2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題綜合檢測(cè)練（五）文一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2018·江西名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟)已知直線l將圓C:x2+y2-6x+6y+2=0的周長(zhǎng)平分,且直線l不經(jīng)過(guò)第三象限,則直線l的傾斜角的取值范圍為()A.90°135°B.90°120°C.60°135°D.90°150°【解析】選A.依題意,圓C:(x-3)2+(y+3)2=16,易知直線l過(guò)圓C的圓心(3,-3);因?yàn)橹本€l不經(jīng)過(guò)第三象限,結(jié)合正切函數(shù)圖象可知,90°135°.2.(2018·浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)雙曲線-=1的離心率是()A.B. C.D.【解析】選D.因?yàn)閍=3,b=2,所以c=,所以離心率是e=.3.(2018·紹興一模)如圖,已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,A為虛軸的一端點(diǎn).若以A為圓心的圓與C的一條漸近線相切于點(diǎn)B,且=t(tR),則該雙曲線的離心率為()A.2B.C.D.【解析】選D.由題意b2=ac,所以c2-a2=ac,解得離心率為.4.(2018·昆明一模)已知直線l:y=x+m與圓C:x2+(y-3)2=6相交于A,B兩點(diǎn),若ACB=120°,則實(shí)數(shù)m的值為()A.3+或3-B.3+2或3-2C.9或-3D.8或-2【解析】選A.因?yàn)锳CB=120°,半徑為,所以圓心到直線的距離為,所以=,解得m=3+或m=3-.5.(2018·哈爾濱一模)已知F1,F2分別為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn),直線PF1與圓x2+y2=a2相切,且|PF2|=|F1F2|,則雙曲線C的離心率為()A.B.C.D.2【解析】選C.因?yàn)橹本€PF1與圓x2+y2=a2相切,|PF2|=|F1F2|,所以|PF1|=4b,所以|PF1|-|PF2|=4b-2c=2a,所以2b=c+a,所以雙曲線C的離心率為.6.圓x2+y2=1與直線y=kx-3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是()A.k-2或k2B.k-2C.k2D.k-2或k>2【解析】選B.圓x2+y2=1與直線y=kx-3有公共點(diǎn)1k-2或k2,所以“k-2”是“圓x2+y2=1與直線y=kx-3有公共點(diǎn)”的充分不必要條件.7.橢圓+=1與雙曲線+=1(12<k<16)的()A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)相等B.短軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等C.焦距相等D.離心率相等【解析】選C.對(duì)于橢圓+=1,c=2,對(duì)于雙曲線-=1,=(16-k)+(k-12)=4,所以c1=2.8.以雙曲線-=1(a>0,b>0)中心O(坐標(biāo)原點(diǎn))為圓心,焦距為直徑的圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于M點(diǎn),F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足恰為OF2的中點(diǎn),則雙曲線的離心率為()A.-1B.C.+1D.2【解析】選C.由題意知點(diǎn)M的坐標(biāo)為M,代入雙曲線方程可得-=1,因?yàn)閎2=c2-a2,e=,所以e4-8e2+4=0,所以e2=4+2,所以e=+1.9.拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,M是拋物線C上的點(diǎn),若三角形OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切,且該圓的面積為36,則p的值為()A.2B.4C.6D.8【解析】選D.設(shè)OFM的外接圓圓心為O1,則|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O(shè)1在線段OF的中垂線上,又因?yàn)镺1與拋物線的準(zhǔn)線相切,所以O(shè)1在拋物線上,所以O(shè)1,又圓面積為36,所以半徑為6,所以+p2=36,所以p=8.10.(2018·惠州一模)ABC中,B=,A,B分別是雙曲線E的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)C在E上,且|AB|=|BC|,則E的離心率為()A.-1B.+1C.D.【解析】選D.由|BC|=|BA|=2c,則|CA|2=|BC|2+|BA|2-2|BC|×|BA|×cosB =12c2,2a=|CA|-|CB|=2c-2c,所以=.11.在ABC中,AB=BC,cos B=-.