(a<b)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y22px(p>0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則_.解析由正方形的定義可知BCCD，結(jié)合拋物線的定義得點(diǎn)D為拋物線的焦點(diǎn)，所以|AD|pa，D(，0)，F(xiàn)(b，b)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線的方程得b22p(b)a22ab，變形得()210，解得1或1(舍去)，所以1.答案14已知雙曲線C：x21，直線y2xm與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，且與y軸交于點(diǎn)M，則的取值范圍為_解析由可得x24mxm230，由題意得方程在1，)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)f(x)x24mxm23，則得m>1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)，得x12m，x22m，所以1，由m>1得，的取值范圍為(1,74)答案(1,74)5設(shè)拋物線過定點(diǎn)A(1,0)，且以直線x1為準(zhǔn)線(1)求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程；(2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為ykxm，試求m的取值范圍解(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P(x，y)，則焦點(diǎn)F(2x1，y)再根據(jù)拋物線的定義得|AF|2，即(2x)2y24，所以軌跡C的方程為x21.(2)設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，則由點(diǎn)M，N為橢圓C上的點(diǎn)，可知兩式相減，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，將xMxN2×1，yMyN2y0，代入上式得k.又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上，所以y0km.所以my0ky0.由點(diǎn)P在線段BB上，所以yB<y0<yB，也即<y0<.所以<m<，且m0.C尖子生專練(2018·山東省煙臺(tái)市期末)已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0，)，(0，)，且AC，BC所在直線的斜率之積等于m(m0)(1)求頂點(diǎn)C的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種曲線；(2)當(dāng)m時(shí)，設(shè)點(diǎn)P(0,1)，過點(diǎn)P作直線l與曲線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求直線l的方程解(1)令C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則直線AC的斜率k1，直線BC的斜率k2，所以有k1k2·m，化簡(jiǎn)得，x21(x0)所以當(dāng)m1時(shí)，表示以(0,0)為圓心，為半徑的圓，且除去(0，)，(0，)兩點(diǎn)；當(dāng)m1時(shí)，軌跡表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且除去(0，)，(0，)兩點(diǎn)；當(dāng)1m0時(shí)，軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且除去(0，)，(0，)兩點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，軌跡表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，且除去(0，)，(0，)兩點(diǎn)(2)由題意知當(dāng)m時(shí)曲線C為1(x0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意設(shè)直線l的方程為ykx1，代入橢圓方程整理得(34k2)x28kx80.設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，由得，x13x2.由韋達(dá)定理得x1x2，x1x2，所以x2，x，消去x2，解得k±，所以直線l的方程為y±x1.