若以A,B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則該橢圓的離心率e=()A.B.C.D.【解析】選C.設(shè)|AB|=x>0,則|BC|=x,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=x2+x2-2x2·=x2,所以|AC|=x,由條件知,|CA|+|CB|=2a,AB=2c,所以x+x=2a,x=2c,所以e=.12.已知雙曲線-=1的離心率為e=2,右焦點(diǎn)F到其漸近線的距離為.拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)F重合.過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),正三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線x=-1上,則ABC的邊長(zhǎng)是 ()A.8B.10C.12D.14【解析】選C.因?yàn)殡p曲線-=1的離心率e=2,所以=2a=,因?yàn)殡p曲線右焦點(diǎn)F到其漸近線的距離為,所以=b=,故c2-a2=b2=,即c2-=c=1.雙曲線的右焦點(diǎn)也即拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),所以拋物線的方程為y2=4x,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,過(guò)A,B,M分別作AA1,BB1,MN垂直于直線x=-1于A1,B1,N,設(shè)AFx=,由拋物線定義知:|MN|=(|AA1|+|BB1|)=|AB|,因?yàn)閨MC|=|AB|,所以|MN|=|MC|,因?yàn)镃MN=90°-, 所以cosCMN=cos(90°-)=,即sin =,又由拋物線定義知|AF|=,|BF|=,所以|AB|=12,即正三角形ABC的邊長(zhǎng)為12.第卷(非選擇題,共90分)二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把正確答案填在題中橫線上)13.(2018·贛南四校聯(lián)考)已知圓過(guò)點(diǎn)A(5,1),B(5,3),C(-1,1),則圓的圓心到直線l:x-2y+1=0的距離為_. 【解析】依題意,圓的圓心是線段AB與AC垂直平分線的交點(diǎn),故圓心為(2,2),到直線l:x-2y+1=0的距離d=.答案:14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為_. 【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線的定義知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,所以|AF|+|BF|=y1+y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p,可得y1+y2=p,聯(lián)立方程,得-+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=p,所以p=p,則=,=,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.答案:y=±x15.已知雙曲線C:-=1(b>a>0)的右焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若存在直線過(guò)點(diǎn)F交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn),使·=0,則雙曲線離心率e的取值范圍是_. 【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線的方程為x=my+c,聯(lián)立雙曲線方程,消去x,得(b2m2-a2)y2+2b2mcy+b4=0,所以y1+y2=-,y1y2=.因?yàn)?#183;=x1x2+y1y2=0,即m2y1y2+mc(y1+y2)+c2+y1y2=0,代入整理,得b4m2-2b2m2c2+c2b2m2-a2c2+b4=0,0m2=<.由b4-a2c20,得(c2-a2)2-a2c20,即c4-3a2c2+a40,e4-3e2+10,解得e;由<,得b4-a4-a2c2<0,即(c2-a2)2-a4-a2c2<0,c4-3a2c2<0,所以<.綜上所述,e.答案:e<16.(2018·泉州一模)橢圓+=1(a>b>0),直線l1:y=-x,直線l2:y=x,P為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PMl1且與直線l2交于點(diǎn)M,作PNl2且與l1交于點(diǎn)N,若|PM|2+|PN|2為定值,則橢圓的離心率為_. 【解析】令|PM|2+|PN|2=t(t為常數(shù)),設(shè)M,N,由平行四邊形知識(shí),得|PM|2+|PN|2=|OM|2+|ON|2=(+)=t,設(shè)點(diǎn)P(x,y),因?yàn)?+=.所以x2+4y2=2(+)=t,此方程即為橢圓方程,即e=.答案:三、解答題(本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.(12分)過(guò)圓C:x2+y2=4上的點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)N,點(diǎn)P滿足=.當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求E的方程.(2)過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與E交于A,B兩點(diǎn),與圓C交于S,T兩點(diǎn),求|AB|·|ST|的取值范圍.【解析】(1)設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0),N點(diǎn)坐標(biāo)(x0,0),P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),由=可得因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C:x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)P的軌跡E的方程為+=1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=0,此時(shí)|AB|=2,|ST|=4,所以|AB|·|ST|=8;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組消去y,整理得(4k2+3)x2+8kx-8=0,因?yàn)辄c(diǎn)Q(0,1)在橢圓內(nèi)部,所以直線l與橢圓恒交于兩點(diǎn),由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=·,=·=,在圓C:x2+y2=4中,圓心(0,0)到直線l的距離為d=,所以|ST|=2=2,所以|AB|·|ST|=8·=8·8,8).又因?yàn)楫?dāng)直線l的斜率不存在時(shí),|AB|·|ST|=8,所以|AB|·|ST|的取值范圍是8,8).18.(12分)(2018·湖北省八校聯(lián)考)如圖,圓O:x2+y2=4,A(2,0),B(-2,0),D為圓O上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作圓O的切線分別交直線x=2和x=-2于E,F兩點(diǎn),連接AF,BE交于點(diǎn)G,若點(diǎn)G形成的軌跡為曲線C.(1)記AF,BE斜率分別為k1,k2,求k1·k2的值并求曲線C的方程.(2)設(shè)直線l:y=x+m(m0)與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,與直線x=2交于點(diǎn)S,與直線y=-1交于點(diǎn)T,求OPQ的面積與OST面積的比值的最大值及取得最大值時(shí)m的值.【解析】(1)設(shè)D(x0,y0)(y00),易知過(guò)D點(diǎn)的切線方程為x0x+y0y=4,其中+=4,則E,F,所以k1·k2=·=-.設(shè)G(x,y),由k1·k2=-·=-+y2=1(y0),故曲線C的方程為+y2=1(y0).(2)聯(lián)立5x2+8mx+4m2-4=0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-m,x1·x2=,由=64m2-20(4m2-4)>0-<m<且m0,m±2,|PQ|=.因?yàn)橹本€l與直線x=2交于點(diǎn)S,與直線y=-1交于點(diǎn)T,所以S(2,2+m),T(-m-1,-1),所以|ST|=(3+m),所以=,令3+m=t,t(3-,3+)且t1,3,5,則=,當(dāng)=,即t=,m=-時(shí),取得最大值.19.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)M在圓x2+y2=上,直線AM與橢圓相交于另一點(diǎn)B,且AOB的面積是AOM面積的2倍,求直線AB的方程.【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意得,=,+=1,解得a=2,c=,所以b=,所以橢圓的方程為+=1.(2)方法一:因?yàn)镾AOB=2SAOM,所以AB=2AM,所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),因?yàn)闄E圓的方程為+=1,所以A(-2,0).設(shè)M(x0,y0),則B(2x0+2,2y0).所以+=,+=1,由得9-18x0-16=0,解得x0=-,x0=(舍去).把x0=-代入,得y0=±,所以kAB=±,因此,直線AB的方程為y=±(x+2),即x+2y+2=0或x-2y+2=0.方法二:因?yàn)镾AOB=2SAOM,所以AB=2AM,所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2).由得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,所以(x+2)(1+2k2)x+4k2-2=0,解得xB=.所以xM=,yM=k(xM+2)=,代入x2+y2=得+=,化簡(jiǎn)得28k4+k2-2=0,即(7k2+2)(4k2-1)=0,解得k=±,所以,直線AB的方程為y=±(x+2),即x+2y+2=0或x-2y+2=0.20.(12分)(2018·鄭州一模)已知拋物線C的方程為x2=4y,F為其焦點(diǎn),過(guò)拋物線外一點(diǎn)P作此拋物線的切線PA,PB,A,B為切點(diǎn).且PAPB.(1)求證:直線AB過(guò)定點(diǎn).(2)直線PF與曲線C的一個(gè)交點(diǎn)為R,求·的最小值.【解析】(1)設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),兩條切線的斜率分別為k1,k2,以A,B為切點(diǎn)的切線方程分別為x1x=2y+2y1,x2x=2y+2y2.由 消去y得x2-4kx-4b=0.則x1+x2=4k,x1x2=-4b.這兩條切線的斜率分別為k1=,k2=.由這兩切線垂直得k1k2=-1,得b=1.所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,1).(2)設(shè)P(x0,y0),則由(1)x1x0=2y0+2y1,x2x0=2y0+2y2,相減x0=2=2k=,x0=(x1+x2)=2k,y0=x1x0-y1=-1,當(dāng)k=0時(shí),則x0=0,可得ABPF,當(dāng)k0時(shí),則x00,kAB=,kPF=,同樣可得ABPF.所以·=|AB|·|AF|=(y1+1)(y1+y2+2).由y1y2=1.所以·=(y1+1)(y1+y2+2)=+3y1+3+.令t=y1,則f(t)=t2+3t+3+,(t>0).f(t)=2t+3-=.所以f(t)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).所以(·)min=f=.(或f(t)=t2+3t+3+=,當(dāng)t=時(shí)取等號(hào).)21.(12分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程.(2)若在橢圓上有相異的兩點(diǎn)A,B(A,O,B三點(diǎn)不共線),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且直線AB,直線OA,直線OB的斜率滿足= kOA · kOB (kAB >0),求證:|OA|2+|OB|2是定值;設(shè)AOB的面積為S,當(dāng)S取得最大值時(shí),求直線AB的方程.【解析】(1)由題可知:a=2b,可設(shè)橢圓方程為+=1,又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),則+=1,解得a=2,b=1,所以橢圓方程為+y2=1.(2)設(shè)直線AB方程為:y=kx+m(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)?kOA·kOB(kAB>0),所以k2=,化簡(jiǎn)得:km(x1+x2)+m2=0.因?yàn)锳,O,B三點(diǎn)不共線,所以m0,則k(x1+x2)+m=0,()由可得:(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由根與系數(shù)關(guān)系可得()且=16(1+4k2-m2)>0,()將()代入()式得:k+m=0(k>0),解得k=,則()|OA|2+|OB|2=+=+2=(x1+x2)2-2x1x2+2,將()式代入得|OA|2+|OB|2=×4m2-2×2(m2-1)+2=5.設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d,則SAOB=|AB|·d=|x1-x2|·= |m|=|m|,由()()可得:m(-,0)(0,),則SAOB=|m|=1,當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)取得最大值,此時(shí)直線AB的方程為y=x±1.22.(14分)(2018·石家莊一模)點(diǎn)P(1,1)為拋物線y2=x上一定點(diǎn),斜率為-的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn).(1)求弦AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo).(2)點(diǎn)Q是線段PB上任意一點(diǎn)(異于端點(diǎn)),過(guò)Q作PA的平行線交拋物線于E,F兩點(diǎn),求證:|QE|·|QF|-|QP|·|QB|為定值.【解析】(1)kAB=-,(*)所以yA+yB=-2,yM=-1.(2)設(shè)Q(x0,y0),直線EF:x-x0=t1(y-y0),聯(lián)立方程組y2-t1y+t1y0-x0=0,所以yE+yF=t1,yE·yF=t1y0-x0,|QE|·|QF|=(|yE-y0|)·(|yF-y0|)=(1+)|-x0|,同理|QP|·|QB|=(1+)|-x0|.由(*)可知:t1=yA+yP,t2=yB+yP.所以t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,即t1=-t2=,所以|QE|·|QF|=|QP|·|QB|,即|QE|·|QF|-|QP|·|QB|=0